張杏

【摘要】 數(shù)學概念是數(shù)學學習的開始和基礎(chǔ)，任何數(shù)學學習都是始于概念的探討和研究的。因此，數(shù)學概念是學生學習其它數(shù)學知識的必要基礎(chǔ)，也是訓練和提高學生基本數(shù)學技能的重要環(huán)節(jié)。從教學實踐來看，變式教學是數(shù)學概念教學最為有效的方法之一，實際教學中，我們應(yīng)該做到具體情況具體分析，讓學生真正參與到教學之中，在對一個個變式的研究與討論過程中，實現(xiàn)自主完善、自我提高。教學變式的設(shè)計應(yīng)該注意呈現(xiàn)差異性，體現(xiàn)層次性，具有開闊性，彰顯靈活性。

【關(guān)鍵詞】 初中 代數(shù) 變式 問題

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2014）03-057-02

數(shù)學概念是數(shù)學學習的開始和基礎(chǔ)，任何數(shù)學學習都是始于概念的探討和研究的。就本質(zhì)而言，數(shù)學概念所反應(yīng)的是客觀事物的空間結(jié)構(gòu)與各組成部分之間的內(nèi)在關(guān)系，是人們經(jīng)過研究和實踐總結(jié)歸納出來的事物屬性的抽象概括，也是各種數(shù)學思想和數(shù)學方法的匯聚點。因此，數(shù)學概念是學生學習其它數(shù)學知識的必要基礎(chǔ)，也是訓練和提高學生基本數(shù)學技能的重要環(huán)節(jié)。從教學實踐來看，變式教學是數(shù)學概念教學最為有效的方法之一，以下筆者就來結(jié)合具體教學案例來談一談自己的看法，以饗讀者。

一、變式教學的相關(guān)概念

所謂“變式”，就是在不斷變更對象的非本質(zhì)屬性，而使學生更加注意事物的本質(zhì)特征，從變化之中找到不變，形成“公理化”的認識。所謂“變式教學”，就是指課堂教學過程中，以變換教學材料的組織方式，讓學生在不同的例題、習題和新舊知識的對比當中找到知識的本質(zhì)以及不同知識、概念之間的區(qū)別和聯(lián)系。由此來看，變式教學實質(zhì)上就是不斷變換題型、變換知識的表達形式和敘述方式，使學生從不同的角度來對相關(guān)、相近、相反的概念來進行對比分析，實際上就是一種對比教學法。其實，對于我國的數(shù)學教學來說，變式教學并不是一個新的概念，只是相關(guān)的理論梳理和實證研究工作做得不多?，F(xiàn)在，有關(guān)的研究都是以顧泠沅、馬登等人的變易原理和變式對比理論為基礎(chǔ)的。

變式教學實質(zhì)上就是為了促進學生有意義的學習。為了實現(xiàn)這一目的，教師就需要根據(jù)實際教學需要，綜合考慮教學內(nèi)容和學生的學習基礎(chǔ)，合理地設(shè)計教學變式，使學生從多個角度、多個側(cè)面來深入思考數(shù)學概念，增強教學活動的互動性和有效性，真正完成教學目標。

二、變式教學在初中數(shù)學概念教學中的應(yīng)用方式

對于初中數(shù)學概念教學來說，其根本任務(wù)是讓學生從來源上把握概念，并由此拓展概念的內(nèi)涵和外延，理解不同概念之間的關(guān)系，學會靈活地應(yīng)用概念來解決實際問題。根據(jù)概念的不同類型，我們可以將概念變式教學分為四類，即描述性概念、定義型概念、難理解概念和難想象概念。實際教學中，我們應(yīng)該做到具體情況具體分析，讓學生真正參與到教學之中，在對一個個變式的研究與討論過程中，實現(xiàn)自主完善、自我提高。

