劉平，劉曉曼，朱永貴

(中國(guó)傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

基于K-SVD字典學(xué)習(xí)的核磁共振圖像重建方法

劉平，劉曉曼，朱永貴

(中國(guó)傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

基于超完備字典的圖像稀疏表示因其具有稀疏性、特征保持性、可分性等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于圖像處理。本文利用K-SVD字典學(xué)習(xí)算法并應(yīng)用于MR圖像重建。將字典學(xué)習(xí)等價(jià)于一個(gè)二次規(guī)劃問題，學(xué)習(xí)得到的字典能有效描述圖像特征?；趯W(xué)習(xí)所得的字典，獲得圖像的稀疏表示，并重建原始圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與Zero-filling方法相比，本文的重建結(jié)果能更好地保留圖像細(xì)節(jié)信息，獲得更高的SNR值。

壓縮感知；核磁共振成像；重構(gòu)算法；K-SVD字典學(xué)習(xí)方法

1 引言

壓縮感知理論[1]是一種充分利用信號(hào)稀疏性或者可壓縮性的全新信號(hào)采樣理論。該理論表明，通過采集少量的信號(hào)值就可實(shí)現(xiàn)稀疏或可壓縮信號(hào)的精確重建。該理論在信號(hào)的獲取方式上突破了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理的限制，革命性地實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)據(jù)獲取的同時(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)膲嚎s，成功克服了采樣數(shù)據(jù)量巨大、采樣時(shí)間以及數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸?shù)任锢碣Y源浪費(fèi)嚴(yán)重的問題。該理論包含三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：稀疏表示、觀測(cè)采樣和信號(hào)重建。信號(hào)重建是其中關(guān)鍵的一部分，它對(duì)于觀測(cè)采樣后信號(hào)的精確重建以及采樣過程中的準(zhǔn)確性驗(yàn)證均有著重要的意義。

目前壓縮感知理論已廣泛應(yīng)用到圖像處理的各個(gè)領(lǐng)域，其中在醫(yī)學(xué)影像的核磁共振成像(MRI)取得了顯著的成果。MRI(magnetic resonance imaging)的臨床應(yīng)用開創(chuàng)了影像診斷的新紀(jì)元。核磁共振成像是當(dāng)今最重要的影像學(xué)手段之一，它具有組織分辨率高、可任意方向斷層、空間分辨率高、對(duì)人體無放射性損害等優(yōu)點(diǎn)。作為一種重要的臨床成像方式，MRI的主要不足是它的數(shù)據(jù)采集時(shí)間較長(zhǎng)從而導(dǎo)致成像速度較慢。所以此項(xiàng)技術(shù)需要解決的問題是：縮短采集時(shí)間[2]。通過重建算法研究降低成像所需的數(shù)據(jù)量，即在僅獲得部分成像數(shù)據(jù)的情況下，通過優(yōu)化重建算法仍然獲得滿足臨床診斷質(zhì)量需求的圖像[3]。

我們將K-SVD字典學(xué)習(xí)算法[4]應(yīng)用到重建算法中，將傳統(tǒng)的稀疏表示方法改變?yōu)槔米值鋵?duì)圖像進(jìn)行稀疏表示，然后通過數(shù)值試驗(yàn)證明，在相同采樣率下，本文的重建結(jié)果比Zero-filling的重建結(jié)果能更好地保留圖像細(xì)節(jié)信息，獲得更高的SNR值。

2 基于K-SVD字典學(xué)習(xí)的MR圖像重建

(1)

其中，T0為稀疏表示系數(shù)中非零分量的數(shù)目上限，即系數(shù)向量中的最大差異度。

從誤差逼近角度看，K-SVD訓(xùn)練算法的目標(biāo)方程還可表示為

(2)

本質(zhì)上，式(1)和式(2)是相同的，只是考慮問題的角度不同。論文中采用目標(biāo)函數(shù)為式(1)。

式(1)求解是一個(gè)迭代過程。首先，假設(shè)字典D是固定的，用MP、OMP或BP等算法可以得到字典D上，Y的稀疏表示的系數(shù)矩陣X;然后根據(jù)稀疏矩陣X，找到更好的字典D。

(3)

