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中心復合設計最優(yōu)條件選取時四種方法的比較*

馮瑞梅1王 婷1戴 帥1陳 益2仇麗霞1△

目的比較三種傳統(tǒng)優(yōu)化方法和遺傳算法基于中心復合設計的單目標優(yōu)化時的特點。方法利用提高木聚糖酶產(chǎn)量的結果，分別用直接法、等高線法、最速上升法、遺傳算法尋找最優(yōu)結果，比較后得出結論。結果直接法、最速上升法、等高線法、遺傳算法尋優(yōu)的木聚糖酶含量分別為27.77UA/m l、23.93UA/m l、47.07UA/m l、51.04UA/m l。結論直接法可在其設計水平上較快找出結果，但不能保證局部或是全局達最優(yōu)；在星點設計基礎上的單目標尋優(yōu)時等高線法的結果和遺傳算法相當，等高線法可觀察到部分因素對響應的影響大小，但存在局部最優(yōu)和主觀性較強的不足；最速上升法易陷入局部最優(yōu)而忽略其他可能最優(yōu)解。

中心復合設計 傳統(tǒng)優(yōu)化方法 遺傳算法 最優(yōu)試驗條件

多因素、多水平的試驗在實際應用中很常見，而常用的設計有析因設計、正交設計、均勻設計等，析因設計相對耗時、耗力，正交設計以犧牲高階交互作用為代價降低了試驗次數(shù)，均勻設計犧牲了整齊可比且在因子和水平多時效率高，而中心復合設計（central composite design，CCD），亦稱為星點設計，是一種新型的試驗設計方法，它具有試驗次數(shù)少，試驗精度高等特點，可以解決均勻設計和正交試驗設計優(yōu)化法的不足［1］?；谝欢ㄔO計尋找最優(yōu)試驗條件是我們試驗的目的，而采用的尋優(yōu)方法包括傳統(tǒng)尋優(yōu)法（直接法、等高圖法、最速上升或下降法等）和新近的解決全局優(yōu)化問題的遺傳算法等。本文將利用Design-Expert V8.0.6.1輸出等高線圖、SAS9.1RSREG過程及MATLAB2009a外掛SGSLAB工具箱單目標遺傳算法程序?qū)ふ易顑?yōu)解，基于結果將對三種傳統(tǒng)優(yōu)化方法和遺傳算法的效果及特點比較。

原理與方法

1.CCD設計

中心復合設計，多因素五水平的試驗設計，有完全中心復合設計和小規(guī)模中心復合設計［2］，由2k析因設計或部分因子設計（規(guī)范化后通常用±l表示）加上2k個（k為因子數(shù)）坐標軸點（±α，0，0，…，0），（0，±α，0，…，0），……，（0，0，0，…，±α），和相應的nc個中心點（0，0，…0）組成。小規(guī)模CCD設計采用的是非對稱的最小試驗次數(shù)優(yōu)化法，因子數(shù)與完全CCD設計不同；α的適當選擇可以滿足旋轉(zhuǎn)性和實現(xiàn)試驗的序貫性，改善預測精度，上述兩種情況的α也是不同的，例如k＝3時完全CCD設計α＝1.682或1.732，小規(guī)模CCD設計α＝1.41；而中心點個數(shù)依因子數(shù)不同而不同，一般nc取4個以上。此設計的析因部分（圖1中立方體的頂點），用于估計一階項和交互作用項；軸向點（圖1的星點）用于估計二階響應曲面模型的純平方項；中心點（圖1立方體的中心）用于提供對一致精度和純誤差項的估計［3］。

2.模型的建立

基于CCD設計本身的特點，擬合二次響應面回歸模型是合理的，通常采用的二階模型表達式為：

i＜j，m為因素個數(shù)。

圖1 CCD設計（k＝3）

3.四種優(yōu)化方法

（1）直接法

根據(jù)實驗設計獲得的試驗數(shù)據(jù)和響應指標值限制條件，在設計的試驗范圍內(nèi)直接尋找相對符合條件的最優(yōu)解，即根據(jù)試驗數(shù)據(jù)及分析結果，計算各因素不同水平下響應指標的平均值或合計，在因素間無交互作用時，選擇各因素不同水平下響應指標的平均值或合計最大或最小時的因素水平為最優(yōu)條件；在某些因素之間的交互作用有統(tǒng)計學意義時，首先要計算存在交互作用的因素各水平在試驗中的各種組合條件下響應指標的平均值或合計，無交互作用因素最優(yōu)條件選擇同前，綜合兩類因素的結果，就可確定含有交互現(xiàn)象時各因素的最優(yōu)條件［4］。

