周婷

先說個小笑話，甲問乙：“小明的弟弟叫二毛，二毛的哥哥叫什么？”乙不假思索，立即答道：“叫大毛?！币覟槭裁磿稿e誤？這就是思維定式作祟的典型表現(xiàn)。在乙的心理中，“二毛”的哥哥當然是“大毛”了。由此進一步思考發(fā)現(xiàn)這個有趣的小故事，對數(shù)學教學有一定的啟迪作用。

數(shù)學中的思維定式有一定的積極作用，但也有負面作用。按已知的雙基模式進行常規(guī)程序化的操作，反映出的思維方式就是思維定式。雖不能完全否認這種思維方式的功能，但若長期習慣于這種思維方式，就會現(xiàn)出穩(wěn)定、固化和定向的特點，使思維受到束縛而使視野變得狹窄、膚淺和片面。特別是當遇到問題情境發(fā)生變異，或問題含有某種“陷阱”時，這種思維方式對于問題的解決不僅很難奏效，反而會陷入誤區(qū)，使解題產(chǎn)生錯誤。

本文就這個議題，談談如何引導學生在辨析錯誤和糾正錯誤的過程中走出思維定式的誤區(qū)，從而發(fā)展思維創(chuàng)造性、批判性、廣闊性和深刻性。

一、盲目套用固定的法則，導致錯誤

學生遇到“狡猾”的問題時，常受題設表面信息或法則的暗示，將解題納入自己熟悉的習慣性軌道，就很容易導致錯誤。

例1.在■與n（n∈N*）之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)成等比數(shù)列，則這n個數(shù)的乘積為 。

不少學生由等比數(shù)列的性質(zhì)a1an=a2an-1=…很快得所求乘積為n×■=1。

師：請用具體數(shù)字試試。

有學生取n=3，得所求積確實為1，但有學生取n=5，卻得所求積為±1。

嚴峻的事實使學生明白這n個數(shù)的中間數(shù)可能為1，也可能為-1，所以正確答案應為1或-1。說明學生思維在不斷深入。

例2.在平面直角坐標系中，有點A（2，4）、B（5，7），現(xiàn)將向量■按向量■=（-1，3）平移，則平移后所得向量■的坐標為 。

許多學生略作思索，迅速獲解，得■=■-■=（5，7）-（2，4）=（3，3）。

則按向量■=（-1，3）平移后，所得向量■的坐標為（3，3）+（-1，3）=（2，6）。

師（明知學生錯了，但此時卻不動聲色，啟發(fā)學生進行自我批判）：若A（2，4）、B（5，7）兩點按向量■=（-1，3）平移，則平移后所得兩個對應點C、D的坐標分別是 。

