代珊妮　李湘

摘要：幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，對提升學(xué)生觀察圖形的能力、空間想象力、邏輯推理的能力等具有重要的作用。高等幾何和初等幾何作為幾何學(xué)的重要模塊，在學(xué)習(xí)思維上具有很多相似之處，初等幾何的學(xué)習(xí)為幾何學(xué)打下了堅實的基礎(chǔ)，高等幾何是在初等幾何的基礎(chǔ)上進行延伸和擴展的一門課程。研究高等幾何和初等幾何之間的關(guān)系，可以更好的實現(xiàn)它們之間的過渡和銜接，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞：高等幾何初等幾何關(guān)系

數(shù)學(xué)是初高等教育中必不可少的重要組成部分，幾何學(xué)作為數(shù)學(xué)的基本分支之一，是數(shù)學(xué)教育中的重點內(nèi)容。為了平衡初等幾何和高等幾何之間的教育，實現(xiàn)初等幾何向高等幾何的有效過渡，深入探討初等幾何和高等幾何之間的關(guān)系是非常必要的。下文筆者將從幾何學(xué)的基本概念出發(fā)，對高等幾何在幾何學(xué)中的重要地位進行闡述，隨后詳細介紹初等幾何和高等幾何的關(guān)系。

一、幾何學(xué)的基本概念

幾何學(xué)是研究空間關(guān)系的數(shù)學(xué)分支，包括平面幾何、立體幾何、黎曼幾何等多種類型，在初等幾何學(xué)習(xí)中，主要涉及一些平面幾何和簡單立體幾何的學(xué)習(xí)；高等幾何中會包含大部分的立體幾何以及黎曼幾何等的學(xué)習(xí)。幾何學(xué)在日常生活中有重要的應(yīng)用，比如建筑的結(jié)構(gòu)設(shè)計、空間分配與計算等，學(xué)習(xí)幾何學(xué)可以為中學(xué)生未來的工作生活打下良好的基礎(chǔ)。

二、高等幾何在幾何學(xué)中的重要地位

高等幾何的解法是基于克萊因提出來的想法深入理解的，即是以變換群的理論為中心，基于一些定理，再對平面內(nèi)的幾何知識進行解釋，通過對于歐式幾何，解析幾何，空間幾何，代數(shù)幾何等幾何的綜合，解決所需的幾何實際問題。在幾何學(xué)的歷史上，高等幾何有重要的總結(jié)前人的作用，代表了最高的幾何地位。

三、高等幾何與初等幾何的關(guān)系

高等幾何是一種通過觀察來解決幾何問題的方法，這種解決問題的幾何方式不僅僅抽象而且很難以理解，但是對于復(fù)雜的幾何模型，這種高等幾何的方式往往很有用處，然而對比于高等幾何而言，初等幾何是一種直觀的幾何方式，能夠很快速的測量出簡單的數(shù)學(xué)模型，得到最優(yōu)的解決方式。

（一）包含和被包含的關(guān)系

在幾何的歷史上，初等幾何是基于歐式幾何發(fā)展而來的。歐式幾何的定義是在正交變換下，圖形的形狀和性質(zhì)都保持不變的內(nèi)容。由于正交變換群是相似變換的一種，仿射變換群射影變換群的一種類型，在數(shù)學(xué)上可以表示為，歐式幾何包含于相似度幾何，相似度幾何包含于仿射幾何，仿射幾何包含于射影幾何。

歐式幾何的內(nèi)容思路可以分為射影性質(zhì)、射影不變量、仿射性質(zhì)、仿射不變量、相似性質(zhì)、相似不變量、磨量性質(zhì)、度量不變量等等，也就是說在內(nèi)容上，歐式幾何包含相似度幾何，相似度幾何包含仿射幾何，仿射幾何包含射影幾何。從以上可以得知，歐式幾何涉及的內(nèi)容在幾個幾何中最大，影射幾何所包含的內(nèi)容在幾個幾何中最小。不同幾何內(nèi)容在課堂上的教學(xué)重點也很不一樣，歐式幾何是通過對圖像的直觀描述，對于空間架構(gòu)的繪制最后開發(fā)人類的邏輯空間能力，讓學(xué)生一步一步地走上處理圖像之間的關(guān)系；解析幾何的重點在于對圖像的性質(zhì)研究，對空間幾何結(jié)構(gòu)組織描述；高等幾何在歐式幾何的基礎(chǔ)上上融合解析幾何的各種特點，也就是說高等幾何的學(xué)習(xí)可以讓我們的思考更加全面，分析更加透徹，明白的指導(dǎo)各種幾何之間存在的優(yōu)缺點，并合理搭配使用，因此高等幾何和初等幾何之間的關(guān)系是包含和被包含的關(guān)系。

（二）拓展和延伸

高等級和對于初等幾何而言，是一種知識和概念上的拓展和延伸。在概念上，中學(xué)生的學(xué)習(xí)知識中對于初等幾何也有一部分的研究，這是高等幾何的范疇。但是由于高等幾何等于中學(xué)生而言，涉及面太廣泛了，知識太充盈了，不能深入淺出的分析幾何問題，所以在中學(xué)階段一般不提倡使用高等幾何方式解題，在中學(xué)生的幾何知識中，主要涉及的是圓和曲線之類的簡單幾何圖案。因為初等幾何存在一些問題，對于很多的知識存在很大的局限性，無法很好的解釋一些獨特的現(xiàn)象，如果掌握了高等幾何，就可以利用高等幾何中的相關(guān)知識來觀察高等幾何與初等幾何之間的聯(lián)系和區(qū)別。

（三）提供理論依據(jù)

高等幾何中對中心投影、度量不變形、仿射不變性、射影不變量和二次曲線的射影性質(zhì)、等內(nèi)容都進行了分析和研究，這些都能為我們學(xué)習(xí)幾何學(xué)遇到的困難進行解答。比如我們會思考：一個圓形學(xué)遇到的困難進行解答。比如我們會思考：一個圓形可以用三個點唯一表示？在學(xué)習(xí)了初等幾何之后，我們無法利用這些只是解答我們的問題，但是學(xué)習(xí)和掌握了高等幾何知識之后，我們就可以找到這個答案。因此學(xué)習(xí)高等幾何可以提高我們解決問題的能力，促進我們在大幾何學(xué)范疇內(nèi)討論問題，理解問題，而不是單純的記住問題，可以對于所學(xué)的知識用到實處，提高學(xué)生的能力。

四、總結(jié)

綜上所述，高等幾何對初等幾何而言，有著重要的指導(dǎo)作用，在中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識的過程中，如果學(xué)會了高等幾何，那么在對于初等幾何的思路將會更加開闊和解法多樣化，而且在邏輯方式和三維空間分析能力上將會有大幅度的提升。高等幾何對于中學(xué)生而言，有助于加深對初等幾何的理解和概括能力，從而對于其中的問題將會有更加清晰的思路，這不再是掌握和模仿課本上的初等幾何知識，卻是提高思考問題的方式和解法，可以把這種方式應(yīng)用到別的學(xué)科，這些類比、等效、相似等等方式，可以促進中學(xué)生的空間想象能力，提升辯證唯物主義的思想，提高思想覺悟和邏輯思維，對于學(xué)生有大幅度的成績提升。

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