劉遵雄，劉江偉，鄭淑娟，陳 英

（1．華東交通大學 信息工程學院，江西 南昌330013；2．江西財經(jīng)大學 科研處，江西 南昌330013）

一、引 言

一般分布已經(jīng)不能滿足復雜系統(tǒng)和交叉學科的研究要求，自從Tsallis提出q－分布以來，q－分布理論已經(jīng)得到廣泛研究并且成功應用于各種復雜系統(tǒng)中［1］。q－高斯分布是q－分布家族中重要的一員，實質上可以看作是在約束條件下Tsallis熵最大化而得到的一種概率密度函數(shù)，亦可以看作是一種廣義高斯分布［2］。q－高斯分布可以由多種模型或隨機微分方程推導出來，而且表達形式也稍有差異。其中由線性隨機微分方程推導出的密度函數(shù)表達形式易于理解和應用，參數(shù)對分布的影響也很直觀［3－4］。q－高斯分布比高斯分布更加靈活，其參數(shù)可以靈活地控制其尖峰厚尾分布，這對研究具有尖峰厚尾分布特性的金融時間序列有重要意義。

為了研究方便，學者們在研究金融市場股票收益率時通常假設其服從正態(tài)分布，然而從統(tǒng)計檢驗結果來看，股票收益率并不能很好的服從正態(tài)分布，再加上人們對金融市場的分析結果要求越來越嚴格，因此在研究如何改進金融模型時，改進其分布假設成為一個重要的研究方向。隨著全球經(jīng)濟一體化進程的加快和中國金融市場的發(fā)展與完善，中國金融機構對投資組合理論的應用實踐提出了具體要求。投資組合理論主要研究投資者如何利用分散投資來優(yōu)化他們的投資組合，在最小風險的期望下獲得最大的收益［5］。經(jīng)典的投資組合模型包括均值－方差模型和均值－VaR模型［6－7］。雖然以期望度量收益，方差度量風險的均值－方差模型被廣泛應用于資產(chǎn)組合優(yōu)化，然而由于方差作為度量測度具有“對稱”性，即在最小化方差的同時，也限制了可能的收益。VaR作為一種簡便、易于理解的風險度量方法，代替方差作為均值－方差模型的風險度量，構成了均值－VaR模型，成為目前流行的資產(chǎn)組合優(yōu)化模型。

考慮到股票收益率分布的尖峰厚尾特性，本文將q－高斯分布引入到投資組合模型中，并和基于高斯分布的投資組合模型進行了實證比較，結果表明，基于q－高斯分布假設的投資組合模型具有更高的風險預測能力，并能帶來較大的收益。

二、q－高斯分布

（一）q－高斯分布密度函數(shù)的推導

已有研究表明，可以利用不同的隨機微分方程或模型推導出q－高斯分布密度函數(shù)，如非線性隨機微分方程，馬爾科夫轉換模型，帶有卡方分布的高斯處理過程，有噪聲的線性隨機微分方程等［8－10］［3］。本文從含有噪聲的線性隨機微分方程出發(fā)，推導出q－高斯分布概率密度函數(shù)的表達形式。含有白噪聲的一種線性隨機微分方程可以表示為：

為便于求解，將式（1）寫成伊藤?？藸枺绽士朔匠蹋↖to－Stratonovich Fokker－Planck equation）的形式：

其中β＞0，q＞1。

隨機變量為N維情況時，含有噪聲的線性隨機微分方程根據(jù)式（1）可以寫成：

（二）q－高斯分布的參數(shù)估計

多元q－高斯分布的概率密度函數(shù)表達式中，需要估計的參數(shù)有正交矩陣Q，形狀參數(shù)βj，qj。q－高斯分布的參數(shù)估計方法很多，有矩估計法、最大似然估計法、曲線擬合參數(shù)估計方法等。下面以矩估計法為例，給出q－高斯分布概率密度函數(shù)的參數(shù)估計方法。

首先根據(jù)抽樣方法，計算樣本協(xié)方差Sspl，估算總體協(xié)方差S，對S做對角化運算，根據(jù)QSQ＇＝diag（λ1，λ1，…，λ1）求出Q。

（三）參數(shù)對q－高斯分布的影響

為能直觀地考察q－高斯密度函數(shù)中參數(shù)對分布的影響，以二元q－高斯函數(shù)為例進行研究。由式（13）知，二元q－高斯的密度函數(shù)為：

