田英東

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；不等式；應(yīng)用題

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）06—0091—01

對(duì)于列不等式，很多學(xué)生感到困惑，覺(jué)得無(wú)從下手。那么，如何擺脫這種困境呢？筆者認(rèn)為，從限定的條件入手，挖掘題目所蘊(yùn)含的條件，就可以達(dá)到較好的教學(xué)效果。

一、從題目中直接列不等式

這種題目明確地給出了某件事情的限定條件，例如，有大于、小于、不超過(guò)、高于等等表示不等關(guān)系的詞語(yǔ)。對(duì)于這類題目，要緊緊抓住這些詞語(yǔ)前面的量，也就是關(guān)鍵詞。對(duì)于這種題型，一般分析題意后，設(shè)出未知數(shù)，列代數(shù)式來(lái)表達(dá)出這個(gè)量，然后根據(jù)限定的條件直接或作一下轉(zhuǎn)化來(lái)列出不等式。

例如，甲以5km/h的速度進(jìn)行有氧體育鍛煉，2小時(shí)后，乙騎車從同地點(diǎn)出發(fā)沿同一條路追趕甲。根據(jù)他們兩人的約定，乙最快不早于1小時(shí)追上甲，最慢不晚于1小時(shí)15分追上甲。問(wèn)乙騎車的速度應(yīng)該滿足什么條件？

分析題意：不難發(fā)現(xiàn)“不早于、不晚于”是限定的條件，這是對(duì)時(shí)間的限定。不妨設(shè)乙騎車的速度為xkm/h，用含x的代數(shù)式來(lái)表示時(shí)間即可。根據(jù)路程、速度、時(shí)間的關(guān)系：有時(shí)間為（5×2+5×1）/x；（5×2+1×■）/ x，然后根據(jù)“不早于，不晚于”來(lái)列出不等式（5×2+5×1）/x>1；（5×2+1×■）/x<■。當(dāng)然也可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，“不早于”就是1h后，乙不追上甲，即在1h后甲的路程要大與乙的路程，從而得到5×2+5×1>x，同理5×2+1×■<■x，根據(jù)題目的意思列出限定的量，最后根據(jù)題目的意思列出不等式。

二、挖掘題意，深入分析，列不等式

這類的題目沒(méi)有明確給出某個(gè)事情的限定條件，要靠學(xué)生認(rèn)真讀題，抓住每個(gè)術(shù)語(yǔ)進(jìn)行分析，或者要聯(lián)系生活實(shí)際分析，尋找隱含的各種限定條件，然后根據(jù)找到的條件來(lái)列不等式。

例如，某工廠有甲種原料360㎏，乙種原料290㎏，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需要甲種原料9㎏、乙種原料3㎏；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需要甲種原料4㎏、乙種原料10㎏。求：（1）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，寫(xiě)出x應(yīng)滿足的不等式（組）；（2）寫(xiě)出所有的生產(chǎn)方案。

分析題意：逐步展開(kāi)，不難得出生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50-x）件，而生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需要甲種原料9㎏、乙種原料3㎏?，F(xiàn)在生產(chǎn)x件，需要甲種原料9x㎏、乙種原料3x㎏。同理，現(xiàn)在生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50-x）件，需要甲種原料4（50-x）㎏、乙種原料10（50-x）㎏，而題目給出工廠共有甲種原料360㎏，乙種原料290㎏。由生活、生產(chǎn)實(shí)際出發(fā)，生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品所需要的原料數(shù)目，不能超出甲種原料和乙種原料現(xiàn)有量。即這就是分析題目找出的限定條件，所以有9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290。解出這個(gè)不等式組，根據(jù)實(shí)際，可回答后面的問(wèn)題。

三、結(jié)合方程、函數(shù)，分析實(shí)際情況，列不等式

這類題目有些先給出題目的結(jié)論，問(wèn)題是尋找結(jié)論成立的條件。我們可以先假設(shè)結(jié)論成立，然后由結(jié)論的性質(zhì)去推理得到所需要的條件。要解決這樣的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，尋找最佳的方案。

