張育麗

近年來，數(shù)學教研的工作重點已轉到“優(yōu)化課堂教學”上來。注重例題的教學，優(yōu)化教材例題教學，充分發(fā)揮例題的橋梁作用，這是每位數(shù)學教師需要深入研討的重要課題。在解題中，不斷改變解題方向，從不同角度，不同的側面去探討問題的解法，尋求最佳方法，將復雜問題轉化為簡單問題，將抽象化為具體，化難為易，化整為零，從而提高學生的解題能力和探究推理能力，使教學達到“事半功倍”的效果。

一、透視例題的意圖，化陌生為熟悉

教材中的每個例題的編排都有其意圖，都能夠比較具體地反映教學的有關內(nèi)容，及學生應掌握的程度。由于它們被安排在不同的教學環(huán)節(jié)上，其目的也就有所側重。因此，教師必須根據(jù)教學的實際和需要，深入鉆研例題，領會和認識例題的意圖，突出重點，兼顧其他，有意識地引導學生對例題的意圖進行透視，給學生創(chuàng)設自我學習的情境，逐步地培養(yǎng)學生的學習能力和習慣。

例1：當（1）x=5，y=3；（2）x=5，y=-3時，求：代數(shù)式|x|+|y|-2|x||y|的值。

我引導學生透視例題意圖，如下：

①復習代數(shù)式的值的概念。②進一步熟練求代數(shù)式的值的方法和步驟。③復習鞏固絕對值的概念。④掌握有關絕對值運算的方法。⑤此例兩個小題答案表明特殊情形下，同一字母取不同的數(shù)值時，同一代數(shù)式的值可能相同的事實。⑥找出本例特殊的原因。在學生明確了例題意圖后，教師便可啟發(fā)學生進行自我完善學習，使學生的學習效果符合例題意圖要求，經(jīng)常進行如此訓練，不僅大大提高了例題教學效果，而且有助于培養(yǎng)學生的自學能力和良好的學習品質(zhì)。

所以，例題教學要保證學生能聽得懂，接受得了。要做到這一點，教師備課時必須做到“吃透兩頭”：一頭是“吃透例題”，即對例題的內(nèi)容、知識范圍、與前后知識的聯(lián)系、技能水平、難易程度等要一清二楚；另一頭是“吃透學生”，即對學生的知識水平、能力水平、經(jīng)驗水平、年齡特征等要心中有數(shù)。對于一些難度較大，估計學生一下接受有困難的例題，要降低難度，搭好臺階，使學生感到只要自己“跳一跳”就能達到。

二、發(fā)掘課本習題的潛在功能，化復雜為簡單

教材中的例題，習題大多數(shù)都是經(jīng)過專家嚴格篩選而配置的，具有典型性和探索性，所蘊含的內(nèi)容也相當豐富，所以教師應引導學生研究、發(fā)掘例題、習題的潛在功能，并將其視為教學的主要內(nèi)容之一，它有利于培養(yǎng)學生能力，開發(fā)學生智力，使學生靈活運用已學知識解決問題。

例2：解關于x的方程：x+■=c+■（c≠0）

它的根是x1=c，x2=■，這個方程的兩個根互為倒數(shù)且恰是方程右邊互為倒數(shù)的常數(shù)，引導學生觀察，掌握這些特點，就可以靈活運用這個結論簡捷地解決課外的許多習題。

例3：（競賽題）解方程■+■=■

解法一：用換元法，y=■則方程變?yōu)閥+■=■，先求出y，再求x。

解法二：利用例3結論，將方程變?yōu)椤?■=2+■，從而得：■=2，■=■即可求出原方程的根。

像這樣引導學生研究一些例題，發(fā)掘其功能，利用它解決問題，不僅能收到事半功倍，以少勝多的效果，而且還能化難為易，激發(fā)學生學習興趣。

由于教材正文中有的引例的計算不簡便，不利于整個解題過程的操作與展示，筆者把課后的練習題設置為例題。

例4：某飲料廠1月份生產(chǎn)飲料的產(chǎn)量為500噸，3月份上升到720噸，求這個飲料廠2月份和3月份產(chǎn)量的平均增長率。

分析：設平均增長率為x，1月份產(chǎn)量為500噸，2月份產(chǎn)量為500（1+x）噸，3月份產(chǎn)量為500（1+x）（1+x）即500（1+x）2噸，列方程500（1+x）2=720

解題之后，延伸分析：如果1月份產(chǎn)量為a噸，3月份產(chǎn)量為b噸，則2月份產(chǎn)量為a（1+x）噸，3月份產(chǎn)量為a（1+x）（1+x）即a（1+x）2噸，列方程a（1+x）2 =b

總結平均增長率問題規(guī)律：a（1+x）n=b其中a為增長的初始數(shù)據(jù)，n為增長的次數(shù)，b為增長后的最終數(shù)據(jù)，如果是降低百分率問題，只需將加號變?yōu)闇p號即可。有了這個公式，學生再遇到此類問題就可“迎刃而解”。

