郝鐵鋼

（東北林業(yè)大學(xué)，黑龍江哈爾濱150040）

復(fù)變函數(shù)與積分變換是工程數(shù)學(xué)系列中一門重要的課程，它廣泛應(yīng)用于力學(xué)、熱學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、電學(xué)、通訊和自動(dòng)化等眾多領(lǐng)域，為相關(guān)專業(yè)后續(xù)的專業(yè)課學(xué)習(xí)必不可少的數(shù)學(xué)工具。比如俄國(guó)的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問(wèn)題上也作出了貢獻(xiàn)。作為一門大學(xué)數(shù)學(xué)課程，復(fù)變函數(shù)與積分變換是高度抽象性與嚴(yán)密邏輯性的統(tǒng)一，但高度抽象性與嚴(yán)密邏輯性也造成了初學(xué)者學(xué)習(xí)該課程的一大障礙，本人多年從事復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)與研究工作，總結(jié)了一些該課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和方法，現(xiàn)在簡(jiǎn)單介紹一下。

一、類比化教學(xué)

類比是一種推理方式，它將兩個(gè)不同的對(duì)象進(jìn)行比較，基于二者所具有的一些相同或相似的屬性來(lái)推測(cè)它們可能具有的其他相同或相似的屬性。［1］復(fù)變函數(shù)中有許多理論類似于高等數(shù)學(xué)，在教學(xué)實(shí)踐中可以利用兩門課程的相似點(diǎn)進(jìn)行類比化教學(xué)。

例如在高等數(shù)學(xué)和復(fù)變函數(shù)都有Abel定理，其中高等數(shù)學(xué)Abel定理中收斂區(qū)域是一個(gè)對(duì)稱的開(kāi)區(qū)間，由于復(fù)變函數(shù)中的復(fù)數(shù)實(shí)際上是二維的，收斂區(qū)域自然不能僅僅是一維開(kāi)區(qū)間，學(xué)生自然會(huì)想到應(yīng)該是個(gè)二維的開(kāi)圓域，這樣在給出復(fù)變函數(shù)Abel定理就很順其自然了。

此外，根據(jù)Fourier變換和Laplace變換中理論并行和處理方法類似的特點(diǎn)也可以進(jìn)行類比化教學(xué)。

通過(guò)類比化教學(xué)有利于加深理解，減少不必要的理論闡述，削繁為簡(jiǎn)，優(yōu)化理論結(jié)構(gòu)，化難為易，使陌生變得熟悉，使模糊變得清晰。

二、對(duì)比化教學(xué)

對(duì)比是把具有明顯差異、矛盾和對(duì)立的雙方安排在一起，進(jìn)行對(duì)照比較的表現(xiàn)手法。對(duì)比化教學(xué)是對(duì)比手法在教學(xué)中的應(yīng)用，它是利用兩類教學(xué)內(nèi)容的矛盾和不同點(diǎn)進(jìn)行比較的教學(xué)方法，以加深其中之一或兩者的共同理解。仔細(xì)研究會(huì)發(fā)現(xiàn)復(fù)變函數(shù)與積分變換中到處出現(xiàn)了對(duì)比?？蓪?dǎo)和解析，Taylor級(jí)數(shù)和Laurent級(jí)數(shù)，F(xiàn)ourier變換和Laplace變換等等，都為進(jìn)行對(duì)比化教學(xué)提供了廣闊的施展空間。

對(duì)于一個(gè)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，可導(dǎo)和解析是不同的，而對(duì)于一個(gè)區(qū)域來(lái)說(shuō)可導(dǎo)和解析卻是相同的。

可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不一定可導(dǎo)，而解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)卻一定解析；Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)范圍是圓域，而Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)范圍是圓環(huán)域；這些理論的對(duì)比闡述一定會(huì)加深學(xué)生對(duì)該課程的理解，使學(xué)生在腦海中形成鮮明的認(rèn)知，給人們以深刻的印象和啟示。教師要不僅了解教學(xué)內(nèi)容，還要善于總結(jié)教學(xué)內(nèi)容中的不同點(diǎn)和相同點(diǎn)，在相同中尋找不同，在不同中探究相同，從而進(jìn)行對(duì)比化教學(xué)，這樣會(huì)收到良好的教學(xué)效果。

