蔣望雷

一、教學(xué)內(nèi)容

人教版小學(xué)六年級上冊數(shù)學(xué)廣角“雞兔同籠”。

“雞兔同籠”作為一種經(jīng)典名題，在教材中，不少版本都有編排。比如，北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學(xué)生學(xué)會表格列舉；蘇教版六年級上冊將之作為一道練習(xí)題來鞏固“假設(shè)和替換”的策略；而人教版則是濃墨重彩，在六年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”中用6個頁碼詳細介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實際應(yīng)用。除此之外，還有名師在二年級用“畫圖法”、在六年級用“二元一次方程組”來生動地演繹它。《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》編輯部陳洪杰，特級教師朱樂平、俞正強等都對此進行課堂演繹或評析。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.了解“雞兔同籠”問題，嘗試用不同方法解決“雞兔同籠”問題，體會各種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會假設(shè)法與代數(shù)法的一般性。（溝通方法之間的聯(lián)系）

2.溝通“雞兔同籠”與同類問題的聯(lián)系，經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用。（溝通問題之間的聯(lián)系）

3.在學(xué)習(xí)的過程中滲透有序思考、推理、模型等數(shù)學(xué)的基本思想和方法。

4.感受數(shù)學(xué)文化，感受古代數(shù)學(xué)問題和經(jīng)典解法的趣味性。

三、教學(xué)重點

讓學(xué)生經(jīng)歷用不同的方法解決“雞兔同籠”問題，體會其中的內(nèi)在聯(lián)系和所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。

四、教學(xué)難點

理解假設(shè)法中各步的算理。

五、教學(xué)設(shè)計

1.課前談話：同學(xué)們，猜猜我有幾歲？（盲目猜、調(diào)整猜、折中猜）

2.獨立嘗試，全班交流。（溝通方法之間的聯(lián)系）

出示例題：（雞兔同籠的同類問題）全班38人去公園劃船，一共租了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，問大船和小船各租了幾只？

題中有哪些條件？這個問題你會解決嗎？請把過程寫下來。

預(yù)設(shè)學(xué)生三種解題思路：猜測調(diào)整、假設(shè)法、方程法。

【設(shè)計意圖】如果直接出示耳熟能詳?shù)碾u兔同籠，學(xué)生們可能會直接用假設(shè)法或方程法這些簡便的方法，而不用列表法猜測、調(diào)整，這種簡便是數(shù)學(xué)的，而不是教育的。所以，我打算從雞兔同籠這類問題出發(fā)，同時關(guān)注一個素材的知識價值和教育價值，讓學(xué)生體會方法間的內(nèi)在聯(lián)系。也回答了“為什么有更好的方法教，為什么還要回歸‘原始”這個問題。

全班交流：從猜測調(diào)整例子著手——列表法（有序猜測、折中猜測、跳躍猜測）你是亂猜出來的嗎？你是怎么調(diào)整的？如果要把所有可能都清楚記錄下來，該怎么辦？（列表）看出什么規(guī)律了嗎？這種方法有什么好處？板書：列表法。

【設(shè)計意圖】進一步培養(yǎng)有序思考的習(xí)慣，滲透假設(shè)法的體驗，發(fā)現(xiàn)一一列舉、折半列舉、假設(shè)列舉等思考方法。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)船的總量一定，大小船只數(shù)的變化與人數(shù)變化的關(guān)系，滲透函數(shù)的思想和逼近的思想。這一環(huán)節(jié)落實得好，學(xué)生對列表法的形成過程就有了一個體驗，沒有對此過程的體驗，學(xué)生甚至根本不承認(rèn)列表法是一種解題策略。

引出假設(shè)法。

有可能是0和8，或8和0嗎？有人就是這么猜的，你信嗎？（表格中補充）

假設(shè)法，請同學(xué)講，或教師引導(dǎo)。（投影出示學(xué)生過程或板書）

我們把這種方法叫作假設(shè)法。板書：假設(shè)法。

【設(shè)計意圖】溝通列表法與假設(shè)法的聯(lián)系，滲透極端的范圍以及在一定的范圍內(nèi)思考的習(xí)慣。并且體會假設(shè)法的簡潔性。

方程法。

還有人猜大船有X只的呢？小船應(yīng)該怎樣表示呢？你能想到別的方法嗎？（在表格中）

介紹方程法（結(jié)合實際情況，如學(xué)生有，則剛好利用，如沒有，則教師出示，重點講列方程的依據(jù)是什么？）板書或投影。

這三種方法有什么相同的地方嗎？板書：方程法。

【設(shè)計意圖】溝通這三種方法的聯(lián)系，讓學(xué)生分析這些方法所共同具有的假設(shè)思想。把假設(shè)的思想方法作為解決雞兔同籠問題所有方法中最為基本的解題思想，抓住了解題思路上的核心。