（2）最速上升（下降）法

沿著響應值有最大增量的方向逐步移動，直到響應不再增加（減少）為止，通常分析方法包括典型分析和嶺脊分析：進行典型分析后，如果特征值有正有負，則進行嶺脊分析，其原理是以原始設計中心點為球心、r為半徑的超球面與響應面的交點形成的軌跡范圍內(nèi)找出最佳響應值，即最佳工藝條件［5］，此過程可通過SAS9.1 PROC RSREG完成。

（3）等高線法

通過繪制等高線圖和響應曲面，結合優(yōu)化條件，在系列圖中找尋最優(yōu)解，此過程在本文是通過Design-Expert V8.0.6.1完成。

（4）遺傳算法

模仿自然界生物進化機制的隨機全局搜索的優(yōu)化方法，通過設置MATLAB單目標遺傳算法程序的參數(shù)后搜索最優(yōu)解。本文參數(shù)設置為初始種群＝30、單點交叉概率＝0.75、最大進化代數(shù)＝100時，隨機進行20次搜索。

實例分析

1.數(shù)據(jù)資料

木糖降解需要木聚糖酶，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)木聚糖酶在經(jīng)鏈霉菌屬P12-137發(fā)酵獲得時其活性受木糖底物、硝酸鉀含量、麥麩含量的影響，故試驗的影響因素為麥麩、硝酸鉀、木糖含量，而其響應指標為木聚糖酶含量。本項研究的試驗設計是小規(guī)模CCD設計，其因素編碼水平表和試驗結果分別見表1、表2。

表1 因素編碼水平

表2 CCD設計試驗過程及結果

2.模型的建立及評價

利用Design-Expert V8.0.6.1軟件，采用逐步篩選法（α入＝0.10，α出＝0.15）建立二階響應模型為經(jīng)方差分析得：所建的二次模型是有統(tǒng)計學意義的（F＝4.95，P＝0.0210），且擬合不足部分無統(tǒng)計學差別（F＝2.87，P＝0.1656），說明模型擬合是良好的。

3.試驗條件的優(yōu)化

最速上升法、等高線圖法及遺傳算法的尋優(yōu)均是建立在上述所建模型基礎上進行的，這是方法本身所決定的。

（1）直接法

X1與X2、X2與X3之間的交互作用項具有統(tǒng)計學意義，根據(jù)現(xiàn)有的設計水平組合，X1與X2分別在-1和1水平時，木聚糖酶含量較高為27.77 UA/m l，而X2與X3都為1水平時木聚糖酶含量較高，恰好為第七次試驗方案，故直接法尋優(yōu)結果：麥麩量為1%，硝酸鉀為1%，木糖含量為0.5%時獲得最大的木聚糖酶含量，為27.77 UA/m l。

（2）最速上升法

典型分析的特征值有正有負，所以需要進行嶺脊分析，結果見表3，得出的木聚糖酶提取的最優(yōu)條件為：麥麩量為1.88%，硝酸鉀為0.16%，木糖含量為0.20%時獲得最大的木聚糖酶含量23.93 UA/m l。

（3）等高線圖

搜索的24次結果中1號相對最優(yōu)，結果見圖2，最優(yōu)條件為麥麩、硝酸鉀、木糖含量分別為0.80%、1.16%、0.80%時獲得相對最大木聚糖酶含量47.07 UA/m l；另外由系列響應曲面圖（圖2右側(cè)）可知X1與X2存在交互作用，且KNO3對響應影響較大。

圖2 X3＝0.80，X1、X2變動時Y的等高線圖與響應曲面圖

表3 嶺脊分析表

（4）遺傳算法

由MATLAB2009a的單目標遺傳算法程序搜索20次（僅列出8次，見表4），較理想的結果為麥麩、硝酸鉀、木糖含量分別為0.83%、1.13%、0.72%時獲得相對最大木聚糖酶含量51.04 UA/m l。

表4 遺傳算法部分搜索結果

4.四種優(yōu)化結果的比較

對于本試驗數(shù)據(jù)尋優(yōu)結果可知，遺傳算法尋優(yōu)的木聚糖酶含量比直接法、最速上升法、等高線法分別增加23.27 UA/m l、27.11 UA/m l、3.97UA/m l，提高了83.8%、113.3%、8.43%；在傳統(tǒng)優(yōu)化方法尋優(yōu)結果中，等高線法、直接法比最速上升法增加了23.14 UA/ m l、3.84 UA/m l，提高了96.7%、16.0%。

