黃志軍

摘 要：“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力”。沒有創(chuàng)新，我們的教育就沒有希望，教育能否培養(yǎng)出具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的新人，是現(xiàn)代教育是否成功的重要標(biāo)志。本文著重從三個(gè)方面談如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力：一、夯實(shí)“四基”是起點(diǎn)；二、培養(yǎng)創(chuàng)造性思維是關(guān)鍵；三、探究性學(xué)習(xí)是基本手段。教師要把創(chuàng)新教育充分滲透到教學(xué)中去，要把學(xué)生引入到一個(gè)多思、多問、多變的廣闊的思維空間，從而開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新；創(chuàng)新能力；創(chuàng)新思維；探究性學(xué)習(xí)

創(chuàng)新教育是反映時(shí)代精神的一種新的教育理論，是以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力為主要目標(biāo)的教育思想，它注重學(xué)生通過自己的創(chuàng)造活動(dòng)去“發(fā)現(xiàn)”知識(shí)，發(fā)展技能。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)有目的、有計(jì)劃地拓展學(xué)生的思維空間，給學(xué)生更多的創(chuàng)造機(jī)會(huì)，使不同智力水平的學(xué)生，在思維能力上得到不同程度的發(fā)展。江澤民同志指出“創(chuàng)造能力就是生產(chǎn)力”，“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力”，“一個(gè)沒有創(chuàng)新能力的民族，難以屹立于世界先進(jìn)的民族之林”。為了民族的前途，在教學(xué)中我們必須加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。本文擬從三個(gè)方面談一談如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

一、夯實(shí)“四基”是起點(diǎn)

創(chuàng)新意識(shí)的產(chǎn)生需要一定的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)橹R(shí)容量越大，聯(lián)想、類比、猜想的領(lǐng)域就越廣，從而產(chǎn)生新知識(shí)、新方法、新思想、新技能的機(jī)會(huì)就越多，進(jìn)行創(chuàng)新的活動(dòng)空間就越大。因此，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力必須立足于“四基”，抓好基礎(chǔ)訓(xùn)練，使學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，如運(yùn)算能力、表達(dá)能力、推理論證能力、分析能力及知識(shí)的綜合運(yùn)用能力等；在教學(xué)中加強(qiáng)基本思想的滲透以及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，使學(xué)生在探究活動(dòng)中具備一定的創(chuàng)新意識(shí)和經(jīng)驗(yàn)方法。

另一方面，基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程也是知識(shí)的再創(chuàng)造過程。在教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生用現(xiàn)有的知識(shí)包括他們生活中積累的經(jīng)驗(yàn)去發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，如：由等式的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)解一元一次方程的方法；由整式的乘法運(yùn)算發(fā)現(xiàn)整式的乘法公式；由三角形內(nèi)角和推導(dǎo)出四邊形內(nèi)角和，再推導(dǎo)出五邊形內(nèi)角和，直至多邊形的內(nèi)角和。這樣讓學(xué)生在增長(zhǎng)知識(shí)的過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造發(fā)展過程，體會(huì)到創(chuàng)造的價(jià)值和意義。因此，“四基”教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的起點(diǎn)。

二、培養(yǎng)創(chuàng)造性思維是關(guān)鍵

任何創(chuàng)造都離不開思維，特別是創(chuàng)造性思維，只有當(dāng)一個(gè)人具有一定的創(chuàng)造性思維水平的情況下才能在面臨問題時(shí)有進(jìn)行研究的能力，才能有創(chuàng)造的可能。因而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的關(guān)鍵是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力。在創(chuàng)造性思維中又以直覺思維和發(fā)散思維最常用，因而要加強(qiáng)這兩種思維能力的培養(yǎng)。

