袁 力

(鄖陽師范高等?？茖W校 數(shù)學與財經(jīng)系，湖北 十堰 442000)

由于冪等變換所具有的特殊性質(zhì)，使得其值域與核在矩陣的對角化問題及空間的直和分解中都有重要的應用，現(xiàn)已成為一個研究熱點并取得了一些有價值的結論。2012年朱一心討論了有限維線性空間上線性變換方冪的像與核的直和問題，并將結論推廣到了無限維線性空間[1]；楊欣芳給出了線性變換的像與核對空間直和分解的一個充分條件[2]；吳校良對線性變換的像與核之間的維數(shù)關系式做了較為詳細的描述[3]；汪杏枝系統(tǒng)總結了線性空間上兩個線性變換的象與象，核與核，象與核的關系[4][5]。

在對已有成果進行認真總結和分析的基礎上，我們發(fā)現(xiàn)對于定義在同一線性空間上兩個不同的冪等變換，它們的值域與核之間也有著非常密切的聯(lián)系。本文將在此條件下對冪等變換值域與核的相等問題展開進一步討論，結合近年來的教研成果，給出一些有益的結論。

2 定義與主要結論

定義1 設σ是線性空V間的一個線性變換,滿足σ2=σ,則稱為冪等變換。

定義2 設σ是線性空間V的一個線性變換,σ的全體像組成的集合σ(V)稱為σ的值域,用Imσ表示；所有被σ變成零向量的向量組成的集合σ-1(0)稱為σ的核,用kerσ表示[6]。

定義3 設線性空間V上的一個線性變換σ滿足rankσ2=rankσ,則稱σ是一個冪等秩的線性變換[7]。

首先給出一個同一線性空間上兩個不同冪等變換的值域與核分別相等的充分必要條件。

定理1 設σ,τ是定義在數(shù)域P上n維線性空間V上的兩個冪等變換，則

(1)σ與τ有相同值域的充分必要條件是στ=τ，τσ=σ；

(2)σ與τ有相同的核的充分必要條件是στ=σ，τσ=τ[1]。

證 (1)必要性設σ(V)=τ(V),則對于任意α∈V,

因σ(α)∈σ(V)=τ(V), 所以存在δ∈V, 使得σ(α)=τ(δ)。

即有τσ(α)=τ2(δ)=τ(δ)=σ(α), 由α的任意性可知τσ=σ。

同理可證στ=τ。

充分性設στ=τ，τσ=σ,則對于任意σ(α)∈σ(V),有σ(α)=τ(σ(α))∈τ(V), 此即

σ(V)?τ(V)。

同理可證τ(V)∈?σ(V)，所以σ(V)=τ(V)。

(2)必要性若σ-1(0)=τ-1(0)，對任意β∈V，作向量β-σ(β)

因σ(β-σ(β))=σ(β)-σ2(β)=σ(β)-σ(β)=0，所以β-σ(β)∈σ-1(0)=τ-1(0)

又因τ(β-σ(β))=τ(β)-τσ(β)=0，所以τ(β)=τσ(β)

由β的任意性，故有τσ=τ。

作向量β-τ(β)，則τ(β-τ(β))=τ(β)-τ2(β)=τ(β)-τ(β)=0，

所以β-τ(β)∈τ-1(0)=σ-1(0)，

又σ(β-τ(β))=0，所以σ(β)=στ(β)

由β的任意性，故有στ=σ。

充分性若στ=σ，τσ=τ，任取α∈σ-1(0)，

由τ(α)=τσ(α)=τ(σ(α))=τ(0)=0，所以α∈τ-1(0)，從而σ-1(0)?τ-1(0)

任取β∈τ-1(0)

由σ(β)=στ(β)=σ(τ(β))=σ(0)=0，所以β∈σ-1(0)，從而τ-1(0)?σ-1(0)

綜合可得σ-1(0)=τ-1(0)。

其實對定理1的條件與結論深入分析，還可以得到如下推廣的結論：

定理2 設σ，τ是定義在數(shù)域P上n維線性空間V上的兩個線性變換，且σ是k次冪等，τ是l次冪等,則

(1)σ與τ有相同值域的充要條件是：σk-1τ=τ，τl-1σ=σ

(2)σ與τ有相同的核的充要條件是：στl-1=σ，τσk-1=τ

證 (1)必要性因σ(V)=τ(V),對于任意β∈V，則τ(β)∈τ(V)=σ(V)，

即存在α∈V， 使得τ(β)=σ(α)，

又因σk=σ，所以有(σk-1τ)β=σk-1(τ(β))=σk-1(σ(α))=σk(α)=σ(α)=τ(β)

由β的任意性可知σk-1τ=τ。

同理可證τl-1σ=σ。

充分性因σk-1τ=τ，則τ(V)=(σk-1τ)V=σ(σk-2τ)V?σ(V)