其中Q為單位正交矩陣，β1＞0，β2＞0，1＜q1＜3，1＜q2＜3。根據(jù)啟發(fā)式算法思想，選取不同的q，β畫出二元q－高斯分布的圖形以便比較參數(shù)對分布的影響，可以得到如下兩條結論：第一，選取β1＝β2＝1，Q＝ ［1，0；0，1］不變，q1＝q2分別取2．9，2．2，1．6，1．1，觀察其分布圖形和垂直截面圖可以看出，當β，Q不變，q越小時，圖形越尖；第二，選取q1＝q2＝2，Q＝［1，0；0，1］不變，β1＝β2分別取1，2，5，10，觀察其分布圖形和垂直截面圖可以看出，當q，Q不變，β越大時，圖形越尖?？紤]到金融市場股票收益率分布的尖峰厚尾性，可以通過調整q－高斯分布密度函數(shù)中的參數(shù)，更加準確地擬合收益率的分布，這為研究股票收益率提供了更好的統(tǒng)計分析工具。

三、投資組合模型

（一）均值－方差模型

Markowitz投資組合理論認為，投資者進行決策時，總希望以盡可能小的風險獲得盡可能大的收益，或在收益率一定的情況下，盡可能降低風險［11］，因此現(xiàn)代投資組合理論主要研究投資者如何利用分散投資來優(yōu)化他們的投資組合比例。Markowitz均值－方差模型，是用于估計投資者投資組合風險與收益的一種有力的工具［6，12］。假設有n個資產(chǎn)，他們的收益率分別為R1，R2，…，Rn，用向量表示為R＝（R1，R2，…，Rn），其均值為μ＝（μ1，μ2，…，μn），協(xié)方差為 Σ（n階 方 陣），Ri、Rj的 協(xié) 方 差 記 為 cov（Ri，Rj），向量w＝ （w1，w2，…，wn）T為投資組合的投資比例，則Markowitz均值－方差模型形式化地表示為：

實踐操作中，通常采取采樣的方法，用待分析資產(chǎn)收益率數(shù)據(jù)的均值和方差S來估計整體均值和方差，即：

（二）均值－VaR模型

均值－方差模型利用收益率的方差作為風險測度，這種方法雖然可以有效的減小組合收益的波動，但由于方差是一種“對稱”的度量，方差的最小化不只會減少收益向下的偏離，同時也會減少收益向上的偏離，所以它同時也限制了可能的收益［5］。VaR（Value at Risk）指的是在正常的市場條件中，在一定持有期及置信水平下，某一資產(chǎn)或投資組合所面臨的最大的損失［13］。用VaR代替方差作為風險的測度就得到了均值－VaR模型［7］，可以形式化地表示成如下形式：

相關研究表明，約束條件下均值－VaR的有效解集是均值－方差有效解集的子集，且均值－VaR的最優(yōu)解為［5］：

四、實證分析

一般情況下，均值－方差模型和均值－VaR模型都是在高斯分布假設下對投資比例進行估算，為了獲得更優(yōu)的投資比例，本文將對實際的收益率數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計檢驗并驗證將q－高斯分布應用于該投資組合模型的有效性。選取滬市三只股票（海信電器HXDQ600060，三一重工SYZG600031，同方股份TFGF600100），選取2011年6月2日到2012年12月31日共388個日收益率數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來源：銳思數(shù)據(jù)庫http：／／www．resset．cn／cn），其基本檢驗統(tǒng)計量如表1所示。

表1 頻率檢驗統(tǒng)計量表

從表1知，三支股票峰度分別為6．062，5．753，6．582，均大于標準正態(tài)分布的峰度值3，說明三只股票不服從標準正態(tài)分布?？ǚ綑z驗和QQ圖檢驗的結果也說明三支股票不服從標準正態(tài)分布。繪制出三只股票的直方圖，分別用正態(tài)分布（均值方差參數(shù)見表1）和q－高斯分布擬合三只股票的收益率分布如圖1－3所示（其中計算出來的q－高斯分布的參數(shù)分別為βHXDQ＝907，qHXDQ＝1．214 8；βSYZG＝1 462．3，qSYZG＝1．269 7；βTFGF＝3 111，qTFGF＝1．307 8）。從圖上可以看出，q－高斯擬合曲線比高斯曲線有更高的尖峰，更厚的尾部，更接近收益率數(shù)據(jù)的實際分布，說明用q－高斯分布擬合收益率分布的效果更好。