（一）類比聯(lián)想，培養(yǎng)直覺思維的敏捷性

類比是一種反映較快的直覺思維方法，當(dāng)兩個(gè)對(duì)象在某些方面存在相同或相似時(shí)，就可猜想兩個(gè)對(duì)象在其他方面也存在相同或相似。例如：由分式與分?jǐn)?shù)在形式上的相同，就猜想分式也有與分?jǐn)?shù)相同的基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)；由全等三角形是特殊的相似三角形，就會(huì)猜想相似三角形的判定有與全等三角形的判定類似的判定方法；由相似三角形的性質(zhì)去猜想相似多邊形的性質(zhì)；由二元一次方程組的解法猜想二元二次方程組的解法；由特殊條件下的結(jié)論去猜想一般條件下的結(jié)論等。

聯(lián)想是產(chǎn)生直覺思維的先導(dǎo)，只有通過聯(lián)想才能使當(dāng)前對(duì)象與原有對(duì)象建立聯(lián)系，才能為類比猜想和直觀感覺猜測(cè)提供參照。例如“當(dāng)k為何值時(shí)，拋物線y=-2x2+3x-k與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)?！苯膺@道題目，首先就是根據(jù)已經(jīng)聯(lián)想到拋物線與x軸相交的圖形，由圖可知存在兩個(gè)x值使y=0，再根據(jù)一元二次方程-2x2+3x-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的判定方法，得出Δ=32-4（-2）×（-k）>0，得k<■。

（二）數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)直覺思維的變通性

圖形具有較強(qiáng)的直觀性，把數(shù)與形結(jié)合，就能使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，更能由感而發(fā)，猜想到問題的結(jié)局。例如“已知：a>b>0，求證：■-■<■”，首先由待證式■-■<■可聯(lián)想到以■、■為直角邊作直角三角形（如圖1），則斜邊是■，由三角形兩邊之差小于第三邊可得■-■<■。

（三）由淺入深，培養(yǎng)直覺思維的深刻性

對(duì)直覺思維的培養(yǎng)不能僅僅停留在一般性的感知上，要有一定的思維深度。為此教學(xué)中應(yīng)在問題的設(shè)置上下功夫，使問題有梯度、有深度，由形象上升為抽象，使學(xué)生的直觀思維變得深刻起來。例如“判斷下列各式是否成立：（1）■=2■；（2）■=3■；（3）■=4■；（4）■=5■?！?/p>

引申1：如果上述式子全部正確，你能否發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并再舉出兩個(gè)例子嗎？

引申2：請(qǐng)用含有的式子將此規(guī)律表示出來，并考慮的取值范圍；

引申3：試說明你所寫的式子是否正確。

（四）一題多解，培養(yǎng)發(fā)散思維的靈活性

在創(chuàng)造活動(dòng)中，往往是經(jīng)過多次失敗后才會(huì)成功，總結(jié)失敗的教訓(xùn)，選擇不同的研究角度和研究方法，正符合發(fā)散思維的特征，故在創(chuàng)新能力的培養(yǎng)過程中要加強(qiáng)發(fā)散思維的培養(yǎng)。一題多解，就是讓學(xué)生用多種方法解答同一個(gè)問題，讓學(xué)生全面地理解知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生的思維變得更靈活。例如“在△ABC中，AD平分∠BAC（如圖2），求證：■=■?！?/p>

思路一：用平行線分線段成比例定理的推論證明。過B、D、C三點(diǎn)中的任一點(diǎn)作平行線，一般學(xué)生都選用此種證法。

思路二：從三角形相似考慮，可構(gòu)造一組相似的三角形，由∠1=∠2再作∠ACE=∠B，交AD（或延長(zhǎng)線）于E，則△ABD∽△ACE，可得■=■，再由∠3=∠1+∠B=∠2+∠ACE=∠4得CE=CD，故結(jié)論得證。

思路三：由BD、DC在同一線段上知△ABD中BD邊上的高等于△ADC中DC邊上的高，由面積計(jì)算有■=■。又因?yàn)椤?=∠2，知點(diǎn)D到AB、AC的距離相等，得■=■，從而結(jié)論獲證。從三條思路中可看到思路三更簡(jiǎn)潔，更具創(chuàng)新性。