1. 應(yīng)用變式教學來進行描述性概念教學

概念的產(chǎn)生和描述方式不同，變式教學法的方法就有所不同。如數(shù)學概念當中并沒有明確的定義，而只是對其特征加以描述或列舉其不同表現(xiàn)形式、反例圖式等。對于此類概念，我們應(yīng)該針對其內(nèi)涵和外延，讓學生自主地思想，培養(yǎng)學生深刻的思維。當然，如果能使之建立具體事物、感性經(jīng)驗和抽象概念之間的聯(lián)系，則教學就會變得相當簡單和自然。相關(guān)的研究也表明，影響學生掌握代數(shù)概念的因素主要有三個，一是學生已有的數(shù)學知識，二是概念的敘述方式，三是為掌握概念所呈現(xiàn)的各種變式。以數(shù)軸的教學為例，教學經(jīng)驗豐富的教師往往會借助以下兩類變式來完成教學任務(wù)：一是通過生活實例來激活學生已有的感性經(jīng)驗，使其理解數(shù)軸的實際含義，如舉出兩人同時從同一地點以5米/秒的速度出發(fā)，向相反的方向行走，如何描述兩人兩秒后距離出發(fā)點的距離之類的問題就非常恰當；二是利用不同的生活生產(chǎn)實例作為變式，引導學生實現(xiàn)由直觀材料形成的感性經(jīng)驗到數(shù)學概念的升華和過度，使之掌握數(shù)軸的數(shù)學含義，準確把握數(shù)軸的數(shù)學外延。也就是說，在教學過程中應(yīng)該多舉實例，使學生從不同的生活實例當中找到數(shù)軸上數(shù)值正負的含義：方向不同。當然，在教學發(fā)展到一定階段之時，我們就可以擺脫數(shù)學概念所依賴的具體的或直觀的生活場景，使學生能通過自己的邏輯思維來理解數(shù)學概念的實質(zhì)了。而當學生的數(shù)學知識達到一定程度之后，甚至某些基本的數(shù)學概念成為其學習新概念的直觀變式。所以，我們這里所說的數(shù)學概念是抽象的還是具體的，是一個相對的概念。

2. 應(yīng)用變式教學來進行描述性概念教學

有些概念，在數(shù)學當中是有明確定義的，也就是說，教科書當中有明確的、陳述性的定義。對于這燈概念，我們應(yīng)該通過變式來引導學生主動地完成新概念與已有概念、特別是已有的相關(guān)概念之間的聯(lián)系，讓學生在將新概念與已有概念的對比和聯(lián)系當中體會新概念的本質(zhì)屬性，從而完成對新概念的理解，也就是要讓學生主動完成心理學上所說的概念的同化的過程。在此過程中，學生受知識水平和認知能力的限制，極有可能會在理解新概念時，加入自己主觀臆斷的成分。為避免這一情況產(chǎn)生的負作用，我們應(yīng)該結(jié)合自己的教學經(jīng)驗，以邏輯關(guān)系為依據(jù)來創(chuàng)設(shè)，利用概念的真命題、逆命題、否命題來引導學生發(fā)現(xiàn)錯誤的源頭，摒棄錯誤思想，樹立正確觀念。

對于那些學生難以接受的概念，我們不妨將相關(guān)甚至相對的概念放在一起，讓學生在自發(fā)的對比、對照過程中，了解各個概念之間的聯(lián)系與區(qū)別。初中代數(shù)當中的不少概念之間是相容和不相容的關(guān)系，而即使是相容的概念，其關(guān)系又可以分為從屬、交叉和同一三種關(guān)系。比如，自然數(shù)和正整數(shù)就是同一關(guān)系，算術(shù)平方根的平方要是從屬關(guān)系，而根式和方根則是交叉關(guān)系。我們在上述幾組概念的教學中，就要將對應(yīng)的概念加以對照比較，使之由表及里地理解相關(guān)概念。

只有學生深刻地理解了數(shù)學概念，才能為提高解題能力和實際應(yīng)用能力打下堅實基礎(chǔ)；反之，也只有經(jīng)過一系列的相關(guān)題目的訓練，學生才能更全面、更深刻地理解和掌握概念的內(nèi)涵和外延。在教科書和參考資料當中都有大量的例子，我們在教學中應(yīng)該充分利用起來。當然，學生在學習過程中，理解上出現(xiàn)的各種錯誤，也往往是我們重要的教學素材，如果能加以整理，則可形成針對性極強的訓練題目，再配合學生自主練習、小組討論、課堂交流、教師點評，則會使學生茅塞頓開、恍然大悟。

