張旭萍，李永祥

(西北師范大學數(shù)學與信息科學學院，甘肅蘭州730070)

設E 為有序Banach 空間，其正元錐P 為正規(guī)錐，正規(guī)常數(shù)為N，記Ⅰ=［0，1］，考慮E 中的非線性四階邊值問題

正解的存在性，其中f:［0，1］×E×E→E 連續(xù)，θ 為E 中的零元.

Banach 空間中的常微分方程作為含無窮維參數(shù)的常微分方程及無窮維常微分方程組的抽象模型，是微分方程中的一個重要研究課題. 由于無限維空間與有限維空間的本質差異，普通常微分方程的許多研究結果，特別是解的存在性結果對抽象空間的常微分方程不再成立，因此研究抽象空間常微分方程解的存在性理論與應用都是有意義的. 當E= 時，問題(1)已被一些學者做過大量的研究［1－4］. 但在一般的抽象空間中，對該問題的研究相對較少. 文獻［1］利用錐上全連續(xù)算子的不動點指數(shù)理論解決了當E= 時，邊值問題(1)正解的存在性問題，但在抽象空間中，至今未出現(xiàn)任何相關結論. 本文主要利用凝聚映射拓撲度理論及相關的不動點定理，在Banach 空間中研究四階兩點邊值問題(1)正解的存在性問題，并給出了存在性定理，從而推廣了文獻［1］的結果.文獻［5］－［6］在非緊性測度條件下討論Banach 空間常微分方程邊值問題時，要求非線性項f 在有界集上一致連續(xù).本文采用了新的非緊性測度的估計技巧，刪去了對f 一致連續(xù)的要求.

1 預備工作

問題(1)可化為Banach 空間中等價的積分方程

來處理，其中

設E 為Banach 空間，用· 表示E 中的范數(shù).C(Ⅰ，E)為定義于Ⅰ取值于E 的全體連續(xù)函數(shù)按范數(shù)構成的Banach 空間. 在C2(Ⅰ，E)中取等價范數(shù)‖u‖2= max{‖u‖c，‖u″‖c}，則C2(Ⅰ，E)按‖u‖2構成了Banach 空間. 記K2(Ⅰ，P)={uC2(Ⅰ，E)|u≥θ，u″≤θ}，則K2(Ⅰ，P)為C2(Ⅰ，E)中的正規(guī)錐，正規(guī)常數(shù)亦為N.

先引入一些非緊性測度的有關結果. 以下E 與C(Ⅰ，E)中有界的Kuratowski 非緊性測度均用α(·)表示，C2(Ⅰ，E)中有界的Kuratowski 非緊性測度用α2(·)表示. 對B?C(Ⅰ，E)，記B(t)={u(t)|uB，tⅠ}?E. 對B?C2(Ⅰ，E)，記B″(t)={u″(t)|uB，tⅠ}.

假設f 滿足非緊性測度條件(H0):?R ＞0，f 在Ⅰ×PR×(－PR)上有界，且存在常數(shù)L1和L2，滿足L1+L2＜2，使得對?tⅠ，D1?PR，D2?(－PR)，有

設Q 為由方程(2)定義的算子，則Q:K2(Ⅰ，P)→K2(Ⅰ，P)連續(xù)，且易驗證方程(1)的解等價于Q 的不動點.本文將應用凝聚映射的不動點指數(shù)理論尋找Q 的不動點. 本節(jié)先證明在條件(H0)下，Q:K2(Ⅰ，P)→K2(Ⅰ，P)是凝聚的.

引理1［6］設B?C(Ⅰ，E)為等度連續(xù)的有界函數(shù)簇，則α(B)在Ⅰ上連續(xù)，且

引理2［7］設B ={un}?C(Ⅰ，E)為可列集，若存在ψL1(Ⅰ)，使得‖un(t)‖≤ψ(t)，a.e tⅠ，n=1，2，…，則

引理3［8］設D?E 有界，則存在D 的可列子集D0，使得α(D)≤2α(D0).

引理4 假設條件(H0)成立，則方程(2)定義的算子Q:K2(Ⅰ，P)→K2(Ⅰ，P)凝聚.

證明 易見Q 把K2(Ⅰ，P)中的有界集映為有界的等度連續(xù)集. 任取非相對緊的有界集B?K2(Ⅰ，P)，則Q(B)和Q(B″)是有界的等度連續(xù)集，由非緊性測度的定義及性質可得

由引理3 知，存在可列集B0= {un}?B，使得α(Q(B))≤2α(Q(B0))，α(Q(B″))≤2α(Q(B″0)).對?tⅠ，由引理2 及假設(H0)，有

所以

因此

從而Q:K2(Ⅰ，P)→K2(Ⅰ，P)為凝聚映射. 證畢.

由式(3)易知:Green 函數(shù)G(t，s)具有性質:

取K2(Ⅰ，P)的子錐

由性質(i)與(ii)易證，Q(K2(Ⅰ，P))?K，因此Q:K→K 為凝聚映射，問題(1)的正解等價于Q 在K 中的非零不動點.對0 ＜r ＜R ＜∞，記

?Kr為Kr在K 中的相對邊界，記，則Q在Kr，R上的不動點為問題(1)的正解.本文將在Kr，R上應用凝聚映射的不動點指數(shù)理論尋求Q 的不動點.

