郭小農(nóng)，熊 哲，羅永峰，徐 晗

（1.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092；2.中天建設(shè)集團(tuán)浙江鋼構(gòu)有限公司，浙江杭州310008）

鋁合金板式節(jié)點是鋁合金單層網(wǎng)殼主要節(jié)點形式之一［1］.我國《空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》（JGJ7---2010）［2］規(guī)定，在進(jìn)行空間結(jié)構(gòu)的分析和設(shè)計時應(yīng)將節(jié)點簡化為鉸接或者剛接.然而，研究表明鋁合金板式節(jié)點具有半剛性特征，其半剛性性能對結(jié)構(gòu)承載力有重大的影響［3］.曾銀枝等［4］通過鋁合金單層網(wǎng)殼試驗研究和數(shù)值模擬指出需考慮節(jié)點的半剛性來提高計算精度.鄒磊［5］對鋁合金板式節(jié)點進(jìn)行數(shù)值模擬，指出鋁合金板式節(jié)點是一種典型的半剛性節(jié)點.張竟樂等［6］對鋁合金板式節(jié)點的初始軸向剛度和彎曲剛度進(jìn)行分析，提出節(jié)點剛度計算公式.然而，目前對鋁合金板式節(jié)點的研究不夠深入，大部分研究僅局限于數(shù)值模擬，剛度計算公式缺乏明確的物理意義，更缺乏試驗數(shù)據(jù)支持，因此有必要對鋁合金板式節(jié)點剛度進(jìn)行深入研究，為鋁合金板式節(jié)點的設(shè)計提供參考.

本文在鋁合金板式節(jié)點的抗彎性能試驗研究［7］的基礎(chǔ)上對鋁合金板式節(jié)點的變形機(jī)理進(jìn)行分析，提出節(jié)點初始彎曲剛度的理論公式；建立有限元模型，并與試驗結(jié)果進(jìn)行比較，驗證有限元模型的可靠性；以節(jié)點板厚度、桿件截面高度、螺栓數(shù)量及節(jié)點板半徑為參數(shù)對鋁合金板式節(jié)點初始彎曲剛度進(jìn)行分析；最后將理論結(jié)果與試驗結(jié)果和有限元結(jié)果進(jìn)行比較，驗證理論公式的合理性.

1 節(jié)點平面外初始彎曲剛度理論分析

1.1 節(jié)點平面外受彎變形機(jī)理

節(jié)點在桿端平面外彎矩作用下的變形可以分解為3個分量，即節(jié)點板中心區(qū)域（見圖1，圖中d為圓板直徑）變形、節(jié)點板與桿件之間的相對錯動變形以及桿件自身變形，如圖2所示，圖中My為桿端彎矩，h為桿件的截面高度，Rc為桿件端部至節(jié)點板中心距離，R為圓板半徑，φ1為節(jié)點板中心區(qū)邊緣截面變形引起的轉(zhuǎn)角，φ2為節(jié)點板與桿件之間的相對錯動變形引起的轉(zhuǎn)角.

圖1 節(jié)點板分區(qū)Fig.1 Division of the plate

圖2 受彎板式節(jié)點的局部變形Fig.2 Local deformation of the gusset joint subjected to bending moment

記由節(jié)點板中心區(qū)域變形產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動剛度分量為K1，由節(jié)點板與桿件錯動變形產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動剛度分量為K2，由桿件自身變形產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動剛度分量為K3，則節(jié)點板邊緣相對于節(jié)點中心的相對轉(zhuǎn)動剛度K可表示為

1.2 轉(zhuǎn)動剛度分量K1的確定

節(jié)點板中心區(qū)邊緣截面的相對變形δ1如圖3所示，可近似由式（2）計算.