（五）舉一反三，培養(yǎng)發(fā)散思維的廣闊性

發(fā)散性思維要求學(xué)生在思考問題時(shí)，要將信息向各種可能的方向擴(kuò)散，并引出更多信息，使解題思路不拘泥于一個(gè)途徑，不局限于一種理解，不滿足于得到基本的結(jié)論。例如“求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形。”證完之后，教師可提出以下問題：

①能否再利用平行四邊形的其他判定定理進(jìn)行證明？

②順次分別連結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形和等腰梯形的四條邊的中點(diǎn)，所得的分別是什么四邊形？

③從以上的問題中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？通過以上的提問、討論，鞏固和加強(qiáng)了各種平行四邊形的性質(zhì)和判定方法，加深了對(duì)知識(shí)的理解與掌握，開闊了學(xué)生的視野，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力。

（六）一題多變，培養(yǎng)思維的多向性

把一道題目進(jìn)行變化，可產(chǎn)生多種形式的題目，讓學(xué)生在解題過程中得到直覺思維和發(fā)散思維的綜合訓(xùn)練。例如“（如圖3）AB、CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，OC=OD，E、F在AB上，且AE=BF，求證：CE=DF?！?/p>

■

變式一：將“求證：CE=DF”換成“CE與DF有何關(guān)系，并加以證明?！睂W(xué)生通過直覺思維可得結(jié)論“CE=DF，CE∥DF”。

變式二：把原題的已知條件“AE=BF”去掉，換成“要使CE=DF成立，應(yīng)再加一個(gè)什么條件？”學(xué)生通過發(fā)散思維可以找到“OE=OF或∠ACE=∠BDF等”。

變式三：把原題改為“（如圖4）AB、CD相交于點(diǎn)O，OC=OD。請(qǐng)你再加上適當(dāng)?shù)臈l件，編成與原題有不同結(jié)論的題目，并證明?！蓖ㄟ^改題編題，使學(xué)生的思維空間更大了，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

（七）錯(cuò)題辨析，培養(yǎng)思維的批判性

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要經(jīng)常設(shè)置錯(cuò)題辨析，引導(dǎo)學(xué)生批判，例如“在學(xué)習(xí)一元二次方程根的判別式時(shí)，可設(shè)計(jì)問題：已知關(guān)于x的方程2kx2+（8k+1）x+8k=0有兩不等實(shí)根，求k的取值范圍。小明解法如下：由題意Δ>0，即（8k+1）2-4×2k×8k>0，得k>-■。小明的解法對(duì)嗎？如果不對(duì)，請(qǐng)你給出正確的解答?！苯虒W(xué)中，教師要善于打破權(quán)威意識(shí)，使學(xué)生勇于發(fā)表自己的見解，敢于指出同學(xué)、甚至老師的錯(cuò)誤，教育學(xué)生不盲從課本、不迷信權(quán)威，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力大有益處。

（八）非常規(guī)解法，培養(yǎng)思維的求異性

非常規(guī)解法是相對(duì)于常規(guī)解法而言的，即根據(jù)題目的特點(diǎn)，簡(jiǎn)捷而合理地求出問題的答案。在教學(xué)中適當(dāng)采用這種特殊的解法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是行之有效的。例如“已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b=6，ab=c2+9，求證：a=b”。此題常規(guī)證法可由韋達(dá)定理得知方程x2-6x+c2+9=0的兩根是a、b，再根據(jù)判別式可得證。但若根據(jù)題設(shè)條件可容易計(jì)算得：（a-b）2=（a+b）2-4ab=-4c2≤0，又（a-b）2≥0，故a=b。通過這類非常規(guī)解法的訓(xùn)練，可培養(yǎng)思維的求異性和獨(dú)創(chuàng)性。