3.體驗結(jié)構(gòu)，初步建模。（溝通問題之間的聯(lián)系）

看來看似不同的解決方法也有相聯(lián)系的地方，下面這題你會解決嗎？

出示：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94條腿。問雞和兔各有幾只？

這問題你聽說過嗎？這可是剛才這幾個問題的“老祖宗”，介紹出處（孫子算經(jīng)）。

板書：雞兔同籠。

這題題目有哪些條件？（顯性的條件和隱性的條件）

和上面的問題有相似之處嗎？交流，找到一一對應(yīng)。

【設(shè)計意圖】在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，把雞兔同籠與前面出示變式的問題聯(lián)系起來，讓學(xué)生去理解，識別模型，從而達到同化的作用。經(jīng)過提煉，讓學(xué)生更進一步明確雞兔同籠問題的結(jié)構(gòu)，模型。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，這樣的過程會使學(xué)生感受到模型的力量。

你想聽聽古人以及數(shù)學(xué)家是怎么解答這題的嗎？——介紹抬腿法、翅膀作腳法、自學(xué)金雞獨立法。

【設(shè)計意圖】再次溝通方法之間的聯(lián)系，抬腿法對應(yīng)著假設(shè)全是雞，翅膀作腳法對應(yīng)著假設(shè)全是兔等，既讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化，又體會到數(shù)學(xué)的趣味性。

出示：明明從超市買來鮮牛奶和酸牛奶共40袋，鮮牛奶每袋4元，酸牛奶每袋2元，一共付出112元，問鮮牛奶和酸牛奶各買了多少袋？

這里還有雞和兔嗎？

【設(shè)計意圖】由“變式題—原型題—變式題”的過渡，再次構(gòu)建模型引導(dǎo)學(xué)生通過假設(shè)法和方程法解決這一問題，并體會這兩種方法的一般性，進一步鞏固假設(shè)法和方程法。（投影）

為什么只需把“雞兔同籠”寫入《孫子算經(jīng)》就可以了？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生進一步感受許多問題都可以看成“有不同只腳的雞與兔”的雞兔同籠問題模型。這樣的拓展過程，無疑是進一步抽象的過程，是對模型進一步深刻理解的過程，也是進一步數(shù)學(xué)化的過程。

4.對于今天學(xué)的雞兔同籠問題，你有什么想說的？

對著板書說：我們在解決問題時往往會發(fā)現(xiàn)，其實有些問題都有共同的特征（板書：問題），我們把它歸為一類，并在我們的頭腦中上升為一種模型，然后我們還能找到適合解決這類問題的多種方法，并學(xué)會舉一反三，那么你必將會走向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自由王國。

板書：

（作者單位：浙江諸暨市暨陽街道新世紀(jì)小學(xué)）endprint

一、教學(xué)內(nèi)容

人教版小學(xué)六年級上冊數(shù)學(xué)廣角“雞兔同籠”。

“雞兔同籠”作為一種經(jīng)典名題，在教材中，不少版本都有編排。比如，北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學(xué)生學(xué)會表格列舉；蘇教版六年級上冊將之作為一道練習(xí)題來鞏固“假設(shè)和替換”的策略；而人教版則是濃墨重彩，在六年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”中用6個頁碼詳細介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實際應(yīng)用。除此之外，還有名師在二年級用“畫圖法”、在六年級用“二元一次方程組”來生動地演繹它?！缎W(xué)數(shù)學(xué)教師》編輯部陳洪杰，特級教師朱樂平、俞正強等都對此進行課堂演繹或評析。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.了解“雞兔同籠”問題，嘗試用不同方法解決“雞兔同籠”問題，體會各種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會假設(shè)法與代數(shù)法的一般性。（溝通方法之間的聯(lián)系）

2.溝通“雞兔同籠”與同類問題的聯(lián)系，經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用。（溝通問題之間的聯(lián)系）

3.在學(xué)習(xí)的過程中滲透有序思考、推理、模型等數(shù)學(xué)的基本思想和方法。

4.感受數(shù)學(xué)文化，感受古代數(shù)學(xué)問題和經(jīng)典解法的趣味性。

三、教學(xué)重點

讓學(xué)生經(jīng)歷用不同的方法解決“雞兔同籠”問題，體會其中的內(nèi)在聯(lián)系和所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。

