李 景，郭柏靈

(1. 長(zhǎng)沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410004;2. 北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，北京100088)

近年來，數(shù)學(xué)物理反問題得到越來越多的關(guān)注［1-7］.其應(yīng)用覆蓋人體內(nèi)部的重構(gòu)、地質(zhì)探測(cè)、遙感技術(shù)、圖像處理和經(jīng)濟(jì)決策等方面. 本文主要探討穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程中系數(shù)的識(shí)別問題.

令Ω 是N中分片光滑的有界開區(qū)域，其邊界Γ=?Ω，其中Γ=Γc∪Γi且Γc∩Γi=?.

考慮如下穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程:

且?guī)в羞吔鐥l件

這里，α(x)表示熱傳導(dǎo)系數(shù)且滿足

系統(tǒng)(1)～(3)可用來模擬穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散過程以及傳導(dǎo)體和周圍環(huán)境的對(duì)流過程［8］和熱傳導(dǎo)過程［9-10］. 這個(gè)模型吸引了很多工程學(xué)家和數(shù)學(xué)家的興趣.特別地，對(duì)工程家來說，傳導(dǎo)系數(shù)α(x)和Robin 系數(shù)γ(x)有著非常重要的物理意義. 但是許多情形下，這2個(gè)系數(shù)是未知的，而且難于求解.因此，為了求解這些系數(shù)，出現(xiàn)了下面2個(gè)常見的反問題研究:

反問題1 能否利用u(x)的某些測(cè)量數(shù)據(jù)求出未知的Robin 系數(shù)γ(x)?

針對(duì)這個(gè)問題，已經(jīng)有大量的數(shù)值方法［6，11-13］利用邊界測(cè)量數(shù)據(jù)來重構(gòu)Robin 系數(shù)γ(x). 結(jié)合Modica-Mortola 泛函，JIN 等［12］利用所討論反問題的變分形式來求解γ(x). 而在文獻(xiàn)［13］中，JIN 等首先構(gòu)造極小化泛函，然后通過共軛梯度法求解此泛函的解(即為γ(x)的近似解)，理論分析得出L∞-收斂性. CHAABANE 等［11］利用Kohn-Vogelius價(jià)格函數(shù)，在某個(gè)允許集Φad重構(gòu)了γ(x).

反問題2 假設(shè)u(x;α)(本文主要討論u(x;α)與α 之間的聯(lián)系，下文為方便起見，u(x;α)簡(jiǎn)記為u(α))是系統(tǒng)(1)～(3)的解. 若測(cè)量出的實(shí)際溫度具有誤差，這里用zδ表示實(shí)際測(cè)量溫度，那么如何利用測(cè)量的溫度去重構(gòu)α(x)呢?

眾所周知，這個(gè)問題在Hardmard 意義下是不適定的. 關(guān)于傳導(dǎo)系數(shù)α(x)的重構(gòu)問題也已經(jīng)有了大量的研究結(jié)果. 例如，HàO 等［4］討論了?Ω 邊界上齊次Cauchy 問題的α(x)的識(shí)別問題，并得出了正則解的收斂率. CHAN 等［14］利用Lagrangian 變分方法求解α(x). KNOWLES［15］則利用共軛梯度算法計(jì)算非齊次Cauchy 問題中的α(x).

1 極小化泛函的穩(wěn)定性

此范數(shù)等價(jià)于‖·‖H1(Ω).

貫穿全文，用c 表示任何一個(gè)可依賴于αi，γi(i=1，2)或 文 中 其 他 已 知 量(如‖ f ‖(H1(Ω))'，‖g‖H1/2(Γc)，‖ua‖H-1/2(Γi))的常數(shù). 為證明收斂率，首先給出如下定理.

上式中取φ=v，有

由跡定理知

因而，結(jié)合式(7)和式(9)，得

通過精益管理系統(tǒng)授權(quán)員工，鼓勵(lì)員工參與日常工作改善活動(dòng)，并培養(yǎng)員工持續(xù)改進(jìn)能力；建立戰(zhàn)略展開系統(tǒng)，確立恩澤真北目標(biāo)，形成共識(shí)機(jī)制，建立持續(xù)改進(jìn)文化，最終助力恩澤醫(yī)療成功轉(zhuǎn)型，提高醫(yī)院運(yùn)營(yíng)績(jī)效，為患者和員工創(chuàng)造價(jià)值。

聯(lián)立式(8)和式(10)，得

證畢.

引理1 令u(α)是問題(1)～(3)的解，那么映射u:Q ?L∞(Ω)→H1(Ω)在集合Q 上連續(xù)Fréchet 可微. 此外，對(duì)于每個(gè)αQ，u(α)的Fréchet導(dǎo)數(shù)u'(α)滿足η=u'(α)h，hL∞(Ω)是下述問題在(Ω，Γc)中的弱解:

而且

由式(4)可得

式(13)與式(14)相減，得

于是

因η 關(guān)于h 是從L∞(Ω)到(Ω，Γc)的有界線性算子，從而u(α)連續(xù)Fréchet 可微，且其導(dǎo)數(shù)u'(α)h 即為η.

