路建偉，姚增建，王 濛

(防空兵學(xué)院，河南 鄭州 450052)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的抽象和描述，它突出強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的拓?fù)涮卣?。?fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的研究始于20世紀(jì)60年代著名數(shù)學(xué)家Erd?s和Rényi提出的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型。在此后的近40年里，該模型一直是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本模型。直到20世紀(jì)90年代末，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的新特征和相應(yīng)模型相繼被揭示，其中包括著名的WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型。

現(xiàn)代防空反導(dǎo)系統(tǒng)面臨的威脅日益增加，必須集成各種防空反導(dǎo)作戰(zhàn)資源，實(shí)現(xiàn)防空反導(dǎo)系統(tǒng)內(nèi)各作戰(zhàn)要素之間的信息共享和綜合運(yùn)用，形成一個(gè)多武器協(xié)同的網(wǎng)絡(luò)化防空反導(dǎo)體系［1］。而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論正是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)體系構(gòu)建的最有效工具，運(yùn)用該理論的原理和方法，建立網(wǎng)絡(luò)化防空反導(dǎo)體系使其魯棒性、抗毀性更好，是贏得防空反導(dǎo)作戰(zhàn)的必要條件。

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論概述

1．1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基本模型

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型是由鏈路和節(jié)點(diǎn)按一定原則構(gòu)建的組合圖。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以分為規(guī)則網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)、WS小世界網(wǎng)絡(luò)、無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)、星型網(wǎng)絡(luò)和集散網(wǎng)絡(luò)等等。實(shí)踐證明，現(xiàn)實(shí)世界的很多網(wǎng)絡(luò)都具有小世界特性與無(wú)標(biāo)度特性。

小世界網(wǎng)絡(luò)(Small-World)模型［2-4］由 D．J．Watts和S．H．Strogat于1998年提出，該模型從規(guī)則網(wǎng)絡(luò)開(kāi)始，以概率p隨機(jī)地重新連接網(wǎng)絡(luò)中的每條邊，同時(shí)避免自連接和重復(fù)邊，構(gòu)造出了一種介于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)之間的小世界網(wǎng)絡(luò)。WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型同時(shí)具有大的聚集系數(shù)和小的特征路徑長(zhǎng)度的統(tǒng)計(jì)特征，即小世界效應(yīng)，是因?yàn)檫叺闹剡B過(guò)程為網(wǎng)絡(luò)引入了極少量長(zhǎng)連接，其他節(jié)點(diǎn)間的最短路徑通常會(huì)優(yōu)先經(jīng)過(guò)此節(jié)點(diǎn)，從而縮短了節(jié)點(diǎn)間的距離，使得整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平均距離變小。

無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)(Scale-Fee)模型［2-3］由 A．L．Barabasi和R．Albert于1999年提出，其統(tǒng)計(jì)特征是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度服從冪律分布，冪律分布的統(tǒng)計(jì)參數(shù)與網(wǎng)絡(luò)大小無(wú)關(guān)，因此這類(lèi)網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)為無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有某些真實(shí)網(wǎng)絡(luò)最常見(jiàn)的兩個(gè)特性:增長(zhǎng)和偏好連接。

1．2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特征

用來(lái)分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的主要統(tǒng)計(jì)特征量［2-5］有以五個(gè)。

1)邊數(shù)節(jié)點(diǎn)比(L/N):用于比較不同規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的邊數(shù)密度，該參數(shù)主要用于衡量構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)所消耗的資源量，以及衡量網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜程度。

2)平均路徑長(zhǎng)度(CPL):定義為網(wǎng)絡(luò)任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間距離的平均值，即

其中，dij為網(wǎng)絡(luò)中i和j兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑上的邊數(shù)。CPL值表示網(wǎng)絡(luò)傳遞信息的能力。平均路徑長(zhǎng)度值越大，說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)中信息的流動(dòng)、共享與同步越困難，使作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)為各作戰(zhàn)單元提供迅速、準(zhǔn)確、有效的共享態(tài)勢(shì)感知越難，進(jìn)而造成作戰(zhàn)單元間協(xié)同和同步將難以實(shí)現(xiàn)。

3)度分布:一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度定義為此節(jié)點(diǎn)連接的邊數(shù)，可用分布函數(shù)P(k)描述具有相同節(jié)點(diǎn)度的出現(xiàn)概率，稱(chēng)為度分布。如果網(wǎng)絡(luò)的度分布為冪率分布，則為無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有自催化能力:只需改變5% ～10% 的鏈路連接，就可以重新配置網(wǎng)絡(luò)效能［6］。網(wǎng)絡(luò)化防空反導(dǎo)體系應(yīng)盡可能具有冪率的度分布特征，使作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)可重新配置。

4)網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)(C):網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)聚集系數(shù)的平均值。節(jié)點(diǎn)i的聚集系數(shù)Ci為與該節(jié)點(diǎn)連接的ki個(gè)節(jié)點(diǎn)之間實(shí)際存在的邊數(shù)和總的可能邊數(shù)的比值。

