在數(shù)學(xué)習(xí)題課中，注重對(duì)問(wèn)題的變式拓展，有目的地進(jìn)行辨析教學(xué)既是我們教師教學(xué)的一個(gè)優(yōu)良傳統(tǒng)，也是新課程背景下引發(fā)學(xué)生自主探究、合作交流的重要途徑；適時(shí)進(jìn)行一些“貌合神離”題的辨析，觸類旁通，幫助學(xué)生在解題實(shí)踐中學(xué)會(huì)積累解題模式，對(duì)于提高學(xué)生的認(rèn)知層次、強(qiáng)化探索能力、發(fā)展思維品質(zhì)，以及摒棄題海戰(zhàn)術(shù)，將是十分有效的。本文是筆者上的一堂導(dǎo)數(shù)習(xí)題課的課堂實(shí)錄（教研組內(nèi)研討課），課內(nèi)課后都有很多感悟，愿與同行交流.

一、問(wèn)題情境

已知函數(shù)f（x）=2x2-3ax2，g（x）=3x2-6ax，又函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，而在（1，+∞）單調(diào)遞增.

（1）求a的值；

（2）求M的最小值，使對(duì)？坌x1、x2∈[-2，2]，有？誆f（x1）-g（x2）？誆≤M成立.

這是高二理科班的學(xué)生在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)內(nèi)容后復(fù)習(xí)過(guò)程中遇到的一道作業(yè)題，它考查了導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值以及不等式恒成立等常見(jiàn)知識(shí)點(diǎn).

二、教學(xué)過(guò)程摘錄

1.將錯(cuò)就錯(cuò)，引導(dǎo)拓展

上課后，利用實(shí)物投影展臺(tái)，我先展示第（1）問(wèn)簡(jiǎn)潔的解答，接著就展示第（2）問(wèn)學(xué)生1出錯(cuò)的解答.

[展示1] 解：（2）令F（x）=f（x）-g（x），則F（x）=2x3-6x2+6x

∴F ′（x）=6x2-12x+6由F ′（x）=0得x=1，由單調(diào)性可知？誆F（x）？誆max=52，即？誆f（x1）-g（x2）？誆max=52，∴M≥？誆f（x1）-g（x2）？誆max=52，即Mmin=52.

等學(xué)生議論片刻后，我習(xí)慣性地問(wèn)道：該解答過(guò)程有問(wèn)題嗎？不少學(xué)生齊聲答道：有！

“那我們先看看正確的解法！”（邊展示邊概括思路）

[展示2] （過(guò)程略）

“通過(guò)兩者的比較，大家能發(fā)現(xiàn)同學(xué)1的錯(cuò)因嗎？”

“老師，我知道錯(cuò)在哪了.問(wèn)題中的兩個(gè)函數(shù)值f（x1），g（x2）是兩個(gè)不相關(guān)聯(lián)的量，應(yīng)該先分別求范圍再找它們的差的最值；我的解答錯(cuò)誤地以為它們的自變量相同，把f（x1），g（x2）當(dāng)成了兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量.”學(xué)生1自覺(jué)地自我分析道.

“很好！敢于自我批評(píng)，而且分析得很到位.”（此時(shí)學(xué)生們微笑著投以贊許的目光）我趁勢(shì)說(shuō)道：解答中像這樣出錯(cuò)的同學(xué)實(shí)際上還是有功勞的，大家不覺(jué)得他們的思路可以解決某一類問(wèn)題嗎？

（學(xué)生思考片刻，有人恍然大悟）

2.同舟共濟(jì)，上下求索

“我認(rèn)為原問(wèn)題這樣改一下就是另一類問(wèn)題，求M的最小值，使對(duì)？坌x∈[-2，2]，有？誆f（x）-g（x）？誆≤M成立.”（學(xué)生2搶先發(fā)言，我將他的表述板書在黑板上，學(xué)生一致認(rèn)同.）

變式1：求M的最小值，使對(duì)？坌x∈[-2，2]，有？誆f（x）-g（x）？誆≤M成立.

“很好！但這只是我們得到的第一件‘副產(chǎn)品；只要同學(xué)們敢于加工創(chuàng)造，將會(huì)陸續(xù)有新的‘產(chǎn)品出現(xiàn).要不——再試試？（微笑著鼓勵(lì)他們）”

（我示意學(xué)生討論，氣氛一下子又活躍起來(lái).兩分鐘后，不少學(xué)生似乎加工好了自己的“產(chǎn)品”，我示意大家自由發(fā)言.）

“條件這樣改一下又是一個(gè)題目：求M的最小值，使對(duì)？坌x1、x2∈[-2，2]，有？誆f（x1）-f（x2）？誆≤M成立.”學(xué)生3首先發(fā)言.

“那題目中還有一個(gè)函數(shù)g（x）不是沒(méi)用上嘛.”

“為什么一定要有g(shù)（x）？題目中沒(méi)有這個(gè)函數(shù)的話這樣改編應(yīng)該沒(méi)有問(wèn)題.”

“當(dāng)然也可以是：對(duì)？坌x1、x2∈[-2，2]，有？誆g（x1）-g（x2）？誆≤M成立.”