式中：ε1為節(jié)點板中心區(qū)沿節(jié)點板徑向的等效應(yīng)變；Q為由彎矩引起的節(jié)點板螺栓群剪力，可按式（3）計算；α1Rct為節(jié)點板承受薄膜力的等效截面積，α1為等效截面系數(shù)，可根據(jù)數(shù)值分析結(jié)果擬合得到，t為節(jié)點板厚度，Ep為節(jié)點板的彈性模量.節(jié)點板中心受到的螺栓群剪力如圖4所示.

圖3 節(jié)點板中心域變形Fig.3 Deformation of the plates at the central area

圖4 節(jié)點板受剪Fig.4 Plate subjected to shear

結(jié)合式（2）和式（3）得到因節(jié)點板中心區(qū)變形引起桿端局部轉(zhuǎn)動的剛度分量表達(dá)式如下：

1.3 轉(zhuǎn)動剛度分量K2的確定

桿件翼緣與節(jié)點板在加載初期通過靜摩擦傳力的同時也會因接觸面的切向擠壓變形發(fā)生很小的錯動位移，可以通過定義接觸面的切向剛度S來描述其靜摩擦力下的變形性能，即

式中：f為接觸面的靜摩擦力；δ2為靜摩擦力引起的摩擦面的相對滑移，如圖5所示.

圖5 節(jié)點板與桿件錯動變形Fig.5 Relative displacement between the plate and the member

根據(jù)摩擦學(xué)基本理論［8］，摩擦面的切向剛度和接觸面積以及摩擦系數(shù)成正比，和板總厚成反比.根據(jù)板式節(jié)點的具體構(gòu)造，還可以假定摩擦面的切向剛度近似和連接螺栓的數(shù)量以及接觸面板的等效彈性模量成正比.則δ2可以寫為

式中：tf為板的總厚度；α2為待定系數(shù)，與接觸物體的材質(zhì)及表面法向力有關(guān)，可以根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果回歸得到；Ee為等效彈性模量，取摩擦面板彈性模量的平均值；n為螺栓數(shù)量；μ為摩擦系數(shù)；Ac為桿件和節(jié)點板的接觸面積，如圖6所示.

圖6 節(jié)點板幾何參數(shù)Fig.6 Configurations of the plate

結(jié)合式（3）和式（6），可以得到剛度分量K2的計算公式為

1.4 轉(zhuǎn)動剛度分量K3的確定

節(jié)點體范圍內(nèi)桿件的自身變形如圖7所示，圖中φ3為桿件自身變形引起的轉(zhuǎn)角.桿件變形剛度可近似按受彎梁計算，桿件在節(jié)點板邊緣相對于節(jié)點中心的轉(zhuǎn)動剛度可近似按式（8）估算.

式中：α3為由于彎矩變化引起的剛度修正系數(shù)，可以根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果回歸得到；Eb為桿件彈性模量；I為桿件截面慣性矩；R－Rc為節(jié)點區(qū)內(nèi)桿件長度，如圖7所示.

圖7 桿件自身彎曲變形Fig.7 Bending deformation of the member

分別根據(jù)式（4）、式（7）、式（8）可以求得3個剛度分量，然后代入式（1）即可得到總的節(jié)點面外抗彎剛度，如式（9）所示.式中的3個待定系數(shù)α1，α2，α3通過數(shù)值模擬的計算結(jié)果擬合回歸得到.

2 節(jié)點彎矩－轉(zhuǎn)角試驗

在文獻(xiàn)［7］進(jìn)行的14個鋁合金板式節(jié)點試驗研究的基礎(chǔ)上，對鋁合金板式節(jié)點的抗彎性能進(jìn)行分析.圖8a為六桿加載厚板（t≥5mm）節(jié)點試件的彎矩－轉(zhuǎn)角曲線，圖8b為六桿加載薄板（t≤3mm）節(jié)點試件的彎矩－轉(zhuǎn)角曲線.根據(jù)試驗實測的彎矩－轉(zhuǎn)角曲線，采用最小二乘法可以擬合出六桿加載節(jié)點試件的初始彎曲剛度如表1所示.

