鄭春華 ，劉文斌

(1.陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西咸陽712000;2.中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，江蘇徐州221116)

在人口理論、醫(yī)學(xué)、生物等領(lǐng)域中應(yīng)用時(shí)滯微分方程，具有豐富的實(shí)際背景和重要的應(yīng)用價(jià)值，一直受到人們的廣泛關(guān)注.近年來，時(shí)滯微分方程的邊值問題研究獲得了一些重要的結(jié)果［1－5］，這些結(jié)果主要集中在時(shí)滯微分方程的周期邊值問題和兩點(diǎn)邊值問題上.雖然常微分方程的多點(diǎn)邊值問題已取得不少結(jié)果［6－8］，但對于時(shí)滯微分方程的非局部邊值問題的研究結(jié)果還不是很多. 文獻(xiàn)［9］利用Guo－Krasnoselskii 不動(dòng)點(diǎn)定理研究了邊值問題

正解的存在性.

文獻(xiàn)［10］用同樣的工具研究了問題

正解的存在性.

受以上研究工作的啟發(fā)，本文利用單調(diào)迭代方法研究具有時(shí)滯的p－Laplacian 方程非局部邊值問題

正解的存在性，得到了邊值問題(1)存在正解的充分條件，并確立了收斂到該正解的迭代序列，其中為常數(shù)，m 為大于2的整數(shù).

本文始終假設(shè)以下條件成立.

(A2)p(t)是定義在(0，1)內(nèi)的非負(fù)可測函數(shù)且在(0，1)的任何子區(qū)間內(nèi)不恒等于零;

(A3)fC(［0，1］×［0，+∞)，［0，+∞)).

1 預(yù)備知識

令

證明 利用(φp(y'))'≤0 和φp的單調(diào)性及條件(A1)易知引理1 結(jié)論成立.

定義算子T:X→X

這里

其中ix為不大于σx的最大的ηi的下標(biāo).顯然，x 為邊值問題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)x 為算子T 的不動(dòng)點(diǎn).

引理2 T 為P→P 的全連續(xù)算子. 進(jìn)一步，若f(t，x)關(guān)于x 非減，則T 為增算子.

利用引理1 和Arzela－Ascoli 定理易知T 為P→P的全連續(xù)算子.

對任意的x1，x2P，若x1≤x2，則利用f 的單調(diào)性易知

若Tx2＜Tx1，則存在t0［0，1］使得

由于(Tx2－Tx1)(0)=0，故t0(0，1］.如果t0=1，則

其中至少一個(gè)嚴(yán)格不等式成立.再結(jié)合φp的單調(diào)性可知

其中至少一個(gè)嚴(yán)格不等式成立.

另一方面，由(φp(Tx2)')'－ (φp(Tx1)')'≤0(t(0，1))可知(φp((Tx2)')－φp((Tx1)'))(t)在(t0－δ，t0+δ)內(nèi)單調(diào)遞減，再利用(Tx2－Tx1)'(t0)=0 和φp的單調(diào)性可知

顯然和前面的結(jié)論矛盾. 因此，Tx2≥Tx1成立，也即T 為增算子.

2 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)條件(A1)～(A3)成立，若存在常數(shù)a≥M0，滿足

(C1)f(t，x1)≤f(t，x2)，對任意的0≤t≤1，0≤x1≤x2≤a，

(C2)t

(C3)f(t，0)在(τ，1)內(nèi)不恒等于零，則邊值問題(1)存在正解α，β 滿足

(1) α ≤a，β ≤a;

其中

故TPa?Pa.

根據(jù)α0的定義易知α0Pa.令αn+1=Tαn(n=0，1，2，…)，則αnPa(n =0，1，2，…). 結(jié)合條件(C1)、(C2)可知

再利用T 的定義可得

即α1≤α0. 由引理2 可知T 為全連續(xù)的增算子，故αn+1≤αn(n=0，1，2，…)且序列一致收斂，若記，則αPa且Tα =α，因此α 為邊值問題(1)的解.

顯然有β0Pa.記βn+1=Tβn=Tn+1β0(n =0，1，2，…)，利用TPa?Pa易得βnPa，從而有β1≥β0，再結(jié)合T 的單調(diào)性可知Tβ1≥Tβ0，即β2≥β1，進(jìn)一步可知βn+1≥βn(n=0，1，2，…).因?yàn)門 的緊性不難知道序列一致收斂. 令，則βPa且β 為T 的不動(dòng)點(diǎn)，因此β 為邊值問題(1)的解.

由條件(C3)易知β0不是邊值問題(1)的解，再利用α(t)和β(t)的凹性可得

因此，α，β 均為邊值問題(1)的正解.

例1 考慮邊值問題

對照邊值問題(1)可知p(t)=t，τ =1/3，η1=1/4，η2=1/2，r1=1/8，r2=1/2. 選取a =8，經(jīng)過簡單的計(jì)算可知λ =8/3，M0=1 ＜a，M1=1/24，M2=4/9，從而易得對任意的0≤t≤1，0≤x1≤x2≤5，

顯然，定理1 的所有條件得到滿足，進(jìn)而可知邊值問題(2)存在正解α，β 滿足

(1) α ≤8，β ≤8;

其中

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