其中，ki為與節(jié)點(diǎn)i連接的鄰節(jié)點(diǎn)數(shù)量;Ei為與節(jié)點(diǎn)i相連的ki個(gè)節(jié)點(diǎn)之間實(shí)際存在的邊數(shù)。

在作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)中，聚集系數(shù)有兩個(gè)方面的含義:一是表示在完成某個(gè)作戰(zhàn)任務(wù)時(shí)，同一作戰(zhàn)編組內(nèi)各單元之間相互協(xié)調(diào)的能力;二是網(wǎng)絡(luò)重建中的重要性表示，例如，防空反導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在遭受敵方的打擊時(shí)失去了與一些作戰(zhàn)單元的聯(lián)系，而聚集系數(shù)較高的作戰(zhàn)單元可以通過(guò)任意節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)的重要節(jié)點(diǎn)取得聯(lián)系而有效完成網(wǎng)絡(luò)重建。網(wǎng)絡(luò)化防空反導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)該具有較大網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)。

通常來(lái)講，一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)少于50的網(wǎng)絡(luò)是不會(huì)產(chǎn)生顯著的網(wǎng)絡(luò)化效能［6］，所以假設(shè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)為70，采用軟件Pajek生成相關(guān)網(wǎng)絡(luò)，WS小世界網(wǎng)絡(luò)與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計(jì)參數(shù)比較如表1所示。

表1 兩種網(wǎng)絡(luò)參數(shù)對(duì)比

由表1可知，小世界網(wǎng)絡(luò)和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的邊數(shù)節(jié)點(diǎn)比和平均路徑長(zhǎng)度較小，網(wǎng)絡(luò)聚類(lèi)系數(shù)較大。無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度更小一些，聚類(lèi)系數(shù)更大一些，更為重要的是無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布服從冪率，當(dāng)遭到敵方攻擊，需要臨時(shí)改變部隊(duì)配置時(shí)，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型只需變更幾個(gè)度較大的節(jié)點(diǎn)則能很輕易地實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)重組，避免其遭受毀滅性打擊。因此，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)更能滿足防空反導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)體系的構(gòu)建需求。

2 基于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的防空反導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)模型

2．1 基于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的防空反導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)模型

文獻(xiàn)［4］中給出了傳統(tǒng)防空反導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)模型與基于WS小世界網(wǎng)絡(luò)的防空反導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)模型。設(shè)防空反導(dǎo)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)與文獻(xiàn)［4］一致，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)更能滿足防空反導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建需求。則用無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)建立防空反導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)模型。

防空反導(dǎo)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)假設(shè):1個(gè)戰(zhàn)役級(jí)指揮控制中心，它與下屬10個(gè)防空導(dǎo)彈戰(zhàn)術(shù)級(jí)指揮控制中心和3個(gè)預(yù)警雷達(dá)戰(zhàn)術(shù)級(jí)指揮控制中心之間連通;每個(gè)防空導(dǎo)彈戰(zhàn)術(shù)級(jí)指揮控制中心配置4個(gè)防空導(dǎo)彈火力單位，每個(gè)預(yù)警雷達(dá)戰(zhàn)術(shù)級(jí)指揮控制中心配置3個(gè)預(yù)警雷達(dá)單位。指揮控制節(jié)點(diǎn)14個(gè)，火力節(jié)點(diǎn)40個(gè)，預(yù)警雷達(dá)節(jié)點(diǎn)9個(gè)，共計(jì)63個(gè)節(jié)點(diǎn)。

戰(zhàn)術(shù)級(jí)和火力單元各個(gè)節(jié)點(diǎn)按照無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行構(gòu)造［7］，即

1)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。初始網(wǎng)絡(luò)為1個(gè)戰(zhàn)役級(jí)指揮控制節(jié)點(diǎn)、1個(gè)戰(zhàn)術(shù)級(jí)指揮控制節(jié)點(diǎn)、1個(gè)防空導(dǎo)彈火力節(jié)點(diǎn)、1個(gè)預(yù)警雷達(dá)指揮控制節(jié)點(diǎn)和1個(gè)預(yù)警雷達(dá)節(jié)點(diǎn)，5個(gè)節(jié)點(diǎn)上下級(jí)相連，且預(yù)警雷達(dá)指揮控制節(jié)點(diǎn)與戰(zhàn)術(shù)級(jí)指揮控制相連。

2)節(jié)點(diǎn)數(shù)目增長(zhǎng)與邊的連接過(guò)程。增加1個(gè)節(jié)點(diǎn)，該節(jié)點(diǎn)首先連接到上級(jí)節(jié)點(diǎn)上，然后再隨機(jī)連接到2個(gè)已經(jīng)存在的節(jié)點(diǎn)上，其連接法則為新節(jié)點(diǎn)選擇某個(gè)節(jié)點(diǎn)i的概率Pi正比于這個(gè)節(jié)點(diǎn)i的度數(shù)，即

