鄭焱真,任智磊，何慕威，吳援明

(電子科技大學(xué) 光電信息學(xué)院，四川 成都 611731)

實現(xiàn)最大功率的傳輸對于減少功率的損耗，在微弱信號的處理以及節(jié)約能源方面具有重大意義。對于一般的電路，可以將其等效為戴維南等效電路后再進(jìn)行具體的研究。在一般情況下，負(fù)載往往是多種多樣的，可以是感性負(fù)載，也可以是容性負(fù)載，因此必須探討在不同負(fù)載下如何獲得最大功率。本文通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)以及具體的仿真實驗驗證得到了在負(fù)載不同情況下獲得最大功率的條件，同時，對于加入儲能元件構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)以及理想變壓器來使負(fù)載獲得最大功率也進(jìn)行了較為簡單的探究。

1 不同負(fù)載時最大功率的理論推導(dǎo)

將內(nèi)部電路等效成圖1電路，然后討論ab端口外接不同負(fù)載時負(fù)載獲得的最大功率的問題，最后根據(jù)歐姆定律求出負(fù)載兩端的電壓及電流。根據(jù)有功功率的表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)[1-4]。負(fù)載為ZL=RL+jXL=|ZL|·(cosθ+jsinθ),RL為外接負(fù)載電阻，戴維南等效阻抗Zo=Ro+jXo=|Zo|(cosφ+j sinφ)，在不同情況下選擇不同的形式。

圖1 內(nèi)部電路的等效電路

1.1 負(fù)載的實部和虛部都可變

此時負(fù)載ZL獲得的功率[5]為

若負(fù)載獲得最大功率，則有Xo+XL=0，也就是XL=-Xo；此時，

當(dāng)Ro=RL時就是常說的共軛匹配。容易知道，若負(fù)載共軛匹配時，此時負(fù)載獲得的功率在理論上能獲得最大功率。因此當(dāng)XL=-Xo且Ro=RL時，負(fù)載獲得的最大功率[6]為

(1)

1.2 負(fù)載的實部可變而虛部不變

此時負(fù)載ZL獲得的功率為

(2)

1.3 負(fù)載的虛部可變而實部不變

此時負(fù)載ZL獲得的功率為

P為XL的函數(shù)。P取得最大時，顯然有Xo+XL=0，即XL=-Xo[5]，所獲得的最大功率為

(3)

1.4 負(fù)載的模及相位都可變

本模型重在討論戴維南等效內(nèi)阻與外接負(fù)載同為容性負(fù)載或者同為感性負(fù)載的情況，意即后文中的θ恒大于等于零或恒小于等于零的情況，此情況對于實際應(yīng)用具有重要意義。

此時有

令

可知：|zL|2=|zo|2，則有

因此容易得到以下結(jié)論：

因此負(fù)載獲得的最大功率的條件是|zL|2=|zo|2即阻抗匹配，且負(fù)載為純電阻，所獲得的最大功率為

(4)

1.5 負(fù)載的?？勺兌辔徊蛔?/h3>

此時負(fù)載ZL獲得的功率為

(5)

1.6 負(fù)載的相位可變而模不變

此時負(fù)載ZL獲得的功率為

令

由極值的第一充分條件[8]，F(xiàn)取得最小值，因此，P有最大值。

(6)

如果負(fù)載的模與戴維南等效電路內(nèi)部阻抗模的大小相等，容易知道上式θ等于戴維南等效電路內(nèi)部阻抗阻抗角[9]。

1.7 加入儲能元件構(gòu)成的匹配網(wǎng)絡(luò)

假設(shè)加入一個電感L與電容C構(gòu)成的匹配網(wǎng)絡(luò)(見圖2)，戴維南等效內(nèi)阻Z0以及負(fù)載R均為純電阻的情況。如果滿足共軛匹配的條件，顯然負(fù)載獲得最大功率，經(jīng)過簡單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到以下2個最簡單的等式：

圖2 匹配網(wǎng)絡(luò)

解這兩個式子即可得到L、C、R與Ro的關(guān)系，得到匹配網(wǎng)絡(luò)需要滿足的關(guān)系為

1.8 加入理想變壓器

對于該種情況，仍然只討論負(fù)載以及戴維南等效阻抗仍僅為純電阻的情況。由于理想變壓器不吸收功率并且具有阻抗變換的作用，其公式為R′=n2R,n為變壓器匝數(shù)比。當(dāng)戴維南等效阻抗與負(fù)載不為負(fù)電阻時，總可以找到合適的n使負(fù)載滿足共軛匹配的條件，讓負(fù)載獲得最大功率[10]。

由于此種方法成本較高并且變壓器體積較大，不適于在電子電路中使用。

2 部分結(jié)論的仿真驗證

Multisim軟件是NI公司發(fā)布的交互式SPICE仿真和電路分析的軟件仿真[11]。實驗采用Multisim12.0仿真軟件(以下均使用“仿真軟件”)，利用瓦特計測量功率[12-14]。

2.1 負(fù)載的實部和虛部都可變

在仿真軟件中搭載如圖3所示的電路。通過調(diào)節(jié)可變電阻及可變電感的大小來實現(xiàn)負(fù)載的實部及虛部單獨可變，并且記錄負(fù)載不同時瓦特計測量功率的大小。