三、通俗化教學(xué)

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是研究抽象了的東西，而這些抽象了的東西來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界，是被人抽象出來(lái)的。［2］大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍遇到的問(wèn)題是理論抽象，理解困難。但是教師還是可以通過(guò)體味生活，在形象化和生動(dòng)化中去尋找解決問(wèn)題的答案。

兩個(gè)與路徑無(wú)關(guān)的積分相減時(shí)，后一積分可以重復(fù)前一積分的路徑，且重疊部分可以抵銷，這里可以借用小品里的一句話“走別人的路讓別人無(wú)路可走”。

閉路變形原理中的簡(jiǎn)單閉合曲線的連續(xù)變形按照膠皮套的伸縮來(lái)講解，奇點(diǎn)比作在變形過(guò)程中遇到的釘子，如果不遇到釘子那么則是連續(xù)變形，積分值是不變的，而遇到釘子，積分值是可以改變的。而復(fù)合閉路定理中的簡(jiǎn)單閉合曲線一個(gè)變?yōu)槎鄠€(gè)則可以比做劉謙的魔術(shù)。

學(xué)生聽(tīng)了很有新鮮感，也加深了對(duì)這些抽象數(shù)學(xué)理論的記憶，收到良好的課堂教學(xué)效果。

四、形象化教學(xué)

對(duì)于抽象的數(shù)學(xué)理論還可以通過(guò)形象化的圖形來(lái)表現(xiàn)其原始面貌，正如康德在他的巨著《純粹理性批判》中所指出的，人類的一切知識(shí)都是從直觀開(kāi)始，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束。［3］我們?yōu)榱诉€原抽象概念和理念的本質(zhì)必需從直觀開(kāi)始，這里圖形無(wú)疑是最簡(jiǎn)單最有效的。在復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)中有大量的理論可以用直觀圖形來(lái)體現(xiàn)，圖形最好用彩色的粉筆來(lái)繪制，一些細(xì)節(jié)用什么顏色要被固定下來(lái)。所用顏色在整個(gè)學(xué)期授課的過(guò)程保持一致，這樣學(xué)生的思想中就會(huì)形成一定的固定化形象模式，對(duì)數(shù)學(xué)理論的理解和推演十分有益。

比如，我習(xí)慣于將將解析區(qū)域和級(jí)數(shù)收斂區(qū)域畫(huà)成同一顏色，因?yàn)闊o(wú)論對(duì)于Taylor級(jí)數(shù)還是Laurent級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，解析區(qū)域和級(jí)數(shù)收斂區(qū)域都是重合的。這樣在講到Taylor展開(kāi)定理和Laurent展開(kāi)定理時(shí)，即使定理?xiàng)l件還未說(shuō)，學(xué)生已經(jīng)從以往教學(xué)中的解析區(qū)域和級(jí)數(shù)收斂區(qū)域的顏色判斷出端倪了。

形象化教學(xué)中還包括用MATLAP等圖形處理軟件來(lái)表現(xiàn)積分變換等理論，在這方面已有很多人作出嘗試，楊潤(rùn)生［4］等還提出了設(shè)立MATLAP選修課的設(shè)想。

五、探究式教學(xué)

探究式教學(xué)在教師的指導(dǎo)下，以學(xué)生為主體主動(dòng)地探索，掌握認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的方法和步驟，研究發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展的起因和事物內(nèi)部的聯(lián)系，從中找出規(guī)律，形成自己的理念的教學(xué)方法。

復(fù)變函數(shù)與積分變換是一門十分講究邏輯的學(xué)科，也是具有廣泛應(yīng)用的學(xué)科。可以從某一理論出發(fā)，設(shè)計(jì)問(wèn)題，逐步探究，最后導(dǎo)出下一理論或者是某些實(shí)際應(yīng)用。