三、探究性學(xué)習(xí)是基本手段

創(chuàng)新開始于探究。要發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，一定要給予學(xué)生創(chuàng)新的環(huán)境和值得研究的問題，而探究性學(xué)習(xí)就是教師為學(xué)生的創(chuàng)新活動(dòng)提供研究的問題，并指導(dǎo)學(xué)生解決問題的一種數(shù)學(xué)教學(xué)模式，其主要目的就是讓學(xué)生在解決問題的過程中得到創(chuàng)新性思維的訓(xùn)練，在對(duì)問題的探究過程中“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)知識(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。探究性學(xué)習(xí)的主要過程是：（1）教師提供情境問題。情境問題就是教師把要研究的問題用恰當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)給學(xué)生。情境問題要切合實(shí)際，要生動(dòng)有趣，有挑戰(zhàn)性、刺激性、誘導(dǎo)性，讓學(xué)生在情境中感受信息，發(fā)現(xiàn)所要研究的問題，激發(fā)探究的欲望和行為。（2）學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)。面對(duì)問題，如果學(xué)生有征服的欲望，就會(huì)主動(dòng)地進(jìn)行觀察、分析、操作、猜想和驗(yàn)證等探究活動(dòng)，通過“感知信息——實(shí)驗(yàn)操作——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——提出猜想——證明反思”等活動(dòng)過程來完成對(duì)問題的研究。在這一過程中，教師只是活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者，不能過多干涉學(xué)生的活動(dòng)。例如講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，教師設(shè)計(jì)情景問題：“下面做一個(gè)游戲，請(qǐng)同學(xué)們寫出一道一元二次方程并解出兩個(gè)根，把兩根告訴老師，讓老師來猜出你們的方程”。教師依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系就可以很快說出原方程，學(xué)生會(huì)因此感到驚訝，就想弄清楚老師的秘密在哪里，從而調(diào)動(dòng)了學(xué)生的情緒，激發(fā)了興趣。為了揭開這個(gè)秘密，學(xué)生就要根據(jù)游戲中透出的信息：已知兩根就能確定原方程，做出猜想：兩個(gè)根可確定方程的三個(gè)系數(shù)。這就在情境中發(fā)現(xiàn)了要解決的問題。為了找出確定的規(guī)律，需要對(duì)兩根做加、減、乘、除等運(yùn)算，把運(yùn)算結(jié)果與系數(shù)對(duì)照，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，再根據(jù)這些規(guī)律猜想一個(gè)結(jié)論，即根與系數(shù)的關(guān)系的理論，再用公式法進(jìn)行驗(yàn)證，從而得到了根與系數(shù)的關(guān)系的定理。又如教師在引入“過三點(diǎn)的圓”這課時(shí)，不妨創(chuàng)設(shè)這樣的問題情境：先在黑板上畫出半塊殘缺的圓，然后提出下列問題：①有一個(gè)圓鏡被打碎，現(xiàn)欲重新配制一個(gè)同樣大小的圓鏡，要不要把所有的殘片都帶去？②這個(gè)實(shí)際問題若從數(shù)學(xué)角度去觀察分析，同學(xué)們認(rèn)為可轉(zhuǎn)化為什么問題？③要重新畫一個(gè)與原來相等的圓，必須知道什么？這樣圖文并茂的數(shù)學(xué)情境能使學(xué)生探索的欲望油然而生，促使他們集中精力，開動(dòng)腦筋，積極進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想和驗(yàn)證，嘗試尋找各種解決方法，創(chuàng)新的靈感和頓悟由此產(chǎn)生。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是一個(gè)長(zhǎng)期任務(wù)，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要積極貫徹、深刻領(lǐng)會(huì)新課標(biāo)理念，要深入鉆研教材，抓住教材的本質(zhì)，每節(jié)課都應(yīng)有創(chuàng)新教育的目標(biāo)，合理選擇并設(shè)計(jì)有益于培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的內(nèi)容和問題，逐步形成學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、主動(dòng)思維、主動(dòng)提高自身素質(zhì)的生動(dòng)活潑的局面，讓學(xué)生的創(chuàng)新思維能力在豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)中得到發(fā)展和提高。