……

接下來(lái)，師生進(jìn)行了熱烈的討論，從恒成立問(wèn)題到存在性問(wèn)題，后來(lái)突破了原有的題設(shè)結(jié)構(gòu)并經(jīng)歷了嘗試、修改，得到如下新題：（變式2、變式3的條件見(jiàn)原題目）

變式2：求M的最小值，使對(duì)？坌x1、x2∈[-2，2]，有？誆f（x1）-f（x2）？誆≤M成立.

變式3：若存在x1、x2∈[-2，2]，使得？誆f（x1）-g（x2）？誆≤M成立，求M的最小值.

變式4：已知函數(shù)f（x）=2x3-3ax2，g（x）=3x2-6ax，若？坌x∈（-∞，1]，都有f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式5：已知函數(shù)f（x）=2x3-3x2，g（x）=3x2-6ax，若存在x1∈[-2，2]，使得對(duì)任意的x2∈[-1，1]，有f（x1）=g（x2），求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

三、教學(xué)感想

常規(guī)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課總是以專題為主，追求題型的覆蓋率、線索的清晰度和方法的代表性.因此，老師就讓學(xué)生大量作題，來(lái)總結(jié)出一類解題的方法，形成一套解題寶典，以便學(xué)生使用。

這堂課不同于常規(guī)的習(xí)題課，學(xué)生在課前并未預(yù)知教學(xué)內(nèi)容，師生共同完成由一道很平常的習(xí)題導(dǎo)出一組看似平淡卻蘊(yùn)涵豐富思想、方法的好題.本節(jié)課在分析學(xué)生的起始能力和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，以學(xué)生的錯(cuò)誤作為教學(xué)的切入點(diǎn)，運(yùn)用認(rèn)知上的矛盾沖突，引導(dǎo)學(xué)生不斷地反思，激發(fā)學(xué)生的探索欲，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)交流中收獲成功.

1.生成性問(wèn)題學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)

離開(kāi)了預(yù)設(shè)，生成就是無(wú)源之水，顯得突兀；而沒(méi)有生成，課堂便是一潭平靜的湖水，激不起美麗的浪花。從這個(gè)意義上講，預(yù)設(shè)成為新生命。有了新的生命的存在，課堂才有了活力和精彩.

本節(jié)課教師一直以學(xué)習(xí)伙伴的身份參與學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程，時(shí)而給予學(xué)生必要的引導(dǎo)和幫助，時(shí)而幫助學(xué)生總結(jié)、提煉。課堂上筆者欣喜地發(fā)現(xiàn)學(xué)生能夠自編自導(dǎo)，并且對(duì)生成性問(wèn)題報(bào)以極大的熱情，特別是從變式2開(kāi)始，不論自己有沒(méi)有得到更好的變式，都能積極地探索.

2.數(shù)學(xué)探究要以解題反思為基礎(chǔ)

孔子云：學(xué)而不思則罔.荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是重要的思維活動(dòng)，它是思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力.”筆者認(rèn)為，學(xué)生要通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)來(lái)提高他們的思維能力，來(lái)獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)。如果老師不能及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思，尤其是對(duì)錯(cuò)誤的反思，那么就很容易成為“水過(guò)地皮濕”的表面現(xiàn)象.在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的數(shù)學(xué)探究可以使學(xué)生的知識(shí)技能得到鞏固，思維品質(zhì)和思維能力得到優(yōu)化和發(fā)展.

3.數(shù)學(xué)交流在數(shù)學(xué)探究中激活

學(xué)生經(jīng)歷了“錯(cuò)誤—反思—探究—拓展”這樣一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，智慧的火花在思維的碰撞中閃光.這就需要老師來(lái)創(chuàng)造和諧的氛圍和愉悅的心情，讓學(xué)生充分發(fā)揮他們的創(chuàng)造性和主動(dòng)性，讓他們隨時(shí)與老師溝通，有什么疑點(diǎn)要及時(shí)與老師溝通解決，有什么想法也要提出來(lái)，這樣的溝通交流才可以有效地提高學(xué)習(xí)的效率，才能讓數(shù)學(xué)更上一階.

本節(jié)課如果沒(méi)有對(duì)錯(cuò)解和對(duì)錯(cuò)題的反思，并且在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的探究、拓展，課堂上的數(shù)學(xué)交流只能流于知識(shí)形態(tài)的交流.而感情形態(tài)的交流和自我交流也是數(shù)學(xué)交流的基本形式.贊可夫說(shuō)：“教學(xué)方法一旦觸及學(xué)生的情緒和意志領(lǐng)域，觸及學(xué)生的心理需要，這種教學(xué)會(huì)變得高度有效.”學(xué)生是否愿意學(xué)，情感的激發(fā)是一個(gè)不容忽視的重要方面.因此，筆者認(rèn)為教師選擇適當(dāng)?shù)牧?xí)題教學(xué)讓學(xué)生在數(shù)學(xué)探究中激活數(shù)學(xué)交流，有助于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和信心，有助于提高和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有助于促進(jìn)情感教育和學(xué)生的社會(huì)化.

參考文獻(xiàn)：

[1]李偉.課堂數(shù)學(xué)交流綜述.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考[J]，2005（08）.

[2]游明波，郭紅霞.糾錯(cuò)教學(xué)貴在引導(dǎo)學(xué)生反思.數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J]，2008（08）.

？誗編輯 薄躍華