圖3 負(fù)載的實部和虛部單獨可變仿真電路

根據(jù)1.1中的結(jié)論，當(dāng)且僅當(dāng)外部負(fù)載阻抗為(50+j31.85)Ω時，外部負(fù)載獲得最大功率，對應(yīng)的電感與電阻的百分比分別為50.5%和50%，最大功率為250 mW。

仿真實驗數(shù)據(jù)見表1。由實驗數(shù)據(jù)可知，在電感與電阻百分比分別為50.5%、50%時有最大功率，為250.00 mW。

表1 負(fù)載的實部和虛部單獨可變時仿真實驗數(shù)據(jù) mW

表1(續(xù)) mW

對于負(fù)載的實部可變而虛部不變、負(fù)載的虛部可變而實部不變的仿真實驗與本實驗的方案類似。

2.2 負(fù)載的模和相位單獨可變

本文僅就戴維南等效內(nèi)阻為感性負(fù)載的情況進(jìn)行分析。在仿真軟件中搭載如圖4所示的電路，通過改變可變電阻與可變電感的百分比來改變負(fù)載的模及相位的大小，記錄百分比不同時負(fù)載瓦特計示數(shù)。根據(jù)2.4中的結(jié)論，當(dāng)負(fù)載為8.9 Ω時功率存在最大值，即可變電感與可變電阻的百分比分別為0%與85.95%時存在最大值，最大功率為1.507 W。

圖4 感性負(fù)載且負(fù)載的模和相位可變的仿真電路

仿真結(jié)果見表2,由實驗結(jié)果可知，負(fù)載在可變電感與可變電阻的百分比分別為0%與85.95%時取得最大功率，為1.507 W，與理論結(jié)果相一致。

表2 負(fù)載的模和相位單獨可變時仿真實驗數(shù)據(jù) W

對于戴維南等效內(nèi)阻為容性負(fù)載的情況，仍然可以用類似的方法做分析。

2.3 負(fù)載的?？勺兌辔徊蛔?/h3>

在仿真軟件中搭載如圖5所示的電路，通過控制可變電感及可變電阻所占電阻大小的百分比來控制負(fù)載模的大小，由于相位不能變，故應(yīng)保持可變電感及可變電阻的百分比比值不發(fā)生改變。

根據(jù)1.5中的結(jié)論，當(dāng)可變電感與可變電阻的百分比都為50%時取得最大功率，最大功率為12.5 W。

仿真實驗結(jié)果見表3。由仿真的結(jié)果可知，可變電阻與可變電感的百分比均為50%時取得最大功率，為12.500 W與理論推導(dǎo)的結(jié)果一致。

圖5 負(fù)載的?？勺兌辔徊蛔兊姆抡骐娐?/p>

表3 負(fù)載的?？勺兌辔徊蛔儠r仿真實驗數(shù)據(jù)

2.4 負(fù)載的相位可變而模不變

該種情況本文不再詳細(xì)驗證，只給出具體思路。不妨假設(shè)戴維南等效內(nèi)阻為容性負(fù)載的情況，而負(fù)載為感性負(fù)載。由于模不改變，因此，可通過改變可變電阻及可變電感的百分比來改變其相位的大小，此處假設(shè)模的大小為|ZL|，可變電阻(R1)的百分比為x，可變電感(L1)的百分比為y，由于保證模的大小不發(fā)生改變，因此有如下恒等式成立：(2πfL1y)2+(R1x)2=|ZL|，找出x與y的關(guān)系，通過簡單的仿真，即可驗證理論推導(dǎo)結(jié)果的正確性。

3 結(jié)束語

實際應(yīng)用中的負(fù)載多種多樣，但是容性負(fù)載與感性負(fù)載是兩種重要的負(fù)載模型，討論這兩種抽象的負(fù)載模型對于工程上的應(yīng)用具有重要價值。但正是因為實際情況的復(fù)雜，在很多情況下不能滿足共軛匹配的理想狀況，因此對于其他一些情況的討論就顯得有必要。Multisim仿真提供了一個十分便捷的科學(xué)實驗平臺[15],可以方便計算有關(guān)問題。本文通過理論推導(dǎo)以及Multisim仿真驗證，對于實際工程應(yīng)用中的復(fù)雜情況進(jìn)行了初步探討，得到在負(fù)載不同情況下負(fù)載獲得最大功率的條件(例如共軛匹配和阻抗匹配)，這些結(jié)論對電子工程中微弱信號的處理以及能源的節(jié)約和能源充分利用方面具有重要意義。

對于加入理想變壓器及匹配網(wǎng)絡(luò)的情況，本文僅僅進(jìn)行了簡單的討論，但是加入匹配網(wǎng)絡(luò)對于實際應(yīng)用具有重要的價值。這種方法不僅不會消耗功率，同時可讓負(fù)載實現(xiàn)共軛匹配以獲得最大功率。

本文僅僅對集中參數(shù)電路最大功率進(jìn)行討論，同時得到的也是在較低頻率情況下的最大功率傳輸，對于頻率較高的情況未加涉及。

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