（責(zé)任編輯：張華偉）

（五）舉一反三，培養(yǎng)發(fā)散思維的廣闊性

發(fā)散性思維要求學(xué)生在思考問題時(shí)，要將信息向各種可能的方向擴(kuò)散，并引出更多信息，使解題思路不拘泥于一個(gè)途徑，不局限于一種理解，不滿足于得到基本的結(jié)論。例如“求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形?！弊C完之后，教師可提出以下問題：

①能否再利用平行四邊形的其他判定定理進(jìn)行證明？

②順次分別連結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形和等腰梯形的四條邊的中點(diǎn)，所得的分別是什么四邊形？

③從以上的問題中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？通過以上的提問、討論，鞏固和加強(qiáng)了各種平行四邊形的性質(zhì)和判定方法，加深了對(duì)知識(shí)的理解與掌握，開闊了學(xué)生的視野，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力。

（六）一題多變，培養(yǎng)思維的多向性

把一道題目進(jìn)行變化，可產(chǎn)生多種形式的題目，讓學(xué)生在解題過程中得到直覺思維和發(fā)散思維的綜合訓(xùn)練。例如“（如圖3）AB、CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，OC=OD，E、F在AB上，且AE=BF，求證：CE=DF。”

■

變式一：將“求證：CE=DF”換成“CE與DF有何關(guān)系，并加以證明?！睂W(xué)生通過直覺思維可得結(jié)論“CE=DF，CE∥DF”。

變式二：把原題的已知條件“AE=BF”去掉，換成“要使CE=DF成立，應(yīng)再加一個(gè)什么條件？”學(xué)生通過發(fā)散思維可以找到“OE=OF或∠ACE=∠BDF等”。

變式三：把原題改為“（如圖4）AB、CD相交于點(diǎn)O，OC=OD。請(qǐng)你再加上適當(dāng)?shù)臈l件，編成與原題有不同結(jié)論的題目，并證明?！蓖ㄟ^改題編題，使學(xué)生的思維空間更大了，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

（七）錯(cuò)題辨析，培養(yǎng)思維的批判性

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要經(jīng)常設(shè)置錯(cuò)題辨析，引導(dǎo)學(xué)生批判，例如“在學(xué)習(xí)一元二次方程根的判別式時(shí)，可設(shè)計(jì)問題：已知關(guān)于x的方程2kx2+（8k+1）x+8k=0有兩不等實(shí)根，求k的取值范圍。小明解法如下：由題意Δ>0，即（8k+1）2-4×2k×8k>0，得k>-■。小明的解法對(duì)嗎？如果不對(duì)，請(qǐng)你給出正確的解答。”教學(xué)中，教師要善于打破權(quán)威意識(shí)，使學(xué)生勇于發(fā)表自己的見解，敢于指出同學(xué)、甚至老師的錯(cuò)誤，教育學(xué)生不盲從課本、不迷信權(quán)威，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力大有益處。

（八）非常規(guī)解法，培養(yǎng)思維的求異性

非常規(guī)解法是相對(duì)于常規(guī)解法而言的，即根據(jù)題目的特點(diǎn)，簡(jiǎn)捷而合理地求出問題的答案。在教學(xué)中適當(dāng)采用這種特殊的解法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是行之有效的。例如“已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b=6，ab=c2+9，求證：a=b”。此題常規(guī)證法可由韋達(dá)定理得知方程x2-6x+c2+9=0的兩根是a、b，再根據(jù)判別式可得證。但若根據(jù)題設(shè)條件可容易計(jì)算得：（a-b）2=（a+b）2-4ab=-4c2≤0，又（a-b）2≥0，故a=b。通過這類非常規(guī)解法的訓(xùn)練，可培養(yǎng)思維的求異性和獨(dú)創(chuàng)性。