3. 應(yīng)用變式教學來突破難理解概念

教學實踐中，我們會經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，盡管有些概念在數(shù)學當中有明確的定義，通過教學之后，學生也能一字不落地背出來，定義當中各個詞語的意思學生也能對答如流，但是只要一做題就出錯，出了錯學生是一點就透、一說就明白。出現(xiàn)這種情況，就說明學生對概念的理解仍然只是表面的、淺層次的，而并沒有清楚地理解概念的實質(zhì)。此時，我們應(yīng)該變換教學角度，學生理解概念當中每一個修飾性詞語的深刻含義，當然，最好能再結(jié)合具體例子來使學生從正反兩個方面來重新認識概念，讓學生改變或者加深對概念的認識，使其對概念的理解更加具體、更有意義。

如對于二次根式，課本是這樣描述的：“一般地，式子■（a≥0）叫做二次根式。”這是一個典型的描述性的概念。在這一概念當中，式子■（a≥0）是作為整體來出現(xiàn)的，其中a≥0是二次根式的必要條件，教學過程中我們可以分別舉出a>0、a=0、a<0的例子來讓學生判斷是否屬于二次根式。再如，對于函數(shù)，初中代數(shù)當中是這樣定義的：“在某一變化過程中，有兩個變量x、y，在某一范圍內(nèi)，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與其相對應(yīng)，這時，就稱y是x的函數(shù)。這時，x是自變量，y是因變量?！睘榱思m正學生在理解上的偏差，我們可以從如下四個方面來逐層剖析：一是存在“某一變化過程”，這是變量存在的基礎(chǔ)；二是“有兩個變量x、y”，這表明函數(shù)所描述的是兩個變量之間的相互關(guān)系；三是“在某一范圍內(nèi)，如果對于x的每一個值”，這意在將變量x的值限制在某一范圍之內(nèi)，也就是說函數(shù)有意義所要滿足的條件；四是“y都有唯一的值與其相對應(yīng)”，也就是說x和y應(yīng)該是一一對應(yīng)關(guān)系。如此一來，層層深入，就會使學生理解，函數(shù)從本質(zhì)上來說就是一種一一對應(yīng)關(guān)系。

4. 應(yīng)用教學來突破難想象概念

在數(shù)學當中，不少概念看起來好像是簡單而且具體的，但是一旦應(yīng)用到實際情況當中，學生往往不知如何下手。實際上要解決這種情況，最好的辦法就是展示出概念產(chǎn)生的背景和經(jīng)常出現(xiàn)的方式，以實現(xiàn)概念的變式。

在初中代數(shù)當中，特別是涉及數(shù)軸、函數(shù)圖象等知識時，往往需要借助幾何圖形來理解概念或者解決相關(guān)問題，因此初中代數(shù)教學當中特別強調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想，以幫助學生正確地理解和應(yīng)用概念。如，我們在練習和考試當中常見與如下題目相類似的題目：

文具店、書店、服裝店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店的西邊30m處，服裝店在書店的東邊80m處，小明從書店出來沿街先向西走了20m，接著又向東走了100m，則小明此時的位置在（ ）

A. 文具店處 B. 書店東100m處

C. 服裝店處 D. 文具店東100m處

這一題目其實并不難，但對于初一學生而言，如果單憑想象，則往往不得要領(lǐng)。如果我們引導學生以書店為原點、以向東為正方向、以是1m為單位長度建立數(shù)軸，將題述情況畫到畫軸之上，則文具店、服裝店的位置分別可用-30、+80來表示。這校一來，小明從書店向西走了20m，接著又向東走了100m，則其位置正好處于+80，即小明所在位置為服裝店處。這樣做的話，學生就會完成由實際生活案例向代數(shù)知識的轉(zhuǎn)變，學會用代數(shù)知識來理解、描述和分析日常生活行為。