四、教學(xué)難點

理解假設(shè)法中各步的算理。

五、教學(xué)設(shè)計

1.課前談話：同學(xué)們，猜猜我有幾歲？（盲目猜、調(diào)整猜、折中猜）

2.獨立嘗試，全班交流。（溝通方法之間的聯(lián)系）

出示例題：（雞兔同籠的同類問題）全班38人去公園劃船，一共租了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，問大船和小船各租了幾只？

題中有哪些條件？這個問題你會解決嗎？請把過程寫下來。

預(yù)設(shè)學(xué)生三種解題思路：猜測調(diào)整、假設(shè)法、方程法。

【設(shè)計意圖】如果直接出示耳熟能詳?shù)碾u兔同籠，學(xué)生們可能會直接用假設(shè)法或方程法這些簡便的方法，而不用列表法猜測、調(diào)整，這種簡便是數(shù)學(xué)的，而不是教育的。所以，我打算從雞兔同籠這類問題出發(fā)，同時關(guān)注一個素材的知識價值和教育價值，讓學(xué)生體會方法間的內(nèi)在聯(lián)系。也回答了“為什么有更好的方法教，為什么還要回歸‘原始”這個問題。

全班交流：從猜測調(diào)整例子著手——列表法（有序猜測、折中猜測、跳躍猜測）你是亂猜出來的嗎？你是怎么調(diào)整的？如果要把所有可能都清楚記錄下來，該怎么辦？（列表）看出什么規(guī)律了嗎？這種方法有什么好處？板書：列表法。

【設(shè)計意圖】進一步培養(yǎng)有序思考的習(xí)慣，滲透假設(shè)法的體驗，發(fā)現(xiàn)一一列舉、折半列舉、假設(shè)列舉等思考方法。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)船的總量一定，大小船只數(shù)的變化與人數(shù)變化的關(guān)系，滲透函數(shù)的思想和逼近的思想。這一環(huán)節(jié)落實得好，學(xué)生對列表法的形成過程就有了一個體驗，沒有對此過程的體驗，學(xué)生甚至根本不承認(rèn)列表法是一種解題策略。

引出假設(shè)法。

有可能是0和8，或8和0嗎？有人就是這么猜的，你信嗎？（表格中補充）

假設(shè)法，請同學(xué)講，或教師引導(dǎo)。（投影出示學(xué)生過程或板書）

我們把這種方法叫作假設(shè)法。板書：假設(shè)法。

【設(shè)計意圖】溝通列表法與假設(shè)法的聯(lián)系，滲透極端的范圍以及在一定的范圍內(nèi)思考的習(xí)慣。并且體會假設(shè)法的簡潔性。

方程法。

還有人猜大船有X只的呢？小船應(yīng)該怎樣表示呢？你能想到別的方法嗎？（在表格中）

介紹方程法（結(jié)合實際情況，如學(xué)生有，則剛好利用，如沒有，則教師出示，重點講列方程的依據(jù)是什么？）板書或投影。

這三種方法有什么相同的地方嗎？板書：方程法。

【設(shè)計意圖】溝通這三種方法的聯(lián)系，讓學(xué)生分析這些方法所共同具有的假設(shè)思想。把假設(shè)的思想方法作為解決雞兔同籠問題所有方法中最為基本的解題思想，抓住了解題思路上的核心。

3.體驗結(jié)構(gòu)，初步建模。（溝通問題之間的聯(lián)系）

看來看似不同的解決方法也有相聯(lián)系的地方，下面這題你會解決嗎？

出示：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94條腿。問雞和兔各有幾只？

這問題你聽說過嗎？這可是剛才這幾個問題的“老祖宗”，介紹出處（孫子算經(jīng)）。

板書：雞兔同籠。

這題題目有哪些條件？（顯性的條件和隱性的條件）

和上面的問題有相似之處嗎？交流，找到一一對應(yīng)。

【設(shè)計意圖】在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，把雞兔同籠與前面出示變式的問題聯(lián)系起來，讓學(xué)生去理解，識別模型，從而達到同化的作用。經(jīng)過提煉，讓學(xué)生更進一步明確雞兔同籠問題的結(jié)構(gòu)，模型。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，這樣的過程會使學(xué)生感受到模型的力量。

你想聽聽古人以及數(shù)學(xué)家是怎么解答這題的嗎？——介紹抬腿法、翅膀作腳法、自學(xué)金雞獨立法。

【設(shè)計意圖】再次溝通方法之間的聯(lián)系，抬腿法對應(yīng)著假設(shè)全是雞，翅膀作腳法對應(yīng)著假設(shè)全是兔等，既讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化，又體會到數(shù)學(xué)的趣味性。