三、探究性學(xué)習(xí)是基本手段

創(chuàng)新開始于探究。要發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，一定要給予學(xué)生創(chuàng)新的環(huán)境和值得研究的問題，而探究性學(xué)習(xí)就是教師為學(xué)生的創(chuàng)新活動(dòng)提供研究的問題，并指導(dǎo)學(xué)生解決問題的一種數(shù)學(xué)教學(xué)模式，其主要目的就是讓學(xué)生在解決問題的過程中得到創(chuàng)新性思維的訓(xùn)練，在對(duì)問題的探究過程中“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)知識(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。探究性學(xué)習(xí)的主要過程是：（1）教師提供情境問題。情境問題就是教師把要研究的問題用恰當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)給學(xué)生。情境問題要切合實(shí)際，要生動(dòng)有趣，有挑戰(zhàn)性、刺激性、誘導(dǎo)性，讓學(xué)生在情境中感受信息，發(fā)現(xiàn)所要研究的問題，激發(fā)探究的欲望和行為。（2）學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)。面對(duì)問題，如果學(xué)生有征服的欲望，就會(huì)主動(dòng)地進(jìn)行觀察、分析、操作、猜想和驗(yàn)證等探究活動(dòng)，通過“感知信息——實(shí)驗(yàn)操作——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——提出猜想——證明反思”等活動(dòng)過程來完成對(duì)問題的研究。在這一過程中，教師只是活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者，不能過多干涉學(xué)生的活動(dòng)。例如講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，教師設(shè)計(jì)情景問題：“下面做一個(gè)游戲，請(qǐng)同學(xué)們寫出一道一元二次方程并解出兩個(gè)根，把兩根告訴老師，讓老師來猜出你們的方程”。教師依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系就可以很快說出原方程，學(xué)生會(huì)因此感到驚訝，就想弄清楚老師的秘密在哪里，從而調(diào)動(dòng)了學(xué)生的情緒，激發(fā)了興趣。為了揭開這個(gè)秘密，學(xué)生就要根據(jù)游戲中透出的信息：已知兩根就能確定原方程，做出猜想：兩個(gè)根可確定方程的三個(gè)系數(shù)。這就在情境中發(fā)現(xiàn)了要解決的問題。為了找出確定的規(guī)律，需要對(duì)兩根做加、減、乘、除等運(yùn)算，把運(yùn)算結(jié)果與系數(shù)對(duì)照，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，再根據(jù)這些規(guī)律猜想一個(gè)結(jié)論，即根與系數(shù)的關(guān)系的理論，再用公式法進(jìn)行驗(yàn)證，從而得到了根與系數(shù)的關(guān)系的定理。又如教師在引入“過三點(diǎn)的圓”這課時(shí)，不妨創(chuàng)設(shè)這樣的問題情境：先在黑板上畫出半塊殘缺的圓，然后提出下列問題：①有一個(gè)圓鏡被打碎，現(xiàn)欲重新配制一個(gè)同樣大小的圓鏡，要不要把所有的殘片都帶去？②這個(gè)實(shí)際問題若從數(shù)學(xué)角度去觀察分析，同學(xué)們認(rèn)為可轉(zhuǎn)化為什么問題？③要重新畫一個(gè)與原來相等的圓，必須知道什么？這樣圖文并茂的數(shù)學(xué)情境能使學(xué)生探索的欲望油然而生，促使他們集中精力，開動(dòng)腦筋，積極進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想和驗(yàn)證，嘗試尋找各種解決方法，創(chuàng)新的靈感和頓悟由此產(chǎn)生。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是一個(gè)長(zhǎng)期任務(wù)，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要積極貫徹、深刻領(lǐng)會(huì)新課標(biāo)理念，要深入鉆研教材，抓住教材的本質(zhì)，每節(jié)課都應(yīng)有創(chuàng)新教育的目標(biāo)，合理選擇并設(shè)計(jì)有益于培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的內(nèi)容和問題，逐步形成學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、主動(dòng)思維、主動(dòng)提高自身素質(zhì)的生動(dòng)活潑的局面，讓學(xué)生的創(chuàng)新思維能力在豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)中得到發(fā)展和提高。