上式中，乘積DX被分解為K個(gè)秩為1的矩陣的和。按照假設(shè)其中K-1項(xiàng)是固定的，所剩的一個(gè)，也就是要處理的第k個(gè)。矩陣Ek代表的是去掉原子dk的成分在所有N個(gè)樣本中造成的誤差。

(4)

K-SVD算法非常靈活，可以和常見的稀疏分解的最優(yōu)原子搜索法(如匹配追蹤(MP)、正交匹配追蹤(OMP)、基追蹤(BP)、FOCUSS等)結(jié)合使用。本文選用的最優(yōu)原子搜索算法是正交匹配追蹤(OMP)算法。

基于壓縮感知以及字典學(xué)習(xí)的MR圖像重建需要具備兩個(gè)特性：

(1)稀疏性：重建模型需要保證采樣數(shù)據(jù)在字典下被稀疏表示；

(2)特征保持性：重建模型應(yīng)當(dāng)盡量避免偽影在重建結(jié)果中出現(xiàn)，例如直接對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行零填充后傅立葉逆變換所出現(xiàn)的現(xiàn)象；一般來說，偽影的出現(xiàn)主要是由于較低的低采樣率，以及采樣過程中所含帶的噪聲所引起的。

基于以上因素的考慮，我們給出以下重建模型：

(5)

模型中的第一項(xiàng)是用來保證采樣數(shù)據(jù)在稀疏字典D下有著最佳逼近于原始數(shù)據(jù)；模型中的第二項(xiàng)保證了重建數(shù)據(jù)在欠采樣下的精確度。系數(shù)v的大小取決于噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σ，即v=(λ/σ)，此處，λ是一個(gè)正常數(shù)。這使得模型對(duì)噪聲有著更好的魯棒性。這種利用先驗(yàn)信息來確定系數(shù)的方法已經(jīng)在圖像去噪中取得很好的應(yīng)用[5]。本文提出的基于超完備字典學(xué)習(xí)的重建算法，將字典訓(xùn)練問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)帶邊界約束的二次規(guī)劃問題，并研究適合于大規(guī)模運(yùn)算的解法，使其適用于具有高維特性的圖像處理問題。訓(xùn)練得到的字典具有非負(fù)性的特征，與采樣數(shù)據(jù)相適應(yīng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于K-SVD算法訓(xùn)練得到的字典具有很好的去噪能力，能夠更好地重建出原始MR圖像的特征，重建后具有較高的峰值信噪比。

基于上述模型的MR重建算法包含兩個(gè)過程：

(1)字典更新：這里，x初始假設(shè)是已知固定的，字典和采樣數(shù)據(jù)的稀疏表示交互學(xué)習(xí)進(jìn)行更新。

(2)重建過程：此過程中與上一步相反，字典和采樣數(shù)據(jù)的稀疏表示已經(jīng)得到更新結(jié)果，所以此時(shí)是已知固定的，而x就是我們要得到的重建結(jié)果。

接下來將詳細(xì)描述這兩個(gè)步驟。

首先是字典更新，在此步驟中，問題(5)在x固定的前提下進(jìn)行求解。此時(shí)對(duì)應(yīng)的子問題為：

(6)

(6)中已經(jīng)把稀疏表示的系數(shù)進(jìn)行了誤差約束，同樣的方法在基于字典學(xué)習(xí)的去噪算法中也是一樣的。我們用采樣數(shù)據(jù)來訓(xùn)練字典，對(duì)應(yīng)的字典中的每一列為規(guī)范化的向量。字典學(xué)習(xí)的過程應(yīng)用K-SVD算法來進(jìn)行學(xué)習(xí)，一旦得到新的字典，對(duì)應(yīng)的稀疏表示系數(shù)αij就可確定。

接下來，在重建過程中字典和稀疏表示系數(shù)均是固定已知的，對(duì)應(yīng)的重建模型(5)將變化為：

(7)

此時(shí)(7)是一個(gè)普通的最小二乘問題，接下來對(duì)其進(jìn)行求解。首先對(duì)(7)一階求導(dǎo)后得到的結(jié)果如下：

(8)

