張兆霞，劉名生

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510631)

用Ap表示具有以下形式

且在單位圓盤U 內(nèi)解析的函數(shù)f 所成的函數(shù)類.

如果f 由式(1)定義，g 定義如下

那么f 和g 的卷積定義為:

由Pochhammer 定義的符號(λ)n:

定義函數(shù)lFm(α1，…，αl;β1，…，βm;z)如下:

利用函數(shù)l Fm(α1，…，αl;β1，…，βm;z)，DZIOK等［1］引入了如下的線性算子(被普遍稱為Dziok－Srivastava 算子)

為簡化這個記號，記

由式(3)有

近幾年來，一些作者得到有關(guān)Dziok－ Srivastava 算子(α1)的有趣的結(jié)果［1－9］.

定義1［10］函數(shù)fAp稱為屬于函數(shù)類(α1;h)，如果它滿足如下的從屬關(guān)系:

定義2［9］函數(shù)fAp稱為屬于函數(shù)類(λ;α1;h)，如果它滿足如下的從屬關(guān)系:

定義3［9］函數(shù)fAp稱為(λ;α1;h)函數(shù)類，如果滿足如下的從屬關(guān)系:

注1 在式(8)中的?為從屬符號.

為了得到本文的結(jié)果，首先介紹下面的引理:

引理1［2］設(shè)p 在單位圓盤U 上解析，且在單位圓盤U 上滿足p(0)=1 以及p(z)≠0，如果存在一點z0U 使得和成立，其中η ＞0，那么有

其中

引理2［12］設(shè)g(z)在單位圓盤U 上單葉解析，并且令θ(ω)和φ(ω)在區(qū)域D 上解析且包含g(U)，當ωg(U)時，有φ(ω)≠0. 令并且假設(shè)

(i)Q(z)在單位圓盤U 上單葉星象，

如果p(z)在單位圓盤U 上解析，且p(0)=g(0)，p(U)?D，

那么p(z)?g(z)，并且g(z)是式(9)的最佳控制.

引理3［9］設(shè)h(z)P，令λ≥0，則

引理4［9］設(shè)h(z)P，Re{ph(z)+α1－p}＞0(zU)，則

注意到式(6)，有

以及

若0≤λ≤1，根據(jù)式(10)、(11)得

引理6［9］設(shè)，且滿足

引理7［9］設(shè)，λ≥0，則(λ;α1+1;h)(α1;h).

應(yīng)用引理6，類似于引理5 可得

引理9［9］設(shè)f(α1;φ)，則

下面給出本文的主要結(jié)果.

證明 對b=0，結(jié)論顯然.下設(shè)b≠0.令

現(xiàn)在假設(shè)Re{p(z)}≯0，則存在一點z0U{0}，使得

成立，則p(z0)≠0 (l≠0). 根據(jù)引理1 得

定理2 若α1＞0，a ＞0，b ＞0，且fAp滿足

證明 若b=0，結(jié)論顯然.下面假設(shè)b≠0. 令

那么式(13)變?yōu)?/p>

令g(z)=1 +z，θ(ω)=aω，φ(ω)=b/(pω)，則在引

理2 中取D={ω:ω≠0}，得到函數(shù)

在單位圓盤U 上單葉解析，且

對|z| =1 和z≠－1，有

那么得到

根據(jù)引理2 得p(z)?g(z)=1 +z. 得證.□

由引理3 和引理5 可證明定理3 成立.

由引理6 和引理8 可證明定理4 成立.

注意到將式(5)兩邊求導(dǎo)，并且乘以z 可得

又注意到

所以

因此在式(16)中取j=0，1，2，…，k－1，并求和可得

即

故可得

對上式積分可得

于是有

所以可得式(14)成立. 定理5 得證.

其中w(z)在單位圓盤U 上解析，且w(0)= 0，|w(z)| ＜1 (zU).

兩次積分，可以得到式(19)的結(jié)論.證畢.

其中w(z)在單位圓盤U 上解析，且滿足w(0)=0，|w(z)| ＜1 (zU).

證明 由式(3)和式(19)，可得

于是由上式可以得到式(20).證畢.

［1］DZIOK J.On the convex combination of the Dziok－Srivastava operator［J］. Appl Math Comput，2007，188:1214－1220.

［2］AGHALARY R，JOSHI S B，MOHAPATRA R N，et al.Subordinations for analytic functions defined by the Dziok－ Srivastava linear operator［J］. Appl Math Comput，2007，187:13－19.

［3］CHO N E，KIM J A. On a sufficient condition and an angular estimation for Φ－ like functions［J］. Taiwan J Math，1998，2(4):397－403.

［4］CHO N E，KWON O S，SRIVASTAVA H M. Inclusion relationships and argument properties for certain subclasses of multivalent functions associated with a family of linear operators［J］.J Math Anal Appl，2004，292:470－483.

［5］FU X L，LIU M S. Some subclasses of analytic functions involving the generalized Noor integral operator［J］. J Math Anal Appl，2006，323:190－208.

［6］KUMAR S S，TANEJA H C，RAVICHANDRAN V. Classes of multivalent functions defined by Dziok－Srivastava linear operator and multitiplier transformation［J］.Kyungpook Math J，2006，46:97－109.

［7］LIU J L. Strongly starlike functions associated with the Dziok－Srivastava operator［J］. Tamkang J Math，2004，35:37－42.

［8］LIU J L，SRIVASTAVA H M. Certain properties of the Dziok－ Srivastava operator［J］. Appl Math Comput，2004，159:485－493.

［9］WANG Zhigang，JIANG Yueping，SRIVASTAVA H M.Some subclasses of multivalent analytic functions involving the Dziok－ Srivastava operator［J］. Integr Transf Spec F，2008，19(2):129－146.

［10］HUANG Yayuan，LIU Mingsheng. Properties of certain subclasses of multivalent analtic functions involving the Dziok－ Srivastava operator［J］. Appl Math Comput，2008，1(2):137－149;204.

［11］WANG Z G，GAO C Y，YUAN S M. On certain subclasses of close－ to－ convex and quasi－ convex functions with respect to k－symmetric pionts［J］.J Math Anal Appl，2006，322:97－106.

［12］MILLER S S，MOCANU P T. On some classes of first－order differerntial subordinations［J］. Michigan Math J，1985，32:186－195.