同理可知σ(V)?τ(V)，故σ(V)=τ(V)。

(2)必要性因τl=τ，即τl-τ=τ(τl-1-ε)=0，則對任意α∈V，有τ(τl-1-ε)=0，

即(τl-1-ε)α∈τ-1(0)

又因σ-1(0)=τ-1(0)，則(τl-1-ε)α∈σ-1(0)即(σ(τl-1-ε))α=(στl-1-σ)α=0，

由α的任意性可知στl-1=σ。

同理可證τσk-1=τ。

充分性因στl-1=σ,則對于任意α∈V,(στl-1-σ)α=(σ(τl-1-ε))α=σ((τl-1-ε)α)=0

即(τl-1-ε)α∈σ-1(0) ,

又因τ((τl-1-ε)α)=(τl-τ)α=0，即(τl-1-ε)α∈τ-1(0)

由α的任意性,可知σ-1(0)?τ-1(0)。

同理可證τ-1(0)?σ-1(0),故σ-1(0)=τ-1(0),證畢。

對于兩冪等變換值域與核之間對應相等，我們有下面的結論：

定理3 設σ是定義在數(shù)域P上n維線性空間V上的冪等變換,ε為恒等變換,則τ=ε-σ為冪等變換,且kerσ=τ(V)，kerτ=σ(V)。

證 因τ2=(ε-σ)2=ε2-2σ+σ2=ε-2σ+σ=ε-σ=τ,故為冪等變換。

對于任意α∈τ(V),則存在β∈V,使得α=τ(β)=(ε-σ)β=β-σ(β)

等式兩邊同時用σ作用,可得σ(α)=σ(β-σ(β))=σ(β)-σ2(β)=σ(β)-σ(β)=0

所以α∈σ-1(0),即τ(V)?kerσ。

反之，對于任意β∈kerσ,則σ(β)=0,且有τ(β)=(ε-σ)β=β-σ(β)∈τ(V)，即kerσ?τ(V)。

綜上可知kerσ=τ(V)。

同理可證kerτ=σ(V)。

冪等變換是冪等秩線性變換的特殊情況，下面在更一般的條件下，即當σ,τ為冪等秩線性變換時，其值域與核相等問題還可有如下結論：

定理4 設σ,τ是定義在數(shù)域P上n維線性空間V的兩個冪等秩的線性變換

1) 若σ(V)=τ(V),則στ(V)=τ(V)=σ(V)=τσ(V)

2) 若kerσ=kerτ,則kerστ=kerσ=kerτ=kerτσ

證 1)因σ,τ均為冪等秩的線性變換，且有σ(V)=τ(V)

則(στ)V=σ(τ(V))=σ(σ(V))=σ2(V)=σ(V)=τ(V)=τ2(V)

=τ(τ(V))=τ(σ(V))=(τσ)V

2) 因kerσ=kerτ，設α是ker(τσ)中任一向量，則στ(α)=σ(τ(α))=0

則可知τ(α)∈ kerσ，故也有τ(α)∈kerτ，所以τ(τ(α))=τ2(α)=0

即α∈kerτ2=kerτ，所以α∈kerτ。由α的任意性可知：kerστ?kerτ，kerστ?kerσ。

同理可證kerτσ?kerσ，kerτσ?kerτ

而kerτ?kerστ，kerσ?kerτσ顯然成立，所以kerστ=kerσ=kerτ=kerτσ。

3 結語

文章對同一線性空間上兩個不同冪等變換的值域與核相等問題展開了討論，給出了兩者相等的一個充要條件，并把此充要條件推廣到了p次冪等變換的值域與核上來，同時得到了一個兩冪等變換核與值域之間分別對應相等的充分條件。以此為基礎，在更一般的條件下，給出了兩冪等秩線性變換值域與核對應相等的一個必要條件，為進一步開展線性變換的值域與核對空間直和分解問題的研究做了一些基礎性的工作。

[參考文獻]

[1] 朱一心,馬雪松, 范興亞,等.關于線性變換的像空間與核空間的直和[J].數(shù)學的實踐與認識，2012,42(18):267-272.

[2] 楊欣芳. 線性空間分解為線性變換的核與像的直和的一個充分條件[J].韶關大學學報(自然科學版)，1996,17(4):9-12.

[3] 吳校良.線性變換的核空間與像空間的維數(shù)關系式[J].內(nèi)蒙古民族大學學報，2012,18(2):3-4.

[4] 汪杏枝.維線性空間上的兩個線性變換的像與核[J]湖北師范學院學報，2001,21(4):20-23.

[5] 姜 琴,袁 力.關于兩冪等變換值域與核的一點注記[J].鄖陽師范高等?？茖W校學報，2013,33(6):21-23.

[6] 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003:302-303.

[7] 汪杏枝.維線性空間上的冪等秩的線性變換[J].湖北師范學院學報，2001,21(2):18-22.