謝建平

“例題千萬道，解后拋九霄”難以達(dá)到提高解題能力、發(fā)展思維的目的.善于做解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，再進(jìn)一步作一題多變、一題多問、一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴(kuò)大例題的輻射面，無疑對(duì)能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的.我們可以將此例題進(jìn)行一題多變、一題多解.

一、一題多變

例1.原題：函數(shù)y=lg（x+■）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

解：該函數(shù)定義域?yàn)镽，且f（-x）+f（x）=lg（-x+■）+

lg（x+■）=lg（-x+■）（x+■）=lg1=0

∴f（-x）=-f（x），∴該函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

變題1：已知函數(shù)y=f（x）滿足f（-x+1）=-f（x+1），則y=f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱.

解：∵f（-x+1）=-f（x+1），∴y=f（x+1）為奇函數(shù)，即y=f（x+1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，故y=f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱.

變題2：已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x）+f（-x）=2，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（0，1）對(duì)稱.

解：由f（x）+f（-x）=2得，∴f（-x）-1=-[f（x）-1]，y=f（x）-1為奇函數(shù)，即y=f（x）-1的圖象關(guān)于（0，0）對(duì)稱，∴y=f（x）的圖象關(guān)于（0，1）對(duì)稱.

變題3：已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x）+f（2+x）=2，則y=f（x）的圖象關(guān)于（1，1）對(duì)稱.

解：令x=t-1，則-x=1-t，故由f（x）+f（2+x）=2得f（1+t）+f（1-t）=2，即f（x）滿足f（1+x）+f（1-x）=2，即f（-x+1）-1=[f（x+1）-1]，∴y=

f（x+1）-1的圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，故y=f（x）的圖象關(guān)于（1，1）對(duì)稱.

結(jié)論：若函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（c-x）=b，則y=f（x）的圖象關(guān)于■，■對(duì)稱.

變題4：已知f（x）=■

求證：（1）f（x）+f（1-x）=1

（2）指出該函數(shù)圖象的對(duì)稱中心并說明理由.

（3）求f（■）+f（■）+…+f（■）的值.

證明：（1）f（x）+f（1-x）=■+■=■+■=1，得證.

（2）解：該函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（■，■），由f（x）+f（1-x）=1得f（■+x）+f（■-x）=1，即f（-x+■）-■=-[f（x+■）-■]，∴y=

f（x+■）-■的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故y=f（x）的圖象關(guān)于（■，■）對(duì)稱.

（3）解：∵f（x）+f（1-x）=1，故f（■）+f（■）=1，f（■）+

f（■）=1，…，∴f（■）+f（■）+…+f（■）=500.

變題5：求證：二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象沒有對(duì)稱中心.

證明：假設(shè)（m，n）是f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對(duì)稱中心，則對(duì)任意x∈R，都有f（m+x）+f（m-x）=2n，即，

a（m+x）2+b（m+x）+c+a（m-x）2+b（m-x）+c=2n恒成立，

即有ax2+am2+bm+c=n恒成立，也就是a=0且am2+bm+c-n=0與a≠0矛盾，

∴f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象沒有對(duì)稱中心.

二、一題多解

已知函數(shù)f（x）=■，x∈[1，+∞），

（1）當(dāng)a=■時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；

（2）若對(duì)于任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍，

解：（1）當(dāng)a=■時(shí)，f（x）=x+2+■≥2+2■，當(dāng)且僅當(dāng)x=

■時(shí)取等號(hào).

由f（x）=x+■（k>0）性質(zhì)可知，f（x）在[■，+∞）上是增函數(shù).

∵x∈[1，+∞），所以f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，f（x）在區(qū)間[1，

+∞）上的最小值為f（1）=■.

（2）方法一：在區(qū)間上[1，+∞），f（x）=■>0恒成立？圳

恒x2+2x+a>0成立，

設(shè)y=x2+2x+a，∵x∈[1，+∞）y=x2+2x+a=（x+1）2+a-1在[1，+∞）上是增函數(shù)，

∴x=1時(shí)，ymin=a+3，于是當(dāng)且僅當(dāng)ymin=a+3>0時(shí)，函數(shù)f（x）>0恒成立，故a>-3

方法二：f（x）=x+■+2，x∈[1，+∞）

當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）的值恒為正；

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，ymin=a+3，于是當(dāng)且僅當(dāng)ymin=a+3>0時(shí)，函數(shù)f（x）>0恒成，故a>-3，

方法三：在區(qū)間[1，+∞）上，f（x）=■>0恒成立？圳x2+2x+a>0恒成立？圳a>-x2-2x恒成立，故a應(yīng)大于u=-x2-2x，x∈[1，+∞）時(shí)的最大值為-3，

∴a>-3，0≤a<2.

通過例題的層層變式一題多解，學(xué)生對(duì)恒成立的認(rèn)識(shí)又深了一步，有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題；通過例題解法多變的教學(xué)有利于幫助學(xué)生形成思維定勢(shì)，而又打破思維定式，有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。

三、在學(xué)生易錯(cuò)處反思

學(xué)生的知識(shí)背景、思維方式、情感體驗(yàn)往往和成人不同，而其表達(dá)方式可能又不準(zhǔn)確，這就難免有“錯(cuò)”。例題教學(xué)若能從此切入，進(jìn)行解后反思，則往往能找到“病根”，進(jìn)而對(duì)癥下藥，常能收到事半功倍的效果

有這樣一個(gè)教學(xué)案例：一位高一的老師在講完函數(shù)后，出了這樣一道題：已知函數(shù)y=log■（3x2-ax+5）在[1，+∞）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是？

A學(xué)生的答案是（-2■，-6]，老師一看：錯(cuò)了！于是馬上請(qǐng)B同學(xué)回答，這位同學(xué)的答案是“（-8，-6]”，老師便請(qǐng)他講一講方法：……下課后聽課的老師對(duì)給出錯(cuò)誤答案的學(xué)生進(jìn)行訪談，那位學(xué)生說：……故答案為（-2■，-6].他的答案的確錯(cuò)了，怎么錯(cuò)的？為什么會(huì)有這樣的想法？又怎樣糾正呢？如果我們的例題教學(xué)能抓住這一契機(jī)，并就此展開討論、反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點(diǎn)恰恰容易被我們所忽視.

四、在情感體驗(yàn)處反思

教學(xué)中，如何從一道例題出發(fā)進(jìn)行變式教學(xué)，無論從方法上還是從內(nèi)容上都起著“固體拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，同時(shí)可培養(yǎng)學(xué)生提出問題和解決問題的能力并使學(xué)生探究能力和創(chuàng)新能力得到發(fā)展。像以上的例子很多，只要善于挖掘，對(duì)很多課本的例題、習(xí)題及概念都可做到舉一反三，融會(huì)貫通，既能鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，又能拓展知識(shí)空間，訓(xùn)練思維，提高能力，同時(shí)使得學(xué)生不再認(rèn)為課本是枯燥無味的，也培養(yǎng)了學(xué)生多種思維品質(zhì)，可以收到事半功倍的教學(xué)效果.

（作者單位 江蘇省金壇市第一中學(xué)）