例如，某批發(fā)商欲將一批海產(chǎn)品由A地運(yùn)往B地，汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司均開(kāi)辦海產(chǎn)品運(yùn)輸業(yè)務(wù)。已知運(yùn)輸路程均為120千米，汽車和火車的速度分別為60千米/時(shí)、100千米/時(shí)。兩貨運(yùn)公司的收費(fèi)項(xiàng)目及收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示：

■

注：“元/噸·千米”表示每噸貨物每千米的運(yùn)費(fèi)；“元/噸·小時(shí)”表示每噸貨物每小時(shí)的冷藏費(fèi)。

（1）設(shè)該批發(fā)商待運(yùn)的海產(chǎn)品有x噸，汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司所要收取的費(fèi)用分別為y1元和y2元，試求y1和y2與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若該批發(fā)商待運(yùn)的海產(chǎn)品不少于30噸，為節(jié)省運(yùn)費(fèi)，他應(yīng)選擇哪個(gè)貨運(yùn)公司承擔(dān)運(yùn)輸業(yè)務(wù)？

分析題意：列出 （1）y1=120x×2+■×5x+200，y2=1.8×120x+■×5x+1600，化簡(jiǎn)后得y1=250x+200，y2=222x+1600。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，由若y1= y2，即250x+200=222x+1600，解得x=50。當(dāng)海產(chǎn)品是50噸時(shí)，汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用一樣多，再由y1>y2，250x+200>222x+1600，解得x>50。同樣若y1

編輯：謝穎麗

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；不等式；應(yīng)用題

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）06—0091—01

對(duì)于列不等式，很多學(xué)生感到困惑，覺(jué)得無(wú)從下手。那么，如何擺脫這種困境呢？筆者認(rèn)為，從限定的條件入手，挖掘題目所蘊(yùn)含的條件，就可以達(dá)到較好的教學(xué)效果。

一、從題目中直接列不等式

這種題目明確地給出了某件事情的限定條件，例如，有大于、小于、不超過(guò)、高于等等表示不等關(guān)系的詞語(yǔ)。對(duì)于這類題目，要緊緊抓住這些詞語(yǔ)前面的量，也就是關(guān)鍵詞。對(duì)于這種題型，一般分析題意后，設(shè)出未知數(shù)，列代數(shù)式來(lái)表達(dá)出這個(gè)量，然后根據(jù)限定的條件直接或作一下轉(zhuǎn)化來(lái)列出不等式。

例如，甲以5km/h的速度進(jìn)行有氧體育鍛煉，2小時(shí)后，乙騎車從同地點(diǎn)出發(fā)沿同一條路追趕甲。根據(jù)他們兩人的約定，乙最快不早于1小時(shí)追上甲，最慢不晚于1小時(shí)15分追上甲。問(wèn)乙騎車的速度應(yīng)該滿足什么條件？

分析題意：不難發(fā)現(xiàn)“不早于、不晚于”是限定的條件，這是對(duì)時(shí)間的限定。不妨設(shè)乙騎車的速度為xkm/h，用含x的代數(shù)式來(lái)表示時(shí)間即可。根據(jù)路程、速度、時(shí)間的關(guān)系：有時(shí)間為（5×2+5×1）/x；（5×2+1×■）/ x，然后根據(jù)“不早于，不晚于”來(lái)列出不等式（5×2+5×1）/x>1；（5×2+1×■）/x<■。當(dāng)然也可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，“不早于”就是1h后，乙不追上甲，即在1h后甲的路程要大與乙的路程，從而得到5×2+5×1>x，同理5×2+1×■<■x，根據(jù)題目的意思列出限定的量，最后根據(jù)題目的意思列出不等式。

二、挖掘題意，深入分析，列不等式

這類的題目沒(méi)有明確給出某個(gè)事情的限定條件，要靠學(xué)生認(rèn)真讀題，抓住每個(gè)術(shù)語(yǔ)進(jìn)行分析，或者要聯(lián)系生活實(shí)際分析，尋找隱含的各種限定條件，然后根據(jù)找到的條件來(lái)列不等式。

例如，某工廠有甲種原料360㎏，乙種原料290㎏，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需要甲種原料9㎏、乙種原料3㎏；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需要甲種原料4㎏、乙種原料10㎏。求：（1）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，寫(xiě)出x應(yīng)滿足的不等式（組）；（2）寫(xiě)出所有的生產(chǎn)方案。