注1 u'(α)的對(duì)偶算子可表示如下

接下來將構(gòu)造合適的Tikhonov 極小化泛函，利用此泛函的極小解去逼近所求傳導(dǎo)系數(shù)，并證明其收斂率.定義

上述泛函具有如下性質(zhì):

引理2 Jzδ(α)在Q 上是凸的而且下半連續(xù).

證明 Jzδ(x)在Q 上是連續(xù)的. 下面僅需證明Jzδ(α)的凸性. 通過簡(jiǎn)單計(jì)算，對(duì)任意的hL∞(Ω)有

因而，

于是Jzδ(x)在Q 上是凸的. Jzδ(α)的下半連續(xù)性可由Jzδ(α)的凸性和連續(xù)性得出.

定義

這里，ρ 表示正則化參數(shù)，α*是精確傳導(dǎo)系數(shù)α+的先驗(yàn)估計(jì)值.

從上述引理可以看出，G(α)在Q 上下半連續(xù)且嚴(yán)格凸，從而存在唯一的極小值，我們用αδρ 來表示.

下面給出G(α)的穩(wěn)定性.

定理2 設(shè)在H1(Ω)中，zn→zδ且{αn}是式(17)中zδ替換為zn后G(α)的極小解. 那么αn→

且

又因

故由u(αn)在H1(Ω)中的有界性及式(20)，得

聯(lián)立式(18)、(19)和式(21)得

2 近似傳導(dǎo)系數(shù)的收斂率

首先，假定α+是精確的傳導(dǎo)系數(shù)，u+=u(α+)是邊值問題(1)、(3)的解.zδ為Ω 上u(x)的測(cè)量數(shù)據(jù)，且滿足

注2 由式(4)知，傳導(dǎo)系數(shù)α(x)可由測(cè)量數(shù)據(jù)uδ唯一確定［7］.

接下來給出收斂率的結(jié)果.

那么如果ρ=O(δ)，則

證明

由式(22)及跡定理可知

另一方面，

考慮如下問題:

這里ψρ(Ω)(0 ＜ρ ＜1)在H1(Ω)中一致有界，且滿足

那么由格林公式得利用分部積分和Cauchy -Schwarz 不等式，可以得出，存在常數(shù)C ＞0，使得

這里，

現(xiàn)在估計(jì)J1. 再次利用跡定理及Cauchy - Schwarz不等式可得

結(jié)合上述所有不等式，可得

因而，定理得證.

［1］CHENG J，PENG L，YAMAMOTO M. The conditional stability in line unique continuation for a wave equation and an inverse wave source problem［J］. Inverse Probl，2005，21:1993 -2007.

［2］金華. 可交換條件下具有測(cè)量誤差的結(jié)構(gòu)回歸模型［J］.華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007(2):1-6.

［3］ENGL H W，HANKE M，NEUBAUER A. Regularization of inverse problems［M］. Dordrecht:Kluwer，1996.

［4］HàO D N，QUYEN T N. Convergence rates for Tikhonov regularization of coefficient identification problems in Laplace- type equation［J］. Inverse Probl，2010，26:125014.

［5］HàO D N，DUC N V. Stability results for backward parabolic equations with time - dependent coefficients［J］.Inverse Probl，2011，27:025003.

［6］INGLESE G. An inverse problem in corrosion detection［J］. Inverse Probl，1997，13:977 -994.

［7］ISKOV V. Inverse problem for partial differential equation［M］. 2nd ed. New York:Springer，2006.

［8］OSMAN A M，BECK J V. Nonlinear inverse problem for the estimation of time-and-space dependent heat transfer coefficients［J］. J Thermophys Heat Transf，1999，3:146 -152.

［9］WHITE F M. Heat and mass transfer［M］. New York:Addison-Wesley，1988.

［10］KAUP P G，SANTOSA F. Nondestructive evaluation of corrosion damage using electrostatic measurements［J］. J Nondestr Eval，1995，14:127 -136.

［11］CHAABANE S，ELHECHMI C，JAOUA M. A stable recovery method for the Robin inverse problem［J］. Math Comput Simul，2004，66:367 -383.

［12］JIN B T，ZOU J. Numerical estimation of piecewise constant Robin coefficient［J］. SIAM J Control Optim，2009，48:1977 -2002.

［13］JIN B T，ZOU J. Numerical estimation of the Robin coefficient in a stationary diffusion equation［J］. IMA J Numer Anal，2010，30:677 -701.

［14］CHAN T F，TAI X C. Identification of discontinuous coefficients in elliptic problems using total variational regularization［J］. SIAM J SCI Comput，2003，25:881 -904.

［15］KNOWLES I. Parameter identication for elliptic problems［J］. J Comput Appl Math，2001，131:175 -194.

［16］STEINBACH O. Numerical approximation method for elliptic boundary value problems:Finite and boundary elements［M］. Austria:Springer，2008.