三、通過例題引申，化封閉為開放

在例題的教學中，不失時機地進行適當?shù)囊?，可以激發(fā)學生的求知欲，養(yǎng)成深入研究問題的習慣。

九年級上冊第97頁——思考探索

例5：如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A沿著邊AB向點B以1cm/s的速度移動，同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，問：幾秒后△PBQ的面積等于8cm2？

■

圖1

解答：設x秒后△PBQ的面積等于8cm2，則AP=x，BQ=2x；

∴PB=AB-AP=6-x ∴S△PBQ=■PB·BQ=■·（6-x）·2x=x（6-x）即x（6-x）=8，x2-6x+8=0，（x-4）（x-2）=0

∴x1=4 x2=2

∴4秒或2秒后△PBQ的面積等于8cm2

引申新題：如圖2，在直角坐標系中，四邊形OBCD是矩形，C（6，12），點P從點O沿著x軸向點B以1cm/s的速度移動，同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動。

求：（1）點B、D的坐標。

（2）幾秒后，△PDQ是直角三角形？

（3）幾秒后，△PDQ是等腰三角形？

（4）幾秒后，△PDQ的面積最大，并求出Q的坐標和△PDQ的面積。

通過這一系列的問題引申，吸引學生積極地去思考，借以鞏固知識，培養(yǎng)學生分析能力和學生討論問題的的嚴謹性，提高學生數(shù)形結合思想的利用能力，使學生真正學會通過二次函數(shù)來求最值問題。endprint

四、變換例題結構，化零為整

針對課本上重要知識和學生掌握知識與技能的薄弱環(huán)節(jié)，就地取材，例題的教學宜求“變”、求“活”。利用交換題目的結構，通過變式練習，引導學生多角度、多方向、多層次地思考，擴大例題的輻射面，加深對基礎知識的理解、掌握和變通，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。

例6：已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點是B，OC∥AD，求證：DC是⊙O的切線。

在講解例題時，我們要對其進行深度的挖掘，注重例題的變化，加大知識的擴展與延伸。在上課的過程中，我對原題的題設和結論進行交換，改編為：

題1：已知AB是⊙O的直徑，DC是⊙O的切線，切點是D，OC∥AD，求證：BC是⊙O的切線。

題2：已知，AD是⊙O的弦，DC是⊙O的切線，切點是D，OC∥AD，過C作⊙O的切線BC，切點是B，求證：AB是⊙O的直徑。

對例題的變式，我們可通過改變條件和結論，圖形變式，類比和拓展等多種途徑，引導學生進行多角度的探討，把一個題變成一類題，從而促成知識的遷移和延伸，達到使學生解一題，會一類的目的。

例7：（原例題）已知等腰三角形的腰長是4，底長為6，求周長。我們可以將此例題進行一題多變。

變式1：已知等腰三角形一腰長為4，周長為14，求底邊長。（這是考查逆向思維能力）

變式2：已等腰三角形一邊長為4；另一邊長為6，求周長。（前兩題相比，需要改變思維策略，進行分類討論）

變式3：已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長。（顯然“3”只能為“底”，否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學生思維嚴密性）

變式4：已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍。

變式5：已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是14。請先寫出二者的函數(shù)關系式，再在平面直角坐標內(nèi)畫出二者的圖象。（與前面相比，要求又提高了，特別是對條件0

通過例題的層層變式，學生對三邊關系定理的認識又深了一步，有利于培養(yǎng)學生從特殊到一般、從具體到抽象地分析問題和解決問題的能力；通過例題解法多變的教學則有利于幫助學生形成發(fā)散思維，而又打破思維定勢；有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。

波利亞說：“中學數(shù)學教學的首要任務是習題教學。教師要充分發(fā)揮例題教學的示范和引領作用，使之成為促進學生發(fā)展的有效途徑。”通過例題教學不僅能培養(yǎng)學生數(shù)學學習能力和思維能力，而且能以點帶面，提升學生的感性認識，幫助學生領悟數(shù)學思想方法，探尋并掌握學習的“捷徑”，大大提高教與學的效率。

[參 考 文 獻]

[1]（美）喬治·波利亞著，劉景麟等譯.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學出版社，2009.

[2]王麗君.挖掘課本習題價值的實踐[J].北京：中小學數(shù)學，2013（5）.