結(jié)合圖8和表1可得出，板式節(jié)點的初始抗彎剛度隨著節(jié)點板厚度的增加而增大.對于厚板試件，板厚由5mm變?yōu)?mm，其初始抗彎剛度增加12.7%；對于薄板試件，板厚由2.25mm變?yōu)?.70 mm，其初始抗彎剛度增加15.7%.

3 鋁合金板式節(jié)點數(shù)值模擬

3.1 有限元模型

采用ABAQUS／Standard軟件建立考慮螺栓孔隙影響的鋁合金板式節(jié)點有限元模型，用于計算板式節(jié)點的初始抗彎剛度.建模時進(jìn)行如下簡化：①僅對節(jié)點體區(qū)域進(jìn)行模擬，并考慮對稱性，對半邊節(jié)點體進(jìn)行模擬；②不考慮螺紋及墊片的影響；③所有螺栓的預(yù)緊力均相等；④考慮螺栓與孔壁間的孔隙，以便準(zhǔn)確模擬加載初期螺栓的嵌固和板件的摩擦（圖9）.

圖8 六桿加載節(jié)點試件的彎矩－轉(zhuǎn)角曲線Fig.8 Bending moment－rotation curves of the specimens with six loaded members

表1 初始剛度的試驗結(jié)果Tab.1 Experimental results for the initial bending stiffness

有限元模型中所有部件均采用線性減縮積分單元C3D8R模擬，網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖10所示.模型中各部件的相互聯(lián)系通過接觸對來模擬.在定義接觸對時，采用如下假定：①由于螺桿與孔壁的錯動很小，故不考慮摩擦，其余接觸面均考慮摩擦；②螺栓與板件的接觸均以螺栓表面為主面；節(jié)點板與桿件翼緣的接觸均以較厚板件表面為主面；③適當(dāng)劃分板件表面并從中選定接觸面，以避免接觸對涵蓋過多單元而增加計算量.荷載和桿端約束均施加在桿端截面中心的參考點上，并耦合參考點與其所在截面的平動自由度，以便在桿端施加軸力和彎矩.

圖9 螺栓孔隙示意Fig.9 Aperture gap

圖10 節(jié)點有限元模型單元劃分Fig.10 Mesh configuration of the finite element model

鋁合金型材和板材本構(gòu)關(guān)系均采用Ramberg－Osgood模型及SteinHardt建議［9］，型材和板件的具體參數(shù)詳見文獻(xiàn)［7］；不銹鋼螺栓的本構(gòu)關(guān)系采用雙折線模型，彈性模量取2.06×105MPa，根據(jù)文獻(xiàn)［10］中螺栓拉伸試驗結(jié)果，螺栓的抗拉強(qiáng)度fu取725MPa，名義屈服強(qiáng)度f0.2取470MPa.

3.2 數(shù)值模型的試驗驗證

為了驗算有限元模型的正確性，對文獻(xiàn)［7］中試件A1和A2進(jìn)行了數(shù)值模擬，并將數(shù)值計算結(jié)果和試驗結(jié)果進(jìn)行了對比.

圖11給出了試件A1和A2彎矩－轉(zhuǎn)角曲線的實測值和數(shù)值分析結(jié)果的比較：A1試件初始剛度的數(shù)值結(jié)果為367kN·m·rad－1，試驗結(jié)果為441 kN·m·rad－1；A2試件初始剛度的數(shù)值結(jié)果為366 kN·m·rad－1，試驗結(jié)果為385kN·m·rad－1.從圖11可以看出：數(shù)值模型的初始剛度與試驗結(jié)果吻合較好，特別是A2試件，其初始剛度的數(shù)值結(jié)果和試驗結(jié)果僅相差5.0%，說明本文的數(shù)值計算模型能夠有效地模擬鋁合金板式節(jié)點的初始剛度.