式中，上標(biāo)H和T分別代表復(fù)數(shù)下的共軛轉(zhuǎn)置以及實(shí)數(shù)下的轉(zhuǎn)置運(yùn)算。直接對(duì)(8)進(jìn)行求解的計(jì)算量是相當(dāng)大的，因?yàn)橐獙?duì)一個(gè)P＊P的矩陣進(jìn)行求逆才可得到重建結(jié)果，而此處的P=256×256，這使得求解此問題的時(shí)間復(fù)雜度達(dá)到O(P3)。但是對(duì)問題中的各項(xiàng)進(jìn)行仔細(xì)的分析，我們可以利用其結(jié)構(gòu)的特殊性對(duì)其計(jì)算量進(jìn)行簡(jiǎn)化。

接下來，可以利用傅立葉變換的性質(zhì)對(duì)(8)做進(jìn)一步計(jì)算量的簡(jiǎn)化。首先定義F∈CP×P為一個(gè)傅立葉變換編碼矩陣，從而有FHF=βIP。將全空間的數(shù)據(jù)x的傅立葉變換Fx代入到(8)中我們可以得到：

(9)

(9)中的每一小塊的求解結(jié)果的傅立葉變換域的值我們可以這樣來表示：

基于以上分析，可以得到(9)的求解結(jié)果如下：

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了分析本章提出算法的性能，將本章的算法和Zero-filling方法進(jìn)行比較，其中Zero-filling方法采用逆傅里葉變換的思想求解MR圖像重建問題。

實(shí)驗(yàn)用圖如圖1所示的三幅標(biāo)準(zhǔn)MR測(cè)試圖像，采用上述算法和本文方法對(duì)三幅標(biāo)準(zhǔn)MR圖像進(jìn)行重建，用射線性型采樣模式進(jìn)行采樣(圖2)，采樣率取35%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下所示：

我們知道，評(píng)價(jià)圖像處理效果最常用的技術(shù)指標(biāo)是峰值信噪比(SNR值，式10)，峰值信噪比越大，表明重建的圖像和原圖像的差異越小，從而圖像的重建效果就越好。針對(duì)上述三幅測(cè)試圖像，對(duì)Zero-filling方法和本章方法進(jìn)行比較。

(10)

表1 未添加噪聲SNR結(jié)果：

表2 添加σ=10的高斯噪聲后的SNR結(jié)果

(a)原始圖像 (b)Zero-filling方法 (c)本文方法

(d)原始圖像細(xì)節(jié) (e)Zero-filling重建細(xì)節(jié) (f)本文方法重建細(xì)節(jié)

(g)訓(xùn)練得到的字典

(a)原始圖像 (b)Zero-filling方法 (c)本文方法

(a)原始圖像 (b)Zero-filling方法 (c)本文方法

4 結(jié)論

本文基于已有的字典稀疏表示方法以及K-SVD字典學(xué)習(xí)方法，討論了新的MR重建模型。并與Zero-filling方法進(jìn)行了重建結(jié)果對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在相同采樣率下，本章討論的方法能有效地使重建出的效果好于Zero-filling方法。

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[4]M Aharon，M Elad，A Bruckstein.K-SVD：An algorithm for designing overcomplete dictionaries for sparse representation[J].IEEE Trans Signal Process，vol 54，no 11：4311-4322，Nov 2006.

[5]M Elad，M Aharon.Image denoising via sparse and redundant representations over learned dictionaries[J].IEEE Trans Image Process，vol 15，no 12：3736-3745，Dec 2006.

MRImageReconstructionBasedonK-SVDDictionaryLearning

LIU Ping，LIU Xiao-man，ZHU Yong-gui

(Department of Applied Mathematics，School of Sciences，Communication University of China，Beijing 100024 China)

Images’ sparse representation using over-complete dictionaries have a wide application in image processing due to the properties of sparsity，integrity and separability.This paper proposes a dictionary learning algorithm which is applied to MR image reconstruction.The dictionary learning problem can be expressed as a box-constrained quadratic problem.The learned dictionary describes the image content effectively.Based on dictionary learning，we propose a model of MR image reconstruction，and compare with the Zero-filling method.The results of numerical experiments show that，under a same sampling rate，the reconstruction by proposed method can keep better reconstructed effect and higher SNRs.

compressed sensing; Magnetic Resonance Imaging; reconstruction algorithm; K-SVD dictionary learning method

2013-06-27

劉平(1988-)，男(漢族)，陜西榆林人，中國(guó)傳媒大學(xué)碩士研究生.E-mail：liupingcuc@163.com

TP391

A

1673-4793(2013)04-0034-06

(責(zé)任編輯：宋金寶)