（責任編輯：張華偉）

四、變換例題結構，化零為整

針對課本上重要知識和學生掌握知識與技能的薄弱環(huán)節(jié)，就地取材，例題的教學宜求“變”、求“活”。利用交換題目的結構，通過變式練習，引導學生多角度、多方向、多層次地思考，擴大例題的輻射面，加深對基礎知識的理解、掌握和變通，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。

例6：已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點是B，OC∥AD，求證：DC是⊙O的切線。

在講解例題時，我們要對其進行深度的挖掘，注重例題的變化，加大知識的擴展與延伸。在上課的過程中，我對原題的題設和結論進行交換，改編為：

題1：已知AB是⊙O的直徑，DC是⊙O的切線，切點是D，OC∥AD，求證：BC是⊙O的切線。

題2：已知，AD是⊙O的弦，DC是⊙O的切線，切點是D，OC∥AD，過C作⊙O的切線BC，切點是B，求證：AB是⊙O的直徑。

對例題的變式，我們可通過改變條件和結論，圖形變式，類比和拓展等多種途徑，引導學生進行多角度的探討，把一個題變成一類題，從而促成知識的遷移和延伸，達到使學生解一題，會一類的目的。

例7：（原例題）已知等腰三角形的腰長是4，底長為6，求周長。我們可以將此例題進行一題多變。

變式1：已知等腰三角形一腰長為4，周長為14，求底邊長。（這是考查逆向思維能力）

變式2：已等腰三角形一邊長為4；另一邊長為6，求周長。（前兩題相比，需要改變思維策略，進行分類討論）

變式3：已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長。（顯然“3”只能為“底”，否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學生思維嚴密性）

變式4：已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍。

變式5：已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是14。請先寫出二者的函數(shù)關系式，再在平面直角坐標內(nèi)畫出二者的圖象。（與前面相比，要求又提高了，特別是對條件0

通過例題的層層變式，學生對三邊關系定理的認識又深了一步，有利于培養(yǎng)學生從特殊到一般、從具體到抽象地分析問題和解決問題的能力；通過例題解法多變的教學則有利于幫助學生形成發(fā)散思維，而又打破思維定勢；有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。

波利亞說：“中學數(shù)學教學的首要任務是習題教學。教師要充分發(fā)揮例題教學的示范和引領作用，使之成為促進學生發(fā)展的有效途徑?！蓖ㄟ^例題教學不僅能培養(yǎng)學生數(shù)學學習能力和思維能力，而且能以點帶面，提升學生的感性認識，幫助學生領悟數(shù)學思想方法，探尋并掌握學習的“捷徑”，大大提高教與學的效率。

[參 考 文 獻]

[1]（美）喬治·波利亞著，劉景麟等譯.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學出版社，2009.

[2]王麗君.挖掘課本習題價值的實踐[J].北京：中小學數(shù)學，2013（5）.

（責任編輯：張華偉）

四、變換例題結構，化零為整

針對課本上重要知識和學生掌握知識與技能的薄弱環(huán)節(jié)，就地取材，例題的教學宜求“變”、求“活”。利用交換題目的結構，通過變式練習，引導學生多角度、多方向、多層次地思考，擴大例題的輻射面，加深對基礎知識的理解、掌握和變通，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。

例6：已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點是B，OC∥AD，求證：DC是⊙O的切線。

在講解例題時，我們要對其進行深度的挖掘，注重例題的變化，加大知識的擴展與延伸。在上課的過程中，我對原題的題設和結論進行交換，改編為：

題1：已知AB是⊙O的直徑，DC是⊙O的切線，切點是D，OC∥AD，求證：BC是⊙O的切線。

題2：已知，AD是⊙O的弦，DC是⊙O的切線，切點是D，OC∥AD，過C作⊙O的切線BC，切點是B，求證：AB是⊙O的直徑。

對例題的變式，我們可通過改變條件和結論，圖形變式，類比和拓展等多種途徑，引導學生進行多角度的探討，把一個題變成一類題，從而促成知識的遷移和延伸，達到使學生解一題，會一類的目的。

例7：（原例題）已知等腰三角形的腰長是4，底長為6，求周長。我們可以將此例題進行一題多變。

變式1：已知等腰三角形一腰長為4，周長為14，求底邊長。（這是考查逆向思維能力）

變式2：已等腰三角形一邊長為4；另一邊長為6，求周長。（前兩題相比，需要改變思維策略，進行分類討論）

變式3：已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長。（顯然“3”只能為“底”，否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學生思維嚴密性）

變式4：已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍。

變式5：已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是14。請先寫出二者的函數(shù)關系式，再在平面直角坐標內(nèi)畫出二者的圖象。（與前面相比，要求又提高了，特別是對條件0

通過例題的層層變式，學生對三邊關系定理的認識又深了一步，有利于培養(yǎng)學生從特殊到一般、從具體到抽象地分析問題和解決問題的能力；通過例題解法多變的教學則有利于幫助學生形成發(fā)散思維，而又打破思維定勢；有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。

波利亞說：“中學數(shù)學教學的首要任務是習題教學。教師要充分發(fā)揮例題教學的示范和引領作用，使之成為促進學生發(fā)展的有效途徑。”通過例題教學不僅能培養(yǎng)學生數(shù)學學習能力和思維能力，而且能以點帶面，提升學生的感性認識，幫助學生領悟數(shù)學思想方法，探尋并掌握學習的“捷徑”，大大提高教與學的效率。

[參 考 文 獻]

[1]（美）喬治·波利亞著，劉景麟等譯.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學出版社，2009.

[2]王麗君.挖掘課本習題價值的實踐[J].北京：中小學數(shù)學，2013（5）.

（責任編輯：張華偉）