出示：明明從超市買來鮮牛奶和酸牛奶共40袋，鮮牛奶每袋4元，酸牛奶每袋2元，一共付出112元，問鮮牛奶和酸牛奶各買了多少袋？

這里還有雞和兔嗎？

【設(shè)計意圖】由“變式題—原型題—變式題”的過渡，再次構(gòu)建模型引導(dǎo)學(xué)生通過假設(shè)法和方程法解決這一問題，并體會這兩種方法的一般性，進一步鞏固假設(shè)法和方程法。（投影）

為什么只需把“雞兔同籠”寫入《孫子算經(jīng)》就可以了？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生進一步感受許多問題都可以看成“有不同只腳的雞與兔”的雞兔同籠問題模型。這樣的拓展過程，無疑是進一步抽象的過程，是對模型進一步深刻理解的過程，也是進一步數(shù)學(xué)化的過程。

4.對于今天學(xué)的雞兔同籠問題，你有什么想說的？

對著板書說：我們在解決問題時往往會發(fā)現(xiàn)，其實有些問題都有共同的特征（板書：問題），我們把它歸為一類，并在我們的頭腦中上升為一種模型，然后我們還能找到適合解決這類問題的多種方法，并學(xué)會舉一反三，那么你必將會走向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自由王國。

板書：

（作者單位：浙江諸暨市暨陽街道新世紀(jì)小學(xué)）endprint

一、教學(xué)內(nèi)容

人教版小學(xué)六年級上冊數(shù)學(xué)廣角“雞兔同籠”。

“雞兔同籠”作為一種經(jīng)典名題，在教材中，不少版本都有編排。比如，北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學(xué)生學(xué)會表格列舉；蘇教版六年級上冊將之作為一道練習(xí)題來鞏固“假設(shè)和替換”的策略；而人教版則是濃墨重彩，在六年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”中用6個頁碼詳細介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實際應(yīng)用。除此之外，還有名師在二年級用“畫圖法”、在六年級用“二元一次方程組”來生動地演繹它?！缎W(xué)數(shù)學(xué)教師》編輯部陳洪杰，特級教師朱樂平、俞正強等都對此進行課堂演繹或評析。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.了解“雞兔同籠”問題，嘗試用不同方法解決“雞兔同籠”問題，體會各種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會假設(shè)法與代數(shù)法的一般性。（溝通方法之間的聯(lián)系）

2.溝通“雞兔同籠”與同類問題的聯(lián)系，經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用。（溝通問題之間的聯(lián)系）

3.在學(xué)習(xí)的過程中滲透有序思考、推理、模型等數(shù)學(xué)的基本思想和方法。

4.感受數(shù)學(xué)文化，感受古代數(shù)學(xué)問題和經(jīng)典解法的趣味性。

三、教學(xué)重點

讓學(xué)生經(jīng)歷用不同的方法解決“雞兔同籠”問題，體會其中的內(nèi)在聯(lián)系和所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。

四、教學(xué)難點

理解假設(shè)法中各步的算理。

五、教學(xué)設(shè)計

1.課前談話：同學(xué)們，猜猜我有幾歲？（盲目猜、調(diào)整猜、折中猜）

2.獨立嘗試，全班交流。（溝通方法之間的聯(lián)系）

出示例題：（雞兔同籠的同類問題）全班38人去公園劃船，一共租了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，問大船和小船各租了幾只？

題中有哪些條件？這個問題你會解決嗎？請把過程寫下來。

預(yù)設(shè)學(xué)生三種解題思路：猜測調(diào)整、假設(shè)法、方程法。

【設(shè)計意圖】如果直接出示耳熟能詳?shù)碾u兔同籠，學(xué)生們可能會直接用假設(shè)法或方程法這些簡便的方法，而不用列表法猜測、調(diào)整，這種簡便是數(shù)學(xué)的，而不是教育的。所以，我打算從雞兔同籠這類問題出發(fā)，同時關(guān)注一個素材的知識價值和教育價值，讓學(xué)生體會方法間的內(nèi)在聯(lián)系。也回答了“為什么有更好的方法教，為什么還要回歸‘原始”這個問題。

全班交流：從猜測調(diào)整例子著手——列表法（有序猜測、折中猜測、跳躍猜測）你是亂猜出來的嗎？你是怎么調(diào)整的？如果要把所有可能都清楚記錄下來，該怎么辦？（列表）看出什么規(guī)律了嗎？這種方法有什么好處？板書：列表法。