（責(zé)任編輯：張華偉）

（五）舉一反三，培養(yǎng)發(fā)散思維的廣闊性

發(fā)散性思維要求學(xué)生在思考問題時(shí)，要將信息向各種可能的方向擴(kuò)散，并引出更多信息，使解題思路不拘泥于一個(gè)途徑，不局限于一種理解，不滿足于得到基本的結(jié)論。例如“求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形。”證完之后，教師可提出以下問題：

①能否再利用平行四邊形的其他判定定理進(jìn)行證明？

②順次分別連結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形和等腰梯形的四條邊的中點(diǎn)，所得的分別是什么四邊形？

③從以上的問題中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？通過以上的提問、討論，鞏固和加強(qiáng)了各種平行四邊形的性質(zhì)和判定方法，加深了對(duì)知識(shí)的理解與掌握，開闊了學(xué)生的視野，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力。

（六）一題多變，培養(yǎng)思維的多向性

把一道題目進(jìn)行變化，可產(chǎn)生多種形式的題目，讓學(xué)生在解題過程中得到直覺思維和發(fā)散思維的綜合訓(xùn)練。例如“（如圖3）AB、CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，OC=OD，E、F在AB上，且AE=BF，求證：CE=DF?！?/p>

■

變式一：將“求證：CE=DF”換成“CE與DF有何關(guān)系，并加以證明?！睂W(xué)生通過直覺思維可得結(jié)論“CE=DF，CE∥DF”。

變式二：把原題的已知條件“AE=BF”去掉，換成“要使CE=DF成立，應(yīng)再加一個(gè)什么條件？”學(xué)生通過發(fā)散思維可以找到“OE=OF或∠ACE=∠BDF等”。

變式三：把原題改為“（如圖4）AB、CD相交于點(diǎn)O，OC=OD。請(qǐng)你再加上適當(dāng)?shù)臈l件，編成與原題有不同結(jié)論的題目，并證明?！蓖ㄟ^改題編題，使學(xué)生的思維空間更大了，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

（七）錯(cuò)題辨析，培養(yǎng)思維的批判性

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要經(jīng)常設(shè)置錯(cuò)題辨析，引導(dǎo)學(xué)生批判，例如“在學(xué)習(xí)一元二次方程根的判別式時(shí)，可設(shè)計(jì)問題：已知關(guān)于x的方程2kx2+（8k+1）x+8k=0有兩不等實(shí)根，求k的取值范圍。小明解法如下：由題意Δ>0，即（8k+1）2-4×2k×8k>0，得k>-■。小明的解法對(duì)嗎？如果不對(duì)，請(qǐng)你給出正確的解答?！苯虒W(xué)中，教師要善于打破權(quán)威意識(shí)，使學(xué)生勇于發(fā)表自己的見解，敢于指出同學(xué)、甚至老師的錯(cuò)誤，教育學(xué)生不盲從課本、不迷信權(quán)威，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力大有益處。

（八）非常規(guī)解法，培養(yǎng)思維的求異性

非常規(guī)解法是相對(duì)于常規(guī)解法而言的，即根據(jù)題目的特點(diǎn)，簡(jiǎn)捷而合理地求出問題的答案。在教學(xué)中適當(dāng)采用這種特殊的解法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是行之有效的。例如“已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b=6，ab=c2+9，求證：a=b”。此題常規(guī)證法可由韋達(dá)定理得知方程x2-6x+c2+9=0的兩根是a、b，再根據(jù)判別式可得證。但若根據(jù)題設(shè)條件可容易計(jì)算得：（a-b）2=（a+b）2-4ab=-4c2≤0，又（a-b）2≥0，故a=b。通過這類非常規(guī)解法的訓(xùn)練，可培養(yǎng)思維的求異性和獨(dú)創(chuàng)性。