圖1 海信電器直方圖及擬合曲線圖

圖2 三一重工直方圖及擬合曲線圖

圖3 同方股份直方圖及擬合曲線圖

分別用高斯分布和q－高斯分布擬合三只股票的收益率分布，采用均值－方差模型和均值－VaR模型分別解出該模型所對應的投資比例見表2，并同時畫出均值－方差模型和均值－VaR模型有效前沿如圖4所示。從圖4可以也可以看出，均值－VaR模型的解是約束條件下均值－方差模型的有效子集。用計算出來的投資比例投資于所選三只股票，用2013年1月4日到2013年1月31日的收益率數(shù)據(jù)做實證比較，實際收益如表2中“實際收益”所示。

圖4 均值－方差和均值－VaR模型有效前沿圖

表2 不同分布假設下投資組合模型的投資比例與實際收益表

從表2可以看出，基于q－高斯分布的均值－方差模型投資比例為［0．396 4，0．259 8，0．343 8］，實際收益為0．005 1，大于高斯分布假設下的0．004 7；基于q－高斯分布的均值－VaR模型投資比例為［0．620，0．260，0．120］，實際收益為0．006 3，同樣大于高斯分布假設下的0．004 9；并且基于q－高斯分布的均值－VaR模型是表2中四種模型中最優(yōu)的。實證結果表明將q－高斯分布應用于投資組合模型中，可以提高模型解的有效性，同時基于此解做投資，可以有效提高預期收益。

五、結 論

本文從含有白噪聲的線性隨機微分方程中推導了q－高斯分布密度函數(shù)的表達式，并研究了其尖峰厚尾的特性。考慮到通常股票收益率分布具有尖峰厚尾特性，因此將q－高斯分布應用于投資組合理論的均值－方差模型和均值－VaR模型。選取滬市三支股票進行實證分析和求解，并與基于高斯分布假設下的求解做了比較，結果表明將q－高斯分布應用于投資組合模型可以更準確的擬合收益率的分布，并且按照基于q－高斯分布的投資組合模型的投資比例選擇股票，可以帶來更多實際收益。

［1］ Vignat C，Plastino A．Why is the Detection of q－Gaussian Behavior Such a Common Occurrence？［J］．Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2009，388（5）．

［2］ Ghoshdastidar D，Dukkipati A，Bhatnagar S．q－Gaussian Based Smoothed Functional Algorithms for Stochastic Optimization［C］．Cambridge：IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings，2012．

［3］ Sato A，Takayasu H，Sawada Y．Power Law Fluctuation Generator Based on Analog Electrical Circuit［J］．Fractals，2000，8（3）．

［4］ 劉君．多元q－高斯分布在投資組合模型中的應用［D］．武漢：武漢理工大學碩士學位論文，2012．

［5］ 榮喜民，武丹丹，張奎廷．基于均值－VaR的投資組合最優(yōu)化［J］．數(shù)理統(tǒng)計與管理，2005（5）．

［6］ Fabozzi F J，Markowitz H M，Kolm P N，et al．Mean－Variance Model for Portfolio Selection［M］．New York：John Wiley ＆Sons，Inc．，2012．

［7］ Baixauli－Soler J S，Alfaro－Cid E，F(xiàn)ernandez－Blanco M．Mean－VaR Portfolio Selection Under Real Constraints［J］．Computational Economics，2011，37（2）．

［8］ Kaulakys B，Ruseckas J，Gontis V，et al．Nonlinear Stochastic Models of Noise and Power－law Distributions［J］．Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，2006，365（1）．

［9］ Timmermann A．Moments of Markov Switching Models［J］．Journal of Econometrics，2000，96（1）．

［10］Beck C，Cohen E G D．Superstatistics［J］．Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，2003（322）．

［11］孟勇．Markowitz模型與Black－Litterman模型比較研究——投資人情緒對資產(chǎn)組合的影響［J］．統(tǒng)計與信息論壇，2013，28（8）．

［12］Fontana C，Schweizer M．Simplified Mean－Variance Portfolio Optimisation［J］．Mathematics and Financial Economics，2012，6（2）．

［13］Daníelsson J，Jorgensen B N，Samorodnitsky G，et al．Fat Tails，VaR and Subadditivity［J］．Journal of Econometrics，2013，172（2）．