【設(shè)計意圖】進一步培養(yǎng)有序思考的習(xí)慣，滲透假設(shè)法的體驗，發(fā)現(xiàn)一一列舉、折半列舉、假設(shè)列舉等思考方法。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)船的總量一定，大小船只數(shù)的變化與人數(shù)變化的關(guān)系，滲透函數(shù)的思想和逼近的思想。這一環(huán)節(jié)落實得好，學(xué)生對列表法的形成過程就有了一個體驗，沒有對此過程的體驗，學(xué)生甚至根本不承認(rèn)列表法是一種解題策略。

引出假設(shè)法。

有可能是0和8，或8和0嗎？有人就是這么猜的，你信嗎？（表格中補充）

假設(shè)法，請同學(xué)講，或教師引導(dǎo)。（投影出示學(xué)生過程或板書）

我們把這種方法叫作假設(shè)法。板書：假設(shè)法。

【設(shè)計意圖】溝通列表法與假設(shè)法的聯(lián)系，滲透極端的范圍以及在一定的范圍內(nèi)思考的習(xí)慣。并且體會假設(shè)法的簡潔性。

方程法。

還有人猜大船有X只的呢？小船應(yīng)該怎樣表示呢？你能想到別的方法嗎？（在表格中）

介紹方程法（結(jié)合實際情況，如學(xué)生有，則剛好利用，如沒有，則教師出示，重點講列方程的依據(jù)是什么？）板書或投影。

這三種方法有什么相同的地方嗎？板書：方程法。

【設(shè)計意圖】溝通這三種方法的聯(lián)系，讓學(xué)生分析這些方法所共同具有的假設(shè)思想。把假設(shè)的思想方法作為解決雞兔同籠問題所有方法中最為基本的解題思想，抓住了解題思路上的核心。

3.體驗結(jié)構(gòu)，初步建模。（溝通問題之間的聯(lián)系）

看來看似不同的解決方法也有相聯(lián)系的地方，下面這題你會解決嗎？

出示：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94條腿。問雞和兔各有幾只？

這問題你聽說過嗎？這可是剛才這幾個問題的“老祖宗”，介紹出處（孫子算經(jīng)）。

板書：雞兔同籠。

這題題目有哪些條件？（顯性的條件和隱性的條件）

和上面的問題有相似之處嗎？交流，找到一一對應(yīng)。

【設(shè)計意圖】在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，把雞兔同籠與前面出示變式的問題聯(lián)系起來，讓學(xué)生去理解，識別模型，從而達到同化的作用。經(jīng)過提煉，讓學(xué)生更進一步明確雞兔同籠問題的結(jié)構(gòu)，模型。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，這樣的過程會使學(xué)生感受到模型的力量。

你想聽聽古人以及數(shù)學(xué)家是怎么解答這題的嗎？——介紹抬腿法、翅膀作腳法、自學(xué)金雞獨立法。

【設(shè)計意圖】再次溝通方法之間的聯(lián)系，抬腿法對應(yīng)著假設(shè)全是雞，翅膀作腳法對應(yīng)著假設(shè)全是兔等，既讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化，又體會到數(shù)學(xué)的趣味性。

出示：明明從超市買來鮮牛奶和酸牛奶共40袋，鮮牛奶每袋4元，酸牛奶每袋2元，一共付出112元，問鮮牛奶和酸牛奶各買了多少袋？

這里還有雞和兔嗎？

【設(shè)計意圖】由“變式題—原型題—變式題”的過渡，再次構(gòu)建模型引導(dǎo)學(xué)生通過假設(shè)法和方程法解決這一問題，并體會這兩種方法的一般性，進一步鞏固假設(shè)法和方程法。（投影）

為什么只需把“雞兔同籠”寫入《孫子算經(jīng)》就可以了？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生進一步感受許多問題都可以看成“有不同只腳的雞與兔”的雞兔同籠問題模型。這樣的拓展過程，無疑是進一步抽象的過程，是對模型進一步深刻理解的過程，也是進一步數(shù)學(xué)化的過程。

4.對于今天學(xué)的雞兔同籠問題，你有什么想說的？

對著板書說：我們在解決問題時往往會發(fā)現(xiàn)，其實有些問題都有共同的特征（板書：問題），我們把它歸為一類，并在我們的頭腦中上升為一種模型，然后我們還能找到適合解決這類問題的多種方法，并學(xué)會舉一反三，那么你必將會走向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自由王國。

板書：

（作者單位：浙江諸暨市暨陽街道新世紀(jì)小學(xué)）endprint