林燕

摘 要： 本文對無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)及其性質(zhì)進(jìn)行學(xué)習(xí)探討，結(jié)合具體實(shí)例，將無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)與有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)進(jìn)行比較，探究兩者之間的區(qū)別和聯(lián)系.

關(guān)鍵詞： 有界變差函數(shù) 無限區(qū)間 有限區(qū)間

實(shí)變函數(shù)理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)誕生的標(biāo)志之一.有界變差函數(shù)是實(shí)變函數(shù)中一類重要的常用函數(shù)，具有很多好的性質(zhì)，與單調(diào)增函數(shù)和不定積分有著緊密的聯(lián)系.在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，有界變差函數(shù)是在考察弧長的存在問題時(shí)首先被引入的.有界變差函數(shù)在定積分概念的推廣中起著主導(dǎo)作用，在許多其他數(shù)學(xué)積分問題中也有著重要的意義.

常見的實(shí)變函數(shù)和微積分學(xué)教材（見文獻(xiàn)[1]-[3]），大多關(guān)注有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)，詳細(xì)探討有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)的各種性質(zhì)，但對無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)涉及較少.在深入學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)及其后續(xù)的實(shí)分析課程過程中，需要對無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)進(jìn)行研究，它具有一些與有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)相似的性質(zhì)，但兩者有一些不同之處.下面從無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)的定義和性質(zhì)出發(fā)，通過具體實(shí)例的探討，旨在幫助學(xué)生正確理解無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)與有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系.

1.無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)及其性質(zhì)

本文中將用R表示全體實(shí)數(shù)，用C表示全體復(fù)數(shù)，用N表示全體正整數(shù).

我們首先給出全變差函數(shù)的定義：

定義1[4]：設(shè)函數(shù)f∶R→C，令

綜上所述，無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)與有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)兩個(gè)概念之間既有區(qū)別又存在著聯(lián)系.教師在講授實(shí)變函數(shù)及其后續(xù)的實(shí)分析課程過程中，應(yīng)該以這兩個(gè)概念的定義為出發(fā)點(diǎn)，深入剖析兩者的基本性質(zhì)，并結(jié)合具體函數(shù)的例子，幫助學(xué)生正確理解無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)與有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)這兩個(gè)容易混淆的概念.

參考文獻(xiàn)：

[1]程其襄，張奠宙，魏國強(qiáng)，胡善文，王漱石.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論（第一版）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2001.

[3]菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程（第三卷）（第8版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]Gerald B.Folland.Real Analysis；Modern Techniques and Their Applications 2nd ed.[M].北京：世界圖書出版公司北京公司，2007.

資助項(xiàng)目：北京高等學(xué)校青年英才計(jì)劃項(xiàng)目（YETP0946）；北京市人才培養(yǎng)共建項(xiàng)目“數(shù)學(xué)系人才培養(yǎng)模式的改革與創(chuàng)新探索”；中國礦業(yè)大學(xué)（北京）2014年“大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練計(jì)劃”項(xiàng)目“線性算子理論及其應(yīng)用”。