“三角形內(nèi)角和定理”運(yùn)用十分廣泛，而這個(gè)定理的證明也成為數(shù)學(xué)教師普遍關(guān)注的問題.在初二數(shù)學(xué)期末考試中就出現(xiàn)了這個(gè)定理證明（要求畫圖，寫已知，求證，證明）.閱卷時(shí)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解法五花八門。有的學(xué)生的解題方法值得我們探究，也或者說是對我們的教學(xué)有很大的啟示作用.現(xiàn)將學(xué)生的幾種解法展示如下.

一、學(xué)生解法

解法一：如圖1：延長BC到E，過C作CD∥AB.

∴∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）.

∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定義），

∴∠A+∠3+∠B=180°（等量代換）.

即∠A+∠ACB+∠B=180°.

圖1 圖2

解法二：如圖2：延長BC到D.

∵∠1是△ABC的外角（外角定義），

∴∠1=∠A+∠B（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）.

∵∠1+∠2=180°（平角定義），

∴∠A+∠2+∠B=180°（等量代換）.

我們在閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生使用解法二，乍一看這種解法無懈可擊，順理成章，而且十分簡單明了，讓人一看便懂.但是通過仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)這種解法根本不正確.因?yàn)樵诖私夥ㄖ杏玫搅巳切蝺?nèi)角和定理的推論，即“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”證明，即用定理的推論證明了定理.這樣的解法看似正確，實(shí)質(zhì)上反映了學(xué)生經(jīng)常會犯的邏輯循環(huán)錯(cuò)誤.

再看另一種解法：

解法三：如圖3：過C作CD∥AB.

∴∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∠DCB+∠B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

即∠1+∠2+∠B=180°.

∴∠A+∠2+∠B=180°（等量代換），

即∠A+∠ACB+∠B=180°.

圖3

二、解法的討論

經(jīng)過調(diào)查分析，學(xué)生之所以選擇解法二是受解法一的影響，而解法一是正確的，用了“特殊化思想”解決問題.所謂“特殊化思想”就是針對具體的“探究問題”而產(chǎn)生的一種“特殊思路”.但它不能脫離“用已有知識解決新問題”這一一般規(guī)律.正如三角形內(nèi)角和定理的證明，先讓學(xué)生通過畫不同三角形，度量各角，得出三內(nèi)角和為180°，讓學(xué)生有了感性認(rèn)識.同時(shí)在平時(shí)的教學(xué)中我們還采用剪下兩角與剩余一角相拼成一個(gè)平角這一“特殊化思想”說明“三內(nèi)角和為180°”這個(gè)定理，這種從實(shí)踐中得來的感性認(rèn)識給學(xué)生留下了深刻的印象.

其實(shí)用解法二的學(xué)生在學(xué)習(xí)該定理證明時(shí)，可能也記得要用平角180°證明，但不理解是剪下兩角后將三個(gè)角拼在一起，而盲目地用外角證明.

對于解法三，在肯定學(xué)生答案的同時(shí)，讓他們比較解法一和解法三.對于這種另辟蹊徑的做法，學(xué)生展開了熱烈討論.通過比較，學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)這兩種解法的不同之處在于添加輔助線的不同，雖然解法三只有一條輔助線，但通過平行線性質(zhì)的靈活運(yùn)用，也達(dá)到了意想不到的效果.思路較第一種更開闊，更簡便，不覺讓人眼前一亮，學(xué)生不禁為這種解法的思路拍案叫絕.

對于解法三，在聽了羅增儒教授的報(bào)告后我也有了更新的認(rèn)識，且看：

∠A+∠B+∠C=180°.

在這個(gè)變化過程中，看到了三角形內(nèi)角和為常數(shù)，

這個(gè)常數(shù)就是180°，因?yàn)?/p>

∠ACA=∠BAC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

所以∠BAC+∠B+∠ACB=∠ACA+∠B+∠BCA=180°

（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

三、啟示

教師要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題中的有研究價(jià)值的問題，這些問題的挖掘與探究有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，對今后的解題教學(xué)有很大的幫助.平面幾何的魅力不僅在于其說理的嚴(yán)密與優(yōu)雅，而且思路的開放往往能夠使學(xué)生獲得意想不到的驚喜.解法的多樣性是幾何問題的特征之一，好的問題可讓學(xué)生從不同的角度打開思路，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造解題方法的強(qiáng)烈欲望，加深學(xué)生對所學(xué)知識的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性.從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力.

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”.數(shù)學(xué)思維方式的培養(yǎng)，對于學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響.多角度的思維方式真正讓學(xué)生從解題中看到了幾何學(xué)的無盡魅力，在數(shù)學(xué)天地里暢游，領(lǐng)會到“柳暗花明又一村”的無窮妙處.

參考文獻(xiàn)：

[1]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐.

[2]馬小為.中學(xué)數(shù)學(xué)解題思想方法技巧（初中）.