設X 為Banach 空間，K?X 為閉凸錐，Ω?X 為有界開集為凝聚映射，若Q 在K∩?Ω 上無不動點，則不動點指數(shù)i(Q，K∩Ω，K)有定義.i(Q，K∩Ω，K)有與全連續(xù)映射的不動點指數(shù)完全類似的性質，所不同的是同倫不變性條件需由緊同倫改為一致凝聚同倫. 一個重要的性質是可解性:若i(Q，K∩Ω，K)≠0，則Q 在K∩Ω 中存在不動點，利用同倫不變性與可解性，能夠用與全連續(xù)映射情形相同的論證方法證明i(Q，K∩Ω，K)具有下列性質:

引理5(零倫性) 設Q:K→K 為凝聚映射，r ＞0，若Q 滿足u≠λQu，?u?Kr，0 ＜λ≤1. 則不動點指數(shù)i(Q，Kr，K)=1.

引理6(缺方向性) 設Q:K→K 為凝聚映射，r ＞0，若存在v0K，v0≠θ，使得u－Qu≠τv0，?u?Kr，τ≥0.則不動點指數(shù)i(Q，Kr，K)=0.

2 主要結果

定理1 設E 為有序Banach 空間，其正元錐P為正規(guī)錐. 設f:Ⅰ×P×(－P)→P 連續(xù)，且滿足假設(H0)，若f 滿足條件:

(H1)?α，β≥0，α/π4+β/π2＜1，及r0＞0，使得f(t，u，v)≤αu－βv，?tⅠ，uPr0，v(－Pr0);

(H2)?α1，β1≥0，α1/π4+ β1/π2＞1，及h1C(Ⅰ，P)，使得

則邊值問題(1)至少存在一個正解.

證明 按上一節(jié)討論，只需證明由方程(2)定義的凝聚映射Q:K→K 存在非平凡的不動點. 取0 ＜r ＜R ＜∞，證明當r 充分小、R 充分大時Q 在Kr，R中 存 在 不 動點. 取r(0，r0)，其中r0為 條 件(H1)中的常數(shù)，證明Q 滿足引理5 的條件:

反設式(5)不成立，則存在u0?Kr，及0 ＜r0≤1，使得u0=λ0Qu0，按Q 的定義，u0滿足微分方程

因為u0(t)，u″0(t)Kr0，由條件(H1)有(t)≤f(t，u0(t)，u″0(t))≤αu0(t)－βu″0(t)，tⅠ. 上式兩邊同乘以sin(πt)，然后在Ⅰ上積分有

由條件(H1)知π4＞α+βπ2，則θ. 另一方面，因為u0K，按錐K 的定義，

對式(8)兩邊同乘以sin(πt)，然后在Ⅰ上積分可得

令v0=－u″0，則v0(t)≥t(1－t)v0(s)，易得

則

從而

因此u0(s)－u″0(s)≡θ 于Ⅰ.但u0(s)≥θ，－u″0(s)≥θ，故u0(s)=－u″0(s)≡θ. 從而‖u0‖2=0. 這與u0?Kr矛盾. 于是式(5)成立，故按引理5 有

取R ＞r0，eP，‖e‖=1，令v0(t)=esin(πt)，則v0K.以下證明當R 充分大時有

假設存在u0KR及τ0≥0，使得u0－Qu0=τ0v0，則Qu0=u0－τ0v0. 按Q 的定義，u0滿足微分方程

因此，按假設(H2)有

上式兩邊同乘以sin(πt)，然后在Ⅰ上積分得

因此

結合式(9)與式(10)有

從而

于是按不動點指數(shù)的區(qū)域可加性及式(11)、(14)有

因此按可解性，Q 在Kr，R中存在不動點，該不動點為問題(1)的正解. 證畢.

定理2 設E 為Banach 空間，其正元錐P 為正規(guī)錐. 設f:Ⅰ× P × (－ P)→P 連續(xù)，且滿足假設(H0)，若f 滿足條件

(H3)?α，β≥0，α/π4+β/π2＞1，r1＞0，使得

(H4)P)，使得

則邊值問題(1)至少存在一個正解.

3 應用

考慮如下非線性四階兩點邊值問題

其中Ⅰ=［0，T］，T 是一個常數(shù).

結論:四階兩點邊值問題(21)至少有一個解.

在C2(Ⅰ，E)中取等價范數(shù)‖u″‖c}，則C2(Ⅰ，E)按‖u‖2構成了Banach 空間.記K2則K2(Ⅰ，P)為C2(Ⅰ，E)中的正規(guī)錐.取K2(Ⅰ，P)的子錐易驗證定理1 中的條件(H0)、(H1)和(H2)能被滿足.證畢.

［1］LI Yongxiang. On the existence of positive solutions for the bending elastic beam equations［J］. Appl Math Comput，2007，189:821－827.

［2］翁佩萱. 四階泛函微分方程邊值問題的上下解方法［J］. 華南師范大學學報:自然科學版，2000(3):1－6.

［3］楊雯抒. 一類滯后型泛函微分方程邊值問題的正解［J］. 華南師范大學學報:自然科學版，2004(1):32－37.

［4］LI Yongxiang. Two－ parameters nonresonance condition of forth－order boundary value problems［J］. J Math Anal Appl，2005，308:121－128.

［5］GUO Dajun，LAKSHMIKANTHAM V. Multiple solutions of two－point boundary value problems of ordinary differential equations in Banach spaces［J］. J Math Anal Appl，1988，129:211－222.

［6］郭大鈞，孫經先. 抽象空間常微分方程［M］. 濟南:山東科學技術出版社，1989:188－222.

［7］HEINZ H P. On the behavior of measure of noncompactness with respect to differential and integration of vectorvalue functions［J］. Nonlinear Anal，1983，7:1351－1371.

［8］李永祥. 抽象半線性發(fā)展方程初值問題解的存在性［J］.數(shù)學學報，2005，48(6):1089－1094.