分析題意：逐步展開(kāi)，不難得出生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50-x）件，而生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需要甲種原料9㎏、乙種原料3㎏?，F(xiàn)在生產(chǎn)x件，需要甲種原料9x㎏、乙種原料3x㎏。同理，現(xiàn)在生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50-x）件，需要甲種原料4（50-x）㎏、乙種原料10（50-x）㎏，而題目給出工廠共有甲種原料360㎏，乙種原料290㎏。由生活、生產(chǎn)實(shí)際出發(fā)，生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品所需要的原料數(shù)目，不能超出甲種原料和乙種原料現(xiàn)有量。即這就是分析題目找出的限定條件，所以有9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290。解出這個(gè)不等式組，根據(jù)實(shí)際，可回答后面的問(wèn)題。

三、結(jié)合方程、函數(shù)，分析實(shí)際情況，列不等式

這類題目有些先給出題目的結(jié)論，問(wèn)題是尋找結(jié)論成立的條件。我們可以先假設(shè)結(jié)論成立，然后由結(jié)論的性質(zhì)去推理得到所需要的條件。要解決這樣的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，尋找最佳的方案。

例如，某批發(fā)商欲將一批海產(chǎn)品由A地運(yùn)往B地，汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司均開(kāi)辦海產(chǎn)品運(yùn)輸業(yè)務(wù)。已知運(yùn)輸路程均為120千米，汽車和火車的速度分別為60千米/時(shí)、100千米/時(shí)。兩貨運(yùn)公司的收費(fèi)項(xiàng)目及收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示：

■

注：“元/噸·千米”表示每噸貨物每千米的運(yùn)費(fèi)；“元/噸·小時(shí)”表示每噸貨物每小時(shí)的冷藏費(fèi)。

（1）設(shè)該批發(fā)商待運(yùn)的海產(chǎn)品有x噸，汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司所要收取的費(fèi)用分別為y1元和y2元，試求y1和y2與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若該批發(fā)商待運(yùn)的海產(chǎn)品不少于30噸，為節(jié)省運(yùn)費(fèi)，他應(yīng)選擇哪個(gè)貨運(yùn)公司承擔(dān)運(yùn)輸業(yè)務(wù)？

分析題意：列出 （1）y1=120x×2+■×5x+200，y2=1.8×120x+■×5x+1600，化簡(jiǎn)后得y1=250x+200，y2=222x+1600。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，由若y1= y2，即250x+200=222x+1600，解得x=50。當(dāng)海產(chǎn)品是50噸時(shí)，汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用一樣多，再由y1>y2，250x+200>222x+1600，解得x>50。同樣若y1

編輯：謝穎麗

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；不等式；應(yīng)用題

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2014）06—0091—01

對(duì)于列不等式，很多學(xué)生感到困惑，覺(jué)得無(wú)從下手。那么，如何擺脫這種困境呢？筆者認(rèn)為，從限定的條件入手，挖掘題目所蘊(yùn)含的條件，就可以達(dá)到較好的教學(xué)效果。

一、從題目中直接列不等式

這種題目明確地給出了某件事情的限定條件，例如，有大于、小于、不超過(guò)、高于等等表示不等關(guān)系的詞語(yǔ)。對(duì)于這類題目，要緊緊抓住這些詞語(yǔ)前面的量，也就是關(guān)鍵詞。對(duì)于這種題型，一般分析題意后，設(shè)出未知數(shù)，列代數(shù)式來(lái)表達(dá)出這個(gè)量，然后根據(jù)限定的條件直接或作一下轉(zhuǎn)化來(lái)列出不等式。

例如，甲以5km/h的速度進(jìn)行有氧體育鍛煉，2小時(shí)后，乙騎車從同地點(diǎn)出發(fā)沿同一條路追趕甲。根據(jù)他們兩人的約定，乙最快不早于1小時(shí)追上甲，最慢不晚于1小時(shí)15分追上甲。問(wèn)乙騎車的速度應(yīng)該滿足什么條件？

