陳淮，萬擁軍，孫增壽

(1．鄭州大學(xué)土木工程學(xué)院，河南 鄭州450001;2．河南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院公路學(xué)院，河南鄭州451560)

傳統(tǒng)小波變換的小波基函數(shù)是在歐氏空間內(nèi)通過基底的平移和伸縮構(gòu)造的，其基本的變換工具是傅里葉變換，不適合于非歐氏空間［1－5］。Sweldens在總結(jié)了Donoho和Lounsbery等研究工作的基礎(chǔ)上，提出了一種在時域中采用提升方法構(gòu)造小波的第二代小波變換方法［6］。第二代小波與傳統(tǒng)小波相比有很多優(yōu)點［7］:它不依賴于傅里葉變換，完全在時域中完成對雙正交小波的構(gòu)造，具有結(jié)構(gòu)化設(shè)計和自適應(yīng)構(gòu)造的優(yōu)點;構(gòu)造方法靈活，可以從一些簡單的小波函數(shù)，通過提升改善小波函數(shù)的特性，構(gòu)造出具有期望特性的小波，對于現(xiàn)有的傳統(tǒng)小波，都能找到相應(yīng)的提升方案，得到相應(yīng)的第二代小波;不再是某一給定小波函數(shù)的伸縮和平移，適合于不等間隔采樣問題的小波構(gòu)造;算法簡單，運算速度快等。正是這些優(yōu)點，使得第二代小波作為一個信號處理工具，在很多領(lǐng)域顯示出了它的優(yōu)越性［8－9］。本文主要探討第二代小波在梁橋結(jié)構(gòu)損傷識別中的應(yīng)用。

1 第二代小波分解與能量變化率指標(biāo)

1．1 小波包分解

根據(jù)小波包空間剖分的完整性，小波包分析能將動態(tài)信號無冗余、無疏漏和正交地分解到各個獨立的頻帶內(nèi)，可精確計算出小波包分解后的各頻帶能量。結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)初始信號f(t)經(jīng)j水平的小波包分解之后可表示為［7］

小波包函數(shù)的正交特性可表示為:

小波包樹的每一組分可以看作對應(yīng)于特定基函數(shù)的調(diào)諧濾波器的輸出量，因此整個小波包樹可以看成一個濾波庫。對應(yīng)于小波包的頂層(低水平分解)，信號的小波包變換結(jié)果對于時域具有很好的分辨率，而頻域分辨率較差;而小波包的底部(高水平分解)，情況恰恰相反。

1．2 第二代小波包能量變化率指標(biāo)

第二代小波的構(gòu)造詳見文獻(xiàn)［6］。第二代小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)是對稱的、緊支撐的，具有振蕩衰減的形狀，這與結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷時的振動信號波形相似。因此，選用它作為基函數(shù)，在第二代小波變換的基礎(chǔ)上，可以對結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行識別。

在正交分解條件下，首先定義在j水平下的信號能量Ef:

動態(tài)信號經(jīng)第二代小波分解后，由第二代小波正交性可知:

第二代小波組分能量對信號特性的變化敏感，它可以用來揭示信號的固有特征，因此可應(yīng)用第二代小波的能量變化率指標(biāo)對結(jié)構(gòu)損傷位置進(jìn)行判定。在j水平下，采用式(6)計算信號的組分信號能量，對沒有損傷的信號所計算的組分能量表示為具有損傷的組分能量表示為，則定義j水平下信號的小波組分能量變化率Δ(Efj)為:

小波組分能量變化率Δ(Efj)對信號變化特征比較敏感，可通過它對損傷進(jìn)行判定。當(dāng)然，這需要具備結(jié)構(gòu)完好狀態(tài)或沒有損傷情況下的振動信號;對一般大、中型橋梁，竣工時都要做成橋靜動載試驗，獲取沒有損傷情況下結(jié)構(gòu)的振動信號是可以實現(xiàn)的。