三、探究性學(xué)習(xí)是基本手段

創(chuàng)新開始于探究。要發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，一定要給予學(xué)生創(chuàng)新的環(huán)境和值得研究的問題，而探究性學(xué)習(xí)就是教師為學(xué)生的創(chuàng)新活動(dòng)提供研究的問題，并指導(dǎo)學(xué)生解決問題的一種數(shù)學(xué)教學(xué)模式，其主要目的就是讓學(xué)生在解決問題的過程中得到創(chuàng)新性思維的訓(xùn)練，在對(duì)問題的探究過程中“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)知識(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。探究性學(xué)習(xí)的主要過程是：（1）教師提供情境問題。情境問題就是教師把要研究的問題用恰當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)給學(xué)生。情境問題要切合實(shí)際，要生動(dòng)有趣，有挑戰(zhàn)性、刺激性、誘導(dǎo)性，讓學(xué)生在情境中感受信息，發(fā)現(xiàn)所要研究的問題，激發(fā)探究的欲望和行為。（2）學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)。面對(duì)問題，如果學(xué)生有征服的欲望，就會(huì)主動(dòng)地進(jìn)行觀察、分析、操作、猜想和驗(yàn)證等探究活動(dòng)，通過“感知信息——實(shí)驗(yàn)操作——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——提出猜想——證明反思”等活動(dòng)過程來完成對(duì)問題的研究。在這一過程中，教師只是活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者，不能過多干涉學(xué)生的活動(dòng)。例如講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，教師設(shè)計(jì)情景問題：“下面做一個(gè)游戲，請(qǐng)同學(xué)們寫出一道一元二次方程并解出兩個(gè)根，把兩根告訴老師，讓老師來猜出你們的方程”。教師依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系就可以很快說出原方程，學(xué)生會(huì)因此感到驚訝，就想弄清楚老師的秘密在哪里，從而調(diào)動(dòng)了學(xué)生的情緒，激發(fā)了興趣。為了揭開這個(gè)秘密，學(xué)生就要根據(jù)游戲中透出的信息：已知兩根就能確定原方程，做出猜想：兩個(gè)根可確定方程的三個(gè)系數(shù)。這就在情境中發(fā)現(xiàn)了要解決的問題。為了找出確定的規(guī)律，需要對(duì)兩根做加、減、乘、除等運(yùn)算，把運(yùn)算結(jié)果與系數(shù)對(duì)照，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，再根據(jù)這些規(guī)律猜想一個(gè)結(jié)論，即根與系數(shù)的關(guān)系的理論，再用公式法進(jìn)行驗(yàn)證，從而得到了根與系數(shù)的關(guān)系的定理。又如教師在引入“過三點(diǎn)的圓”這課時(shí)，不妨創(chuàng)設(shè)這樣的問題情境：先在黑板上畫出半塊殘缺的圓，然后提出下列問題：①有一個(gè)圓鏡被打碎，現(xiàn)欲重新配制一個(gè)同樣大小的圓鏡，要不要把所有的殘片都帶去？②這個(gè)實(shí)際問題若從數(shù)學(xué)角度去觀察分析，同學(xué)們認(rèn)為可轉(zhuǎn)化為什么問題？③要重新畫一個(gè)與原來相等的圓，必須知道什么？這樣圖文并茂的數(shù)學(xué)情境能使學(xué)生探索的欲望油然而生，促使他們集中精力，開動(dòng)腦筋，積極進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想和驗(yàn)證，嘗試尋找各種解決方法，創(chuàng)新的靈感和頓悟由此產(chǎn)生。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是一個(gè)長(zhǎng)期任務(wù)，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要積極貫徹、深刻領(lǐng)會(huì)新課標(biāo)理念，要深入鉆研教材，抓住教材的本質(zhì)，每節(jié)課都應(yīng)有創(chuàng)新教育的目標(biāo)，合理選擇并設(shè)計(jì)有益于培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的內(nèi)容和問題，逐步形成學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、主動(dòng)思維、主動(dòng)提高自身素質(zhì)的生動(dòng)活潑的局面，讓學(xué)生的創(chuàng)新思維能力在豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)中得到發(fā)展和提高。

（責(zé)任編輯：張華偉）