圖11 A1和A2試件的彎矩－轉(zhuǎn)角曲線Fig.11 Bending moment－rotation curves of specimens A1and A2

4 結(jié)果比較

4.1 理論公式系數(shù)的確定

以t，h，n及R為變化參數(shù)建立4個系列共計14個鋁合金板式節(jié)點有限元模型，各模型幾何參數(shù)見表2.表3給出了各剛度分類以及總剛度的數(shù)值.

表2 各模型幾何參數(shù)Tab.2 Configurations of the models mm

表3 初始剛度及其分量的數(shù)值模擬結(jié)果Tab.3 Numerical results for initial bending stiffness kN·m

根據(jù)表3中各剛度分量的數(shù)值分析結(jié)果，分別對系數(shù)α1，α2，α3采用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，得到α1＝1.52，α2＝0.000 35，α3＝1.14.則式（9）可寫成

4.2 理論公式與數(shù)值模擬結(jié)果的比較

由理論公式和數(shù)值模擬求得的K如表4所示，表中β1為誤差，為數(shù)值模擬值與式（10）計算值之差的絕對值除以數(shù)值模擬值.由表4中數(shù)據(jù)可知，誤差的平均值為3.2%，表明提出的初始剛度估算公式的準(zhǔn)確性較好.

表4 初始剛度的計算值與數(shù)值模擬結(jié)果比較Tab.4 Comparison between theoretical and numerical results for the bending stiffness

4.3 理論公式與試驗結(jié)果的比較

由理論公式和試驗求得的K值如表5所示，β2為試驗值與式（10）計算值之差除以試驗值.從表5可以看出，理論公式求得結(jié)果普遍小于試驗結(jié)果，并且誤差的平均值為9.5%，說明提出的初始剛度估算公式具有一定的準(zhǔn)確性，并且其結(jié)果能夠作為節(jié)點初始剛度的下限.節(jié)點桿件間整體性比較好的試件（A1和A2）初始剛度的平均誤差在10.4%左右，節(jié)點整體性比較差的試件（A4和A5）初始剛度的平均誤差在8.8%左右.造成此現(xiàn)象的主要原因在于，在推導(dǎo)理論公式的過程中忽略了桿件間的相互作用.

表5 初始剛度的計算值與試驗結(jié)果比較Tab.5 Comparison between the theoretical and experimental results for the bending stiffness

5 結(jié)論和展望

從試驗、數(shù)值模擬和理論推導(dǎo)3個方面對鋁合金板式節(jié)點的節(jié)點剛度進(jìn)行了研究，其主要結(jié)論如下：

（1）對鋁合金板式節(jié)點的平面外變形機(jī)理進(jìn)行分析，節(jié)點變形由節(jié)點板中心區(qū)域變形、節(jié)點板與桿件錯動以及桿件自身變形三部分組成.

（2）推導(dǎo)出節(jié)點平面外初始彎曲剛度式（10），該式物理意義明確，與數(shù)值結(jié)果和試驗結(jié)果吻合較好.

（3）在文獻(xiàn)［7］的基礎(chǔ)上，對六桿加載的節(jié)點試件的抗彎性能進(jìn)行分析，得到節(jié)點試件的試驗彎矩－轉(zhuǎn)角曲線及其初始剛度.結(jié)果表明板式節(jié)點的初始抗彎剛度和其抗彎承載力隨著節(jié)點板厚度的增加而增大.當(dāng)節(jié)點板較厚時，節(jié)點整體性能較好，增加抗剪鍵對節(jié)點的初始抗彎剛度影響不大；當(dāng)節(jié)點板較薄時，增加C類抗剪鍵明顯改善了節(jié)點的整體性能，提高了節(jié)點的抗彎能力.

（4）式（10）的計算結(jié)果分別與數(shù)值分析結(jié)果和試驗結(jié)果相比，平均誤差分別為3.2%和9.6%，驗證式（10）的合理性.

鋁合金板式節(jié)點的節(jié)點剛度還受到桿件間的相互作用、抗剪鍵、全過程的非線性剛度等諸多因素的影響，這些都有待進(jìn)一步研究.

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