2 基于第二代小波結(jié)構(gòu)損傷識別

基于第二代小波組分能量變化率指標(biāo)的結(jié)構(gòu)損傷識別方法采用了與基于傳統(tǒng)小波包能量變化率指標(biāo)［10～12］相同的2個重要假定:(1)有損傷和無損傷的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)信號都是可以得到的;(2)結(jié)構(gòu)所受到的激勵必須在同一位置且是同一類型的荷載?；诘诙〔ńM分能量變化率指標(biāo)的結(jié)構(gòu)損傷識別方法的具體過程為:(1)對通過傳感器所采集的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)信號進(jìn)行第二代小波包變換，根據(jù)結(jié)構(gòu)類型和損傷程度綜合確定小波包變換的分解水平;(2)計算結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)信號的小波包能量變化率指標(biāo);(3)進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識別。本文采用單邊置信區(qū)間的統(tǒng)計指標(biāo)來識別結(jié)構(gòu)損傷［8］。

若用n表示布置在結(jié)構(gòu)上的傳感器數(shù)目，則經(jīng)過第二代小波分解后可以得到n個小波組分能量變化率指標(biāo)。對這些指標(biāo)進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計，μWPERI和σWPERI分別表示能量變化率指標(biāo)的均值和方差，則對應(yīng)于置信水平(1－α)的單邊置信限為:

式中，Zα為對應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率為100(1－α)%時的置信限。此限值可以作為第二代小波組分能量變化率指標(biāo)對于結(jié)構(gòu)損傷的預(yù)警值，如果結(jié)構(gòu)的第二代小波組分能量變化率指標(biāo)超過此限制，則表明在100(1－α)% 的概率下，結(jié)構(gòu)存在損傷。

3 結(jié)構(gòu)損傷識別數(shù)值模擬

為了驗證采用第二代小波包能量變化率指標(biāo)進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識別的準(zhǔn)確性，以簡支梁為研究對象，梁長為6 m，被分成30個單元，如圖1所示，簡支梁的密度和彈性模量分別為7 800 kg/m3和2．0×105MPa，梁橫截面面積和慣性距分別為0．02 m2和1．666 7×10－5m4。為了模擬實際的沖擊荷載，采用矩形沖擊荷載模型，荷載幅值為100 N，持時為0．005 s，作用點距簡支梁左端0．4 m處。通過Ansys有限元程序計算得到?jīng)_擊荷載作用下簡支梁有限元節(jié)點位移動力響應(yīng)信號，采樣頻率1000 Hz。在此算例中，將位移動力響應(yīng)信號看作測量的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)信號進(jìn)行數(shù)值仿真模擬。

在數(shù)值仿真模擬中，設(shè)定3種不同結(jié)構(gòu)損傷程度和位置，結(jié)構(gòu)損傷程度的改變采用降低單元剛度來實現(xiàn)。為了敘述簡便，將沒有損傷的簡支梁標(biāo)記為D0，具有損傷的簡支梁依次標(biāo)記為D1～D3，具體損傷工況如下:工況1(D1)中:第15和16單元的剛度降低20%;工況2(D2)中:第8，9，15和16單元的剛度均降低10%;工況3(D3)中:第8，9，15和16單元的剛度均降低20%。

雖然算例是以等截面梁為例，但損傷指標(biāo)是結(jié)構(gòu)損傷前后的提升小波能量變化率，只要具備結(jié)構(gòu)損傷前的動力響應(yīng)信號，上面所提出的損傷識別方法也適用于常用的變剛度梁。

圖1 模擬簡支梁Fig．1 Simulation of a simply supported beam

3．1 基于第二代小波能量變化率的損傷識別

選擇雙正交小波bior1．1的提升小波對簡支梁的29個節(jié)點動力位移響應(yīng)信號進(jìn)行水平8的小波分解，則每個節(jié)點有9個組分分量。為了進(jìn)一步了解分解水平對損傷識別結(jié)果的影響，同時也對所有節(jié)點的位移響應(yīng)信號進(jìn)行9水平分解，相應(yīng)有10個組分能量。2個水平的計算結(jié)果基本一致，可以認(rèn)為采用分解水平8時，即可滿足損傷識別精度。