生（暫時不明就里）：因為■+■=■，（2，4）+（-1，3）=（1，7），所以得C（1，7），同樣得D（4，10）。

師：那么按此結(jié)果，可得■的坐標為 。

生：■的坐標為（4，10）-（1，7）=（3，3）

師：嗨，■的坐標怎么有了兩個答案啦？

生（大受刺激，思考后迅速作出反應）：（3，3）是對的。

師：錯誤是怎么產(chǎn)生的？

生：用向量的加法運算，得到的是點的坐標，但不管如何平移，向量的坐標是不變的，所以■=■=（3，3）（如圖1）。

■

學生感到大受啟發(fā)，今后可不能盲目地進行似是而非的簡單操作了。

二、觀察角度片面，導致錯誤

例3.三棱錐S-ABC中，三條側(cè)棱SA、SB、SC的長度分別為4、5、6，且兩兩互相垂直，求三棱錐S-ABC的體積。

教師故意將圖形畫成圖2的模樣，不少學生果然上當了，他們誤認為這個三棱錐的底只能是△ABC，于是題解陷入困境。

■

師：請注意三條側(cè)棱兩兩互相垂直，三棱錐的底一定在下方嗎？

學生立即反應過來，△SAB、△SBC、△SCA都可以為底?。。ń饴裕?/p>

學生的笑聲表明他們的思維由刻板走向靈活。

例4.關于x的方程ax2+x+1=0（a>0）的二實根為x1、x2，若■∈[■，10]，求a的最值。

學生開始按常規(guī)思路來解，很順利地得出

x1+x2=-■ ①x1x2=■ ②

設■=k，則x1=kx2，①②兩式變?yōu)閤2（k+1）=-■kx22=■

消去x2，得a=■=■=■

因為k+■≥2，當且僅當k=1時，k+■有最小值2，所以a有最大值■。

師：a有最小值嗎？（“狡黠”的一問，聲音雖不大，但極具穿透力與震撼力）

生：關于k的函數(shù)k+■在（0，1]與[1，+∞）上分別是減函數(shù)與增函數(shù)（證明略），而k∈[■，10]，所以當k=■，或k=10時，k+■有最大值■，則a有最小值■，此時此刻，學生感到心靈通透、回腸蕩氣，那是必然的了。

三、題設條件認識膚淺，導致錯誤

對題設條件提供的信息，有的學生讀題只停留在表面，多憑直觀的思維定式給出解法，不去深入地思考和仔細地觀察。事后多以“粗心大意，心浮氣躁”來解釋。

例5.當實數(shù)a滿足什么條件時，圓（x-a）2+y2=9與拋物線y2=2x有公共點？

錯解1：由（x-a）2+y2=9y2=2x消去y得x2+2（1-a）x+a2-9=0①

∵兩曲線有公共點 ∴方程①有實數(shù)解，

則Δ=[2（1-a）]2-4（a2-9）≥0 ∴a≤5

錯解2：∵y2=2x≥0 ∴方程①的解是非負的

則Δ=[2（1-a）]2-4（a2-9）≥0-2（1-a）≥0a2-9≥0 ∴3≤a≤5

教師帶領學生一道進行辨析：

解法1中學生只考慮方程①有實數(shù)解，沒有進一步思考方程①的有解與方程組的有解是否等價，更沒考慮到方程①應該有什么樣的解。

解法2中學生看到有限制條件y2=2x≥0，但認識仍然不全面，只是機械地應用題設條件，沒能深入分析條件隱含的信息，實現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化。

根據(jù)直覺直觀解題是解題的重要手段，許多重要的數(shù)學發(fā)現(xiàn)甚至發(fā)明創(chuàng)造也多來源于此。如果只停留在表面，不做進一步深入的思考，牛頓可能也只知道蘋果熟了會掉下來，而發(fā)現(xiàn)不了萬有引力定律。在教學過程中教師應有意識地多創(chuàng)設干擾環(huán)境，讓學生在失敗中逐步提高思維的深刻性，養(yǎng)成深入透徹地分析定義、定理、公式法則的內(nèi)涵和外延的習慣，有效地消除思維定式的消極影響。

四、對雙基的掌握不準確，導致錯誤

學生由于認識的膚淺，對雙基的掌握常有不準確的缺陷，教師應選擇典型問題幫助他們克服這種弊端。

例6.已知等差數(shù)列an，bn，前n項和分別為Sn，Sn′且■=■，求■。

生：由已知，可設Sn=（2n+2）k，Sn′=（n+3）k（k為常數(shù)）

則■=■=■=2

師：兩個等差數(shù)列前n項和之比肯定為某一常數(shù)嗎？

生：Sn=an2+bn（a≠0），是關于n的二次函數(shù)式。在除式■中被約去的是kn，該學生簡單理解為約去k形成錯解。

正確的解答為■=■=■=■

又根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a7=■（a1+a13），b7=■（b1+b13）

則■=■=■=■

由上述幾例可以看出思維定式消極影響的嚴重性。如何在教學過程中引導學生有效地消除上述不利情形，如何提高學生對知識理解的深度，掌握和應用的正確性，筆者有如下建議：

1.注意運用反例和特例，通過反例和特例鮮明的直觀特征，引起學生更多的注意，也易于學生接受。

2.教授概念、公式和定理時，引導學生深入分析它們的內(nèi)涵和外延，正確認識知識之間的聯(lián)系和區(qū)別，減少死套公式，張冠李戴的思維定式錯誤。

3.逐步在學習過程中培養(yǎng)和提高學生的思維品質(zhì)，形成改組思維定式的基礎。只有當學生思維具有廣闊性、嚴密性和靈活性，善于多方向、多角度地思考問題時，思維定式才可以發(fā)揮其積極作用。

？誗編輯 張珍珍