該防空反導(dǎo)系統(tǒng)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示。

2．2 防空反導(dǎo)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特征

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的主要統(tǒng)計(jì)特征是網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性分析的重要參數(shù)。取復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)5個(gè)統(tǒng)計(jì)特征參數(shù):N為節(jié)點(diǎn)數(shù)、M為連邊數(shù)、＜k＞為平均度、C為網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)、CPL為平均路徑長(zhǎng)度(CPL)，基于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的防空反導(dǎo)統(tǒng)計(jì)特征與文獻(xiàn)［4］中網(wǎng)絡(luò)A、B、C比較如表2。

圖1 基于無(wú)標(biāo)度防空反導(dǎo)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型

表2 網(wǎng)絡(luò)模型主要統(tǒng)計(jì)特征表

網(wǎng)絡(luò)A、B、C的統(tǒng)計(jì)特征值來(lái)源于文獻(xiàn)［4］，網(wǎng)絡(luò)A為傳統(tǒng)防空反導(dǎo)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型，網(wǎng)絡(luò)B、C為基于WS小世界網(wǎng)絡(luò)的防空反導(dǎo)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型，邊重連接選擇概率 P分別為0．1與0．3。

由表2可知，傳統(tǒng)防空系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型連邊少，平均度低(僅為1．968)，集聚系數(shù)很低(為0)，平均距離卻很大(為3．403)，反映出這種網(wǎng)絡(luò)連邊少，節(jié)點(diǎn)之間聯(lián)系少，信息傳播距離長(zhǎng)，網(wǎng)絡(luò)效率很低;而基于WS小世界網(wǎng)絡(luò)的模型網(wǎng)絡(luò)B、C與基于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型都有大的網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)和小的平均路徑長(zhǎng)度。網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)大表示防空反導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的抗毀能力較強(qiáng)，當(dāng)某些節(jié)點(diǎn)被破壞時(shí)，能較快地通過(guò)其他節(jié)點(diǎn)連接重組網(wǎng)絡(luò)。平均路徑長(zhǎng)度小表示節(jié)點(diǎn)間的聯(lián)系緊密，信息傳播速度快。

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的邊與節(jié)點(diǎn)總數(shù)的比值超過(guò)4時(shí)，網(wǎng)絡(luò)即有可能由于存在過(guò)多的向前和向后的反饋環(huán)路使網(wǎng)絡(luò)癱瘓［3］。一般情況下邊數(shù)節(jié)點(diǎn)比(L/N)約小于2，過(guò)大網(wǎng)絡(luò)開(kāi)銷(xiāo)太大，過(guò)小網(wǎng)絡(luò)很脆弱［6］?；跓o(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型邊數(shù)僅為181，比網(wǎng)絡(luò)B、C開(kāi)銷(xiāo)小，但達(dá)到了同樣的網(wǎng)絡(luò)效果。

文獻(xiàn)［4］中平均度定義實(shí)際是邊數(shù)節(jié)點(diǎn)比(L/N)的2倍，意義不在于對(duì)網(wǎng)絡(luò)魯棒性分析，而在于邊數(shù)節(jié)點(diǎn)比的分析，邊數(shù)節(jié)點(diǎn)比(L/N)越大，網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)銷(xiāo)越大。

基于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的節(jié)點(diǎn)度分布統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表3。

表3 節(jié)點(diǎn)度分布統(tǒng)計(jì)表

由于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布服從冪率，即P(k)=ck－r，其中c為常數(shù)，k為節(jié)點(diǎn)的度，r為度指數(shù)。當(dāng)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度服從度指數(shù)介于［2，3］之間的冪律分布時(shí)，就說(shuō)明該網(wǎng)絡(luò)符合無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)［8］。將表3數(shù)據(jù)導(dǎo)入到MATLAB中，擬合得到c=1．8582，r=2．1593，介于2～3之間，基于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型所生成的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度分布符合冪律分布，因而所得網(wǎng)絡(luò)符合無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特征。將其度分布用雙對(duì)數(shù)曲線作圖如圖2所示。

圖2 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度分布圖

圖2 與文獻(xiàn)［4］中相比較，基于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型比網(wǎng)絡(luò)B、C網(wǎng)絡(luò)中心化程度更低，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性更好，即網(wǎng)絡(luò)重組性更強(qiáng)，網(wǎng)絡(luò)抗毀能力更出色。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了基于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的防空反導(dǎo)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型，并將其統(tǒng)計(jì)特征同基于WS小世界網(wǎng)絡(luò)的模型進(jìn)行了比較，得出基于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布為冪率分布，更適合防空反導(dǎo)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建。所構(gòu)建的防空反導(dǎo)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型有更好的網(wǎng)絡(luò)平均度，節(jié)點(diǎn)間聯(lián)系緊密，信息傳播速度快，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性更好，對(duì)一體化防空反導(dǎo)系統(tǒng)的構(gòu)建具有一定參考意義。

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