胡金柱

在中學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想是以滲透的方式，出現(xiàn)于各種知識(shí)模塊的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)中的.因此，學(xué)習(xí)、掌握、應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，必須以理解、掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為前提，否則數(shù)學(xué)思想就成了無(wú)源之水、無(wú)本之木.若能把掌握好的數(shù)學(xué)思想方法靈活地運(yùn)用到中考中，中考數(shù)學(xué)成績(jī)自然會(huì)高人一等.下面例析初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想方法在中考中的應(yīng)用，希望對(duì)同學(xué)們有所啟迪.

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想就是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)分析和研究現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)問(wèn)題所提供的數(shù)量特征及關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用有關(guān)的函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題.如果問(wèn)題中的變量關(guān)系可以用解析式表示出來(lái)，則可把關(guān)系式看作一個(gè)方程，通過(guò)對(duì)方程的分析使問(wèn)題獲解.

所謂方程的思想，就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過(guò)設(shè)未知數(shù)、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達(dá)到求值目的的解題思路和策略.它是解決各類計(jì)算問(wèn)題的基本思想，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ).函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常用、最重要的數(shù)學(xué)思想之一.

例1 （山西卷）下圖是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的一組有規(guī)律的圖案，則第n個(gè)圖案中陰影小三角形的個(gè)數(shù)是 .

解析 由圖可知：第一個(gè)圖案有陰影小三角形2個(gè)，第二個(gè)圖案有陰影小三角形6個(gè)，第三個(gè)圖案有陰影小三角形10個(gè)……則形成數(shù)對(duì)（1，2），（2，6），（3，10）……

設(shè)陰影小三角形的個(gè)數(shù)與圖案的次序之間的關(guān)系為y=kx+b，

將（1，2），（2，6）代入，得k+b=22k+b=6，解得k=4b=-2.

∴ y=4x-2.檢驗(yàn)知（3，10）也符合此表達(dá)式.

∴陰影小三角形的個(gè)數(shù)與圖案的次序之間的關(guān)系為y=4x-2. ∴當(dāng)x=n時(shí)，y=4n-2.

故第n個(gè)圖案中陰影小三角形的個(gè)數(shù)是4n-2.

二、分類討論思想

在數(shù)學(xué)中，我們常常需要根據(jù)研究對(duì)象性質(zhì)的差異，分各種不同情況予以討論.這種分類討論的方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)也是一種解題策略.

引起分類討論的因素較多，歸納起來(lái)主要有以下幾個(gè)方面：

（1）由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論；

（2）由數(shù)學(xué)變形所需要的限制條件所引起的分類討論；

（3）由于圖形的不確定性引起的討論；

（4）由于題目含有字母而引起的討論.

分類的原則有：①分類中的每一部分是相互獨(dú)立的；②一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；③分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行.

例2 （湖北襄陽(yáng)卷）如果關(guān)于x的一元二次方程kx2-■x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是（ ）

A.k<■ B.k<■且k≠0 C.-■≤k<■ D.-■≤k<■且k≠0

解析 由題意，根據(jù)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0的定義知： k≠0；

根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)數(shù)的條件得：2k+1≥0；

根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得■=2k+1-4k>0.

三者聯(lián)立，解得-■≤k<■且k≠0. 故選D.

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法.所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并充分地利用這種結(jié)合，探求解決問(wèn)題的思路，使問(wèn)題得以解決的思想方法.運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想解題，要熟練掌握一些概念和運(yùn)算的幾何意義及常見(jiàn)圖形中的代數(shù)特征.

例3 （甘肅蘭州卷）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖1所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）

A. k<-3 B. k>-3 C. k<3 D. k>3

解析 根據(jù)題意得：y=|ax2+bx+c|的圖象如圖2，

所以，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k>3.故選D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出y=|ax2+bx+c|的圖象，然后根據(jù)圖象得出k的取值范圍.

四、整體思想

整體思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體處理的解題方法.從整體上去認(rèn)識(shí)問(wèn)題、思考問(wèn)題，常常能化繁為簡(jiǎn)、變難為易. 整體思想的主要表現(xiàn)形式有：整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補(bǔ)形、整體改造等等.

在初中數(shù)學(xué)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)與圖象、幾何與圖形等方面，整體思想都有很好的應(yīng)用，因此，每年的中考中涌現(xiàn)了許多別具創(chuàng)意、獨(dú)特新穎的涉及整體思想的問(wèn)題，尤其在考查高層次思維能力和創(chuàng)新意識(shí)方面具有獨(dú)特的作用.

例4 （湖南婁底卷）如圖3，正方形MNEF的四個(gè)頂點(diǎn)在直徑為4的大圓上，小圓與正方形各邊都相切，AB與CD是大圓的直徑，AB⊥CD，CD⊥MN，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A. 4π B. 3π C. 2π D. π

解析 ∵ AB⊥CD，CD⊥MN，

∴ 根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，陰影部分的面積恰好為正方形MNEF外接圓面積的■.

∵ 正方形MNEF的四個(gè)頂點(diǎn)在直徑為4的大圓上， ∴ S陰影=■π×（■）2=π.故選D.

五、轉(zhuǎn)化與化歸思想

所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是將待解決的問(wèn)題和未解決的問(wèn)題，采取某種策略，轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)能解決的問(wèn)題，或者歸結(jié)為一個(gè)熟知的具有確定解決方法和程序的問(wèn)題，最終求得原問(wèn)題的解.

轉(zhuǎn)化與化歸思想的原則：

（1）熟悉已知化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，以便于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和技巧來(lái)解決.

（2）簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決思路和方法，獲得對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的解答啟示和思路以達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的.

（3）具體原則：化歸方向應(yīng)由抽象到具體.

（4）和諧統(tǒng)一性原則：轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式；或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律.

（5）正難則反的原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，應(yīng)想到問(wèn)題的反面；或問(wèn)題的正面較復(fù)雜時(shí)，其反面一般是簡(jiǎn)單的；設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲得解決.

例5 （山東泰安卷）如圖4，AB∥CD，E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，若AB=5，CD=3，則EF的長(zhǎng)是（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

解析 連接DE并延長(zhǎng)交AB于H，

∵ CD∥AB， ∴ ∠C=∠A，∠CDE=∠AHE.

∵ E是AC中點(diǎn)， ∴ DE=EH. ∴ △DCE≌△HAE（AAS）， ∴ DE=HE，DC=AH.

∵ F是BD中點(diǎn)， ∴ EF是△DHB的中位線， ∴ EF=BH. ∴ BH=AB-AH=AB-DC=2，

∴ EF=1. 故選D.

點(diǎn)評(píng) 作輔助線：連接DE并延長(zhǎng)交AB于H，把EF變換成△DHB的中位線，使問(wèn)題易于解決，體現(xiàn)了由未知——已知、綜合——單一的化歸.

例6 （山西卷）如圖5，一次函數(shù)y=（m-1）x-3的圖象分別與x軸、y軸的負(fù)半軸相交于A、B，則m的取值范圍是（ ）

A. m>1 B. m<1 C. m<0 D. m>0

解析 根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系， ∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)二、三、四象限， ∴ m-1<0，解得m<1. 故選B.

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，把m的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解不等式，體現(xiàn)了由抽象——具體的化歸.（編輯 孫世奇）