趙巧蘭，郭津津

(天津理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點實驗室，天津 300384)

0 前言

雙螺桿泵可應(yīng)用在非潤滑性介質(zhì)、腐蝕性介質(zhì)、含微量雜質(zhì)、大流量和氣液混輸?shù)墓r下。其核心部件為相互嚙合的雙螺桿轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)子的齒面與轉(zhuǎn)子軸線垂直面的截交線稱為轉(zhuǎn)子型線，轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計直接影響著雙螺桿泵的性能。不同的轉(zhuǎn)子型線組合構(gòu)成了不同類型的雙螺桿泵。因此，雙螺桿泵轉(zhuǎn)子型線的研究是雙螺桿泵研究的基礎(chǔ)，也是雙螺桿泵優(yōu)化設(shè)計、提高整機性能的關(guān)鍵。根據(jù)轉(zhuǎn)子型線的組合形式，雙螺桿泵一般分為“方牙形”雙螺桿泵、A型雙螺桿泵、B型雙螺桿泵、C型雙螺桿泵和Ω型雙螺桿泵。

本文以Ω型雙螺桿泵轉(zhuǎn)子為研究對象，其型線為普通外擺線和伸長外擺線的組合。根據(jù)擺線的相關(guān)理論知識，得出Ω型雙螺桿泵轉(zhuǎn)子各段型線方程，并根據(jù)包絡(luò)原理求得其對應(yīng)的共軛曲線方程。建立雙頭雙螺桿泵轉(zhuǎn)子三維模型并推導(dǎo)出螺旋曲面方程，為后續(xù)擺線型雙頭雙螺桿泵的性能研究奠定基礎(chǔ)。

1 螺桿螺旋端面的型線組成及方程

螺桿螺旋端面型線主要是擺線組合而成的abc曲線，如圖1所示，其中ab曲線為普通外擺線，bc曲線為伸長外擺線。在螺桿端面以O(shè)1X軸為橫軸、O1Y軸為縱軸建立坐標(biāo)系XO1Y，同時，將坐標(biāo)系XO1Y逆時針旋轉(zhuǎn)角度θbc即是坐標(biāo)系X'O1Y'。

圖1 螺桿螺旋端面的齒形曲線Fig.1 Toothed curve of the screw's end surface

1.1 普通外擺線ab

以螺桿螺旋端面上的節(jié)圓O1作定圓，另一螺桿螺旋的節(jié)圓O2作動圓，當(dāng)動圓沿著定圓作順時針純滾動時，以動圓O2節(jié)圓上的b點為擺點的軌跡，即為普通外擺線ab。在坐標(biāo)系XO1Y中建立其方程式為

式中，rj為節(jié)圓半徑;dj為兩圓的中心距;R為齒頂圓半徑;r為齒根圓半徑;φab為齒形曲線ab的齒形轉(zhuǎn)角，即型線起始位置b隨著動圓滾動至終點位置a，此時兩圓心連線O1O2和O1O2a之間的夾角。

1.2 長幅外擺線bc

以螺桿螺旋端面上的節(jié)圓O1作定圓，另一螺桿螺旋的節(jié)圓O2'作動圓，當(dāng)動圓沿著定圓作逆時針純滾動時，動圓外以O(shè)2'為圓心的螺旋齒頂圓上的c點為擺點的軌跡，即為長幅外擺線bc。在坐標(biāo)系XO1Y中建立其方程式為

式中，φbc為齒形曲線bc的齒形轉(zhuǎn)角，即型線起始位置c隨著動圓滾動至終點位置b，此時兩圓心連線O1O2'和O1O'2a之間的夾角;θbc為伸長外擺線bc的極角。

2 雙頭螺桿的端面型線

雙頭雙螺桿泵螺桿齒形端面型線如圖2所示。齒形的端面型線是由12段曲線連接而成，其分別是 ab、bc、ad、de、ef、fg、gh、hi、il、lk、kj和 jc。其中曲線 def和 abc關(guān)于直線 MON對稱;jkl與ghi分別和abc與def關(guān)于直線AOB對稱。其中各段齒形曲線性質(zhì)見表1。