分析題意：不難發(fā)現(xiàn)“不早于、不晚于”是限定的條件，這是對(duì)時(shí)間的限定。不妨設(shè)乙騎車的速度為xkm/h，用含x的代數(shù)式來(lái)表示時(shí)間即可。根據(jù)路程、速度、時(shí)間的關(guān)系：有時(shí)間為（5×2+5×1）/x；（5×2+1×■）/ x，然后根據(jù)“不早于，不晚于”來(lái)列出不等式（5×2+5×1）/x>1；（5×2+1×■）/x<■。當(dāng)然也可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，“不早于”就是1h后，乙不追上甲，即在1h后甲的路程要大與乙的路程，從而得到5×2+5×1>x，同理5×2+1×■<■x，根據(jù)題目的意思列出限定的量，最后根據(jù)題目的意思列出不等式。

二、挖掘題意，深入分析，列不等式

這類的題目沒(méi)有明確給出某個(gè)事情的限定條件，要靠學(xué)生認(rèn)真讀題，抓住每個(gè)術(shù)語(yǔ)進(jìn)行分析，或者要聯(lián)系生活實(shí)際分析，尋找隱含的各種限定條件，然后根據(jù)找到的條件來(lái)列不等式。

例如，某工廠有甲種原料360㎏，乙種原料290㎏，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需要甲種原料9㎏、乙種原料3㎏；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需要甲種原料4㎏、乙種原料10㎏。求：（1）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，寫(xiě)出x應(yīng)滿足的不等式（組）；（2）寫(xiě)出所有的生產(chǎn)方案。

分析題意：逐步展開(kāi)，不難得出生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50-x）件，而生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需要甲種原料9㎏、乙種原料3㎏?，F(xiàn)在生產(chǎn)x件，需要甲種原料9x㎏、乙種原料3x㎏。同理，現(xiàn)在生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50-x）件，需要甲種原料4（50-x）㎏、乙種原料10（50-x）㎏，而題目給出工廠共有甲種原料360㎏，乙種原料290㎏。由生活、生產(chǎn)實(shí)際出發(fā)，生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品所需要的原料數(shù)目，不能超出甲種原料和乙種原料現(xiàn)有量。即這就是分析題目找出的限定條件，所以有9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290。解出這個(gè)不等式組，根據(jù)實(shí)際，可回答后面的問(wèn)題。

三、結(jié)合方程、函數(shù)，分析實(shí)際情況，列不等式

這類題目有些先給出題目的結(jié)論，問(wèn)題是尋找結(jié)論成立的條件。我們可以先假設(shè)結(jié)論成立，然后由結(jié)論的性質(zhì)去推理得到所需要的條件。要解決這樣的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，尋找最佳的方案。

例如，某批發(fā)商欲將一批海產(chǎn)品由A地運(yùn)往B地，汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司均開(kāi)辦海產(chǎn)品運(yùn)輸業(yè)務(wù)。已知運(yùn)輸路程均為120千米，汽車和火車的速度分別為60千米/時(shí)、100千米/時(shí)。兩貨運(yùn)公司的收費(fèi)項(xiàng)目及收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示：

■

注：“元/噸·千米”表示每噸貨物每千米的運(yùn)費(fèi)；“元/噸·小時(shí)”表示每噸貨物每小時(shí)的冷藏費(fèi)。

（1）設(shè)該批發(fā)商待運(yùn)的海產(chǎn)品有x噸，汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司所要收取的費(fèi)用分別為y1元和y2元，試求y1和y2與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若該批發(fā)商待運(yùn)的海產(chǎn)品不少于30噸，為節(jié)省運(yùn)費(fèi)，他應(yīng)選擇哪個(gè)貨運(yùn)公司承擔(dān)運(yùn)輸業(yè)務(wù)？

分析題意：列出 （1）y1=120x×2+■×5x+200，y2=1.8×120x+■×5x+1600，化簡(jiǎn)后得y1=250x+200，y2=222x+1600。對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，由若y1= y2，即250x+200=222x+1600，解得x=50。當(dāng)海產(chǎn)品是50噸時(shí)，汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用一樣多，再由y1>y2，250x+200>222x+1600，解得x>50。同樣若y1

編輯：謝穎麗