討 論

從優(yōu)化方法的特點而言，直接法是在一定實驗設計范圍內(nèi)通過求平均值尋找優(yōu)化結果，可較快找出相對的最優(yōu)解，不能保證局部或全局最優(yōu)，但基于試驗設計的優(yōu)化，可為預試驗或試驗提供較理想的結果；等高線法亦基于試驗結果基礎上，通過軟件繪制等高線時，僅兩個因素可以在試驗范圍內(nèi)變化，其他的因素保持在某個水平，而導致找出最優(yōu)解過程相對于前者復雜和主觀性強，但結果比較直觀，可得出局部相對最優(yōu)解和哪個因素影響大或是小，但不能保證在更大的空間范圍內(nèi)為最優(yōu)，而且在試驗為多因素多水平（因素在三或三個以上，在繪圖時，需固定兩個因素以外的其他因素，有時繪不出等高線）、多個響應指標時比較復雜，不易給出最優(yōu)解；最速上升（下降）法通過求各因素偏導數(shù)基礎上典型分析確定穩(wěn)定點，若穩(wěn)定點遠離二次響應面模型的探測區(qū)域時，還需進行嶺脊分析，隨著因素增多，求解過程難度變大或不易求出，而且存在多目標優(yōu)化時不能直接使用，最優(yōu)解也只能是局部最優(yōu)；本試驗中遺傳算法的結果和最速上升法相當，是由于本試驗采用星點設計，擬合效果較好，已經(jīng)接近最優(yōu)點所在區(qū)域，所以最速上升法的效果才比較好，并不是最速上升法所有情況下優(yōu)化效果都好。

從優(yōu)化方法的效果而言，在這四種優(yōu)化方法中等高線法及遺傳算法優(yōu)化效果最好，最速上升法次之，直接法處于相對劣勢。造成這四種方法優(yōu)化效果差別的原因：（1）四種優(yōu)化方法本身的優(yōu)化特點是不同的，而遺傳算法始終是在全局范圍內(nèi)尋找最優(yōu)解；（2）試驗所選擇設計類型及因素水平數(shù)不同，擬合的方程也將不同，所以建立在模型基礎上的優(yōu)化效果也是不同的。本項研究所采用的中心復合設計，擬合二次響應曲面方程，基于設計和模型的優(yōu)化所確定的最優(yōu)區(qū)域沒有偏離真實的最優(yōu)區(qū)域很遠，所以傳統(tǒng)優(yōu)化方法尤其是等高圖法與遺傳算法的效果相差不大。

在選擇優(yōu)化方法時，因素較少、條件簡單時可以使用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法，直接法適用于粗略尋找最優(yōu)解，如若要求較嚴格，可選用等高線法或是最速上升（下降）法；因素較多、條件復雜時應采用遺傳算法。

1.劉艷杰，項榮武.星點設計效應面法在藥學試驗設計中的應用.中國現(xiàn)代應用藥學雜志，2007，24（6）：455-457.

2.Draper NR，Lin DKJ.Small Response-Surface Designs.Technometrics，1990，32（2）：187-194.

3.胡雅琴，何楨.響應曲面二階設計方法比較研究.天津大學，2005.

4.仇麗霞，劉桂芬.多因素試驗優(yōu)化算法及醫(yī)學應用.山西醫(yī)科大學，2003.

5.王黎明，夏文水.水法提取茶多糖工藝條件優(yōu)化.食品科學，2005，26（5）：171-174.

（責任編輯：郭海強）

Com parison of Four M ethods on Optim izing Conditions by Using the Central Com posite Design

Feng Ruimei，Wang Ting，Dai Shuai，et al（ShanxiMedicalUniversity（030001），Taiyuan）

ObjectiveThe characteristics of the optimalmethods can be learned after carrying outa single objective optim ization bymeans of them.MethodsThe optimal parameter status of the production of xylanasesw ill be optim ized using the directmethod，the contoursmethod，the steepest rising or falling method and genetic algorithm.Based on the optimal results，we can come to some conclusions.ResultsThe production of xylanases after optim izing through the above four methods are 27.77UA/m l，23.93UA/m l，47.07UA/m l and 51.04UA/m l，respectively.ConclusionThe directmethod can find solutions in a short time，which may not be best in a local or a global area.In an optim izing example of a single objective designed by central composite design，the optimal effect of contoursmethod was closer to genetic algorithm；thatwhich factor wasmore influential can be observed in the contoursmethod，which can notavoid the defaults of the local optim ization and subjectivity.The steepest rising method was prone to giving the disadvantage solution while ignoring other advantage results.

Central composite design；Traditional optimalmethods；Genetic algorithm；Optimal parameter status

*：國家自然科學基金項目（30872183）

1.山西醫(yī)科大學公共衛(wèi)生學院衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室（030001）

2.Glasgow Caledonian University

△通信作者：仇麗霞，E-mail：qlx-1126＠163.com