首先對所有結(jié)構(gòu)位移動力響應(yīng)信號進(jìn)行分解，其次，采用式(7)計算每一個節(jié)點的第二代小波組分能量變化率指標(biāo)Δ(Efj)。對于有損傷的簡支梁，可以得到29個第二代小波能量變化率指標(biāo)值，統(tǒng)計分析這29個第二代小波能量變化率指標(biāo)，先計算均值 μWPERI和方差 σWPERI，假定 α =0．02，則對應(yīng)于置信水平為98%的第二代小波組分能量變化率指標(biāo)的置信上限UL可通過式(8)獲得。對于有損傷的簡支梁，可以將小波組分能量變化率指標(biāo)和置信上限UL之差與簡支梁有限元節(jié)點號繪成柱狀圖。在圖2(a)中可以明顯看出:在節(jié)點14、15和16上出現(xiàn)的小波能量變換率指標(biāo)較大，可以判定在這些節(jié)點之間存在損傷，這較好地指出了簡支梁的損傷位置;在圖 2(c)中，在節(jié)點 6，7，8，9，13，14，15和16上出現(xiàn)的小波能量變換率指標(biāo)也較大，也較好地指出了簡支梁的損傷位置。采用以上方法，可以較好地從柱狀圖中判定出簡支梁的3種損傷位置。從計算過程來看，基于二代小波能量變化率的損傷識別方法比基于小波包能量變化率的損傷識別方法要簡單，且計算速度更快。

圖2 損傷梁的柱狀圖Fig．2 The histogram of damage beam

3．2 信號含有噪聲的結(jié)構(gòu)損傷識別數(shù)值仿真分析

由于實測的動態(tài)信號不可避免地會含有噪聲，因此，需要討論使用第二代小波能量變化率指標(biāo)對含噪聲的動態(tài)信號進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識別的情況。

由于現(xiàn)場實測的動力信號都含有一定的噪聲，現(xiàn)向提取的信號中加入5%的高斯白噪聲。通過采用提升后的bior1．1小波對該動態(tài)信號進(jìn)行8水平分解，把小波組分能量變化率指標(biāo)和置信上限UL之差與簡支梁有限元節(jié)點號繪成柱狀圖如圖3所示。從圖3可以看出，噪聲對采用第二代小波能量變化率方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷定位的影響較大，無法直接使用該方法對含噪聲的結(jié)構(gòu)動態(tài)信號進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷定位。

圖3 含噪聲5%的損傷梁的柱狀圖Fig．3 The histogram of damage beam under 5%noise

對含有5%噪聲的信號降噪處理后，再用第二代小波能量變化率指標(biāo)進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷定位。通過對降噪后信號采用bior1．1的提升小波進(jìn)行第8水平的小波分解，提取第二代小波能量變化率，并在置信水平為98%的條件下繪制3種損傷情況對應(yīng)的直方圖，如圖4所示。從圖4可以看出，直方圖很好地指出了結(jié)構(gòu)的損傷位置。

圖4 降噪后損傷梁的柱狀圖Fig．4 The histogram of damage beam after noise reduction

對比降噪前后基于第二代小波能量變化率的簡支梁柱狀圖可以看出:基于第二代小波能量變化率的結(jié)構(gòu)損傷識別方法不能應(yīng)用于降噪前的結(jié)構(gòu)識別損傷，可應(yīng)用于降噪后的結(jié)構(gòu)識別損傷。這是因為噪聲多為高頻信號，小波包對動測信號的高頻部分做了更細(xì)的劃分。因此，在應(yīng)用小波包能量變化率指標(biāo)進(jìn)行損傷定位時，需要先對采集的信號進(jìn)行降噪處理。

4 結(jié)論

(1)第二代小波能量分布向量對結(jié)構(gòu)損傷比較敏感，結(jié)構(gòu)損傷位置處第二代小波能量變化率指標(biāo)和置信上限UL之差遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其它測點，據(jù)此可識別與判定結(jié)構(gòu)損傷位置。

(2)基于二代小波能量變化率的損傷識別方法比基于小波包能量變化率的損傷識別方法簡單，計算步驟明確，計算機(jī)實施方便，運算速度更快，對橋梁在線健康檢測中的損傷識別和定位具有重要的應(yīng)用價值。

(3)噪聲對基于第二代小波能量變化率指標(biāo)的結(jié)構(gòu)損傷識別的影響較大，在實際工程應(yīng)用中，應(yīng)先對現(xiàn)場實測的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)信號進(jìn)行降噪處理，然后再應(yīng)用第二代小波能量變化率指標(biāo)對結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行識別和定位。

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