圖2 雙頭雙螺桿泵的端面型線Fig.2 Face type line of the double helix twin-screw pump

表1 主從螺桿端面齒形Tab.1 Toothed face of master-slave screw

由ab、bc段的型線方程，可以得出de、ef段的曲線方程和圓弧段ad和cj的曲線方程。

(1)de段。

(2)ef段。

(3)ad段。

(4)cj段。

式中，τ 為變量;α =θbc;θ0=45°。

同理，可得lk、hi、kj、gh、fg、il各段曲線方程。

3 共軛型線方程

Ω型雙螺桿泵最大的特點是一對螺桿依靠一對同步齒輪傳遞扭矩，兩根螺桿有兩對軸承支撐，因此螺桿的螺旋面之間可以實現(xiàn)互不接觸。從齒形共軛的角度根據(jù)主動螺桿的型線方程推導(dǎo)得出從動螺桿的型線方程，轉(zhuǎn)子的嚙合對應(yīng)關(guān)系如圖3所示。

圖3 原始型線和共軛型線Fig.3 Original profile and conjugate profile

［1］，當(dāng)螺桿的發(fā)生圓為另一螺桿的節(jié)圓，且發(fā)生圓與另一螺桿螺旋節(jié)圓的圓心相同時，普通外擺線和長幅外擺線的共軛曲線已不再是曲線，而變成了一個點，即點成為共軛曲線為內(nèi)擺線的特殊情況。根據(jù)坐標(biāo)變換和包絡(luò)原理，可得

主動螺桿上的ab段曲線對應(yīng)的共軛曲線為從動螺桿上的b'(0，rj)點。

主動螺桿上的b(0，rj)點對應(yīng)的共軛曲線為從動螺桿上的a'b'段曲線，其方程為

主動螺桿上的bc段曲線對應(yīng)的共軛曲線為從動螺桿上的a'點。其坐標(biāo)為

式中，θab為普通外擺線ab的極角，

主動螺桿上的 a(Rsinθab，Rcosθab)點對應(yīng)的共軛曲線為從動螺桿上的b'c'段曲線，其方程為

由此得出，從動螺桿和主動螺桿的齒形曲線輪廓是相同的。

4 基于Pro/E的雙頭螺桿泵虛擬建模

根據(jù)螺桿轉(zhuǎn)子端面型線各段方程式，利用Pro/E的可變剖面掃描方法建立了雙頭雙螺桿泵轉(zhuǎn)子的三維模型，如圖4所示。其中轉(zhuǎn)子的相關(guān)參數(shù)為 rj=152.5 mm，dj=305 mm，R=200 mm，r=105 mm。

圖4 雙頭雙螺桿泵轉(zhuǎn)子三維模型Fig.4 Three-dimensional model of the double helix twin-screw pump

5 螺桿轉(zhuǎn)子的螺旋曲面方程

螺桿螺旋端面上的齒形曲線繞螺桿軸線旋轉(zhuǎn)，并作軸向位移，兩運動合成的軌跡就構(gòu)成了螺旋面。

根據(jù)螺旋曲面的生成原理，可得其方程為

式中，T為螺旋導(dǎo)程;xm、ym為螺桿轉(zhuǎn)子端面型線方程;θ為螺桿轉(zhuǎn)子端面型線扭轉(zhuǎn)角度參數(shù);“±”為當(dāng)主動轉(zhuǎn)子右旋時取上面的符號，反之取下面的符號。

6 結(jié)論

本文分析了Ω型雙頭雙螺桿泵轉(zhuǎn)子型線的組成和形成原理，得出轉(zhuǎn)子型線的數(shù)學(xué)模型，運用包絡(luò)原理得出型線的共軛曲線方程式，推導(dǎo)得出共軛型線與原始型線的嚙合對應(yīng)關(guān)系。利用坐標(biāo)變換得出轉(zhuǎn)子端截面各段擺線的數(shù)學(xué)方程式，結(jié)合具體產(chǎn)品利用Pro/E對Ω型雙頭雙螺桿泵轉(zhuǎn)子進(jìn)行三維建模，建立其螺旋曲面方程，為后續(xù)的雙頭雙螺桿泵的性能研究和優(yōu)化改進(jìn)提供依據(jù)。

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