三、應(yīng)用變式教學需要注意的問題

如前所述，應(yīng)用變式教學來進行概念教學，方便實用，有利于促進學生對數(shù)學概念的全面理解，有利于提高學生的學習成績，有利于改變傳統(tǒng)的教學模式，更好地激發(fā)學生的自主思考，提高學生的學習興趣，激活學生的發(fā)散思想，特別適合基礎(chǔ)差、積極性新的學生在數(shù)學上有所發(fā)展。從這些方面來說，變式教學都是頗為符合新課程的要求的。但是，我們應(yīng)該注意，我們所說的變式教學絕不是為了“變式”而“變式”，而應(yīng)該以教學需要為依據(jù)，以學生認知規(guī)律和教學規(guī)律為準繩，有序、科學、合理地設(shè)計教學變式，讓學生在變式訓練的過程中，深化對知識的理解，將學科知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學能力，掌握數(shù)學技巧，真正完成“應(yīng)用——理解——形成技能和能力”的完整認知過程。所以，數(shù)學變式的設(shè)計要講究“巧”，要注意藝術(shù)性，要把握好“度”。一般說來，在數(shù)學概念教學中，教學變式的設(shè)計應(yīng)該注意以下幾個問題：

1. 呈現(xiàn)差異性。設(shè)計數(shù)學教學變式必須突出一個“變”字，不能是同一題目的簡單、機械地重復(fù)。當然，我們說突出“變”字，并不是說同一題組之間無任何聯(lián)系，而是同一題組之間的不同題目應(yīng)該有明顯的差異，只有這樣，學生在分析問題和解決問題的過程中感覺既熟悉又新鮮。從心理學的角度來看，只有新鮮的題目才能給學生以強烈的刺激，使之處于高度興奮狀態(tài)，集中注意力分析題目之間的不同，積極思考，主動探索，從而收到較好的訓練效果。所以我們說，在代數(shù)概念教學的變式設(shè)計中，應(yīng)該力爭做到變中求“活”，變中求“新”，變中求“異”，變中求“廣”。

2. 體現(xiàn)層次性。我們說概念變式教學所設(shè)計的問題不能過于簡單，讓學生一眼看穿，否則將無法調(diào)動學生思考的積極性。但是，在變式設(shè)計時，應(yīng)該遵循由易到難、逐步深入、層層遞進的原則，使一系列的問題總能處于學生思維能力的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。唯有如此，方能既保證學生的求知欲和好奇心，又使學生在解決和分析問題的過程中提升自身能力和素質(zhì)，能夠自主地跨過一個又一個“門坎”。

3. 具有開闊性。好的藝術(shù)作品，意境開闊方能令人回味無窮。教學設(shè)計也是如此。對于概念教學的變式設(shè)計來說，應(yīng)該給學生留下足夠的思考空間，使其有意猶未盡之感。要做到這一點，教學設(shè)計當中所引用的生產(chǎn)、生活實例和例題就要具備三個特點：一是與相關(guān)知識具有橫向聯(lián)系，能引起學生的聯(lián)想；二是題目延伸性強，可以實現(xiàn)一題多變，激起學生變中求統(tǒng)一的欲望；三是題目的分析與解決過程體現(xiàn)創(chuàng)造性和深刻性，對學生具有方法啟迪。

4. 彰顯靈活性。即變式設(shè)計應(yīng)該符合學生的學習實際，緊扣教學重點和難點，變式設(shè)計的方式靈活多樣，學生能夠在教師啟發(fā)下獨立完成探索過程，或者至少能夠半獨立地完成思考和討論。當然，根據(jù)教學內(nèi)容的不同，我們可以安排學生就數(shù)學概念的內(nèi)涵和外延分散訓練，也可以安排學生進行集中討論，甚至將對一個概念的掌握分為為若干個變式，讓學生體會知識的螺旋上升過程。這樣一來，就會吸引學生多種感官來參與學習，使其大腦和神經(jīng)始終處于高度興奮狀態(tài)，收到最佳的教學效果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]黃國芳，王國偉.概念的屬性變式對問題表征合理性的影響——基于個案的初步研究[J].中學數(shù)學雜志（高中版），2007（5）.

[2]田群向.變式教學在概念教學中的應(yīng)用[J].陜西教育，2011（9）.

[3]黃坪.新授課概念性變式教學的三個環(huán)節(jié)[J].數(shù)學通報，2012（2）.