比如通過(guò)解析函數(shù)的表達(dá)式入手，逐步推導(dǎo)出物理學(xué)中力函數(shù)與勢(shì)函數(shù)在解析函數(shù)中的統(tǒng)一，從而利用復(fù)勢(shì)理論來(lái)研究導(dǎo)線電場(chǎng)與點(diǎn)源靜電場(chǎng)，并且可以讓學(xué)生了解到力函數(shù)與勢(shì)函數(shù)的相互正交關(guān)系，甚至可以引伸到萬(wàn)有引力場(chǎng)中引力與勢(shì)的關(guān)系以及流體力學(xué)中流與勢(shì)的關(guān)系。在這一過(guò)程中教師要不斷用啟發(fā)性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步前進(jìn)，并結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，在關(guān)鍵的難點(diǎn)給與一定的提示，但要注意留有一定想象空間，以便學(xué)生可以適度發(fā)揮。教師要適時(shí)評(píng)價(jià)不同處理方法的優(yōu)劣與閃光點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究問(wèn)題的能力。讓學(xué)生了解到復(fù)變函數(shù)與積分變換不是完全建立在缺乏實(shí)際意義基礎(chǔ)上的空殼，而是一門饒有趣味并且是實(shí)用性很強(qiáng)的課程科。

六、自助式作業(yè)批改法

在教學(xué)實(shí)踐中本人創(chuàng)造了一種“自助式作業(yè)批改法”，自助式教學(xué)設(shè)計(jì)［5］的一部分，步驟如下：

（1）學(xué)生用黑筆寫(xiě)作業(yè)，并簽名交予課代表；

（2）教師講解作業(yè)題的正確解題步驟；

（3）課代表將作業(yè)隨機(jī)發(fā)給學(xué)生，并確保每人都沒(méi)有拿到自己的作業(yè)；

（4）學(xué)生用藍(lán)筆批改作業(yè)，務(wù)必做到全批全改，即錯(cuò)誤的要?jiǎng)澗€并改正過(guò)來(lái)，并且簽名；

（5）學(xué)生再次交作業(yè)，教師用紅筆批改，并根據(jù)學(xué)生做作業(yè)和批改作業(yè)情況給出該生的平時(shí)成績(jī)。

自助式作業(yè)批改法是為了有效調(diào)動(dòng)學(xué)生能動(dòng)性的“二次作業(yè)批改法”，在這里教師的批改已讓位于學(xué)生的批改，已不再發(fā)揮主要作用。實(shí)行了這種“自助式作業(yè)批改法”后學(xué)生不僅寫(xiě)作業(yè)較為積極，并且出現(xiàn)了自發(fā)地針對(duì)某一道題作法展開(kāi)討論的現(xiàn)象。一些同學(xué)為了體現(xiàn)自己批改作業(yè)認(rèn)真，甚至在批改作業(yè)中用了大量的講解性語(yǔ)言。令人欣喜的是在批改作業(yè)過(guò)程中出現(xiàn)大量創(chuàng)新性做法，雖然一些方法還有缺陷，但的確體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)此問(wèn)題的個(gè)人獨(dú)特理解。

不同的學(xué)習(xí)者具有不同的學(xué)習(xí)態(tài)度、起始能力、已有知識(shí)和個(gè)性特征，這些能力和特征直接或間接地影響著學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)效果。在教學(xué)中只有通過(guò)多元化的教學(xué)手段，認(rèn)真分析教學(xué)中的各個(gè)環(huán)節(jié)，結(jié)合教學(xué)對(duì)象的實(shí)際情況來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)模式，才能最終破解該課程的抽象理論，收到良好的教學(xué)效果。

［1］閆志蓮.復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)方法改革與實(shí)踐［J］.安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2012（1）：129～130.

［2］張勝利，孔凡哲.數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.教育探索,2012，（1）：68～69.

［3］康德.鄧曉芳譯，純粹理性批判［M］.北京：人民出版社，2004.

［4］楊潤(rùn)生，歐陽(yáng)文，唐寶慶.工科專業(yè)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程實(shí)踐教學(xué)探析［J］.湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，（2）：102～105.

［5］郝鐵鋼.自助式教學(xué)設(shè)計(jì)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐［J］.教育探索,2007，（5）：41～42.