田沛雨 鞠海燕

一、引言

新的高中數(shù)學課程標準中指出“使學生學會用數(shù)學的思考方式解決問題、認識世界”“要關(guān)注學生提出數(shù)學問題、分析問題、解決問題等過程的評價”等等，可見新課程理念中對數(shù)學解題的重視.傳統(tǒng)課堂上的解題，注重結(jié)果，強調(diào)正確答案；而在新課程理念倡導下“問題解決”則更加注重解決問題的過程、策略以及思維方法，強調(diào)學生在解決問題中情感、態(tài)度、價值觀的培養(yǎng).這些理念的提出對教師提出了更高的要求，教師就需要不斷尋找學生的思維障礙所在，探究障礙形成的原因，把握學生的認知過程，減少機械灌輸，實現(xiàn)高效的課堂教學.本文結(jié)合美國數(shù)學教育家杜賓斯基的APOS理論分析學生解題中的思維過程，探究其對高中數(shù)學習題課教學的幫助和啟示.

二、APOS理論在解題中的應用

1.高中學生的認知規(guī)律

APOS理論是在學生主動建構(gòu)知識的基礎(chǔ)上的學習理論，它強調(diào)學生的主動學習而不是被動接受，高中生已能夠有計劃有預見性地解決問題，元認知能力有了很大的提高，具有了很強的自我反省能力、遷移能力，理解能力已發(fā)展到了較高的水平，具備了能動的建構(gòu)知識的過程.

2.APOS理論在學生解題中的應用

以“求y=sinπ3-12x，x∈[-2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間”為例介紹一下APOS理論在學生解題過程中的應用.操作階段：題目類似于問題情境作用在學生身上，引起了學生思考如何求解這個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.過程階段：學生充分調(diào)動知識系統(tǒng)中的圖示解決題目的過程.審查、分析題目之后學生就會在思維中再現(xiàn)知識體系，從中尋找合適的圖示去解決問題.如果題目簡單，比如是定理或概念的直接運用，那么用已有的圖示就能順利地解決問題.如果題目稍微綜合一點，學生就會尋找和題目相關(guān)的圖示，有些題目不是直接考查定理、概念如何使用而是考查學生對定理、概念理解的過程，這時學生就需再現(xiàn)知識形成過程中的思維機制（此時實際是APOS理論逆用的過程），找到正確的理解過程.在這個題目中，學生首先會想到正弦函數(shù)的單調(diào)性，接著發(fā)現(xiàn)此題不單純是正弦函數(shù)的問題而是一個復合函數(shù)單調(diào)性的求解，學生就會從自己的認知結(jié)構(gòu)中尋找相關(guān)的對象：復合函數(shù)單調(diào)性如何判斷？知識提取和運用的過程也是學生不斷試誤的過程，這過程中的經(jīng)驗就會內(nèi)化到思維中，當學生糾正了錯誤的思路找到正確的思路時，學生就能壓縮整個過程得到對象——完整的解題思路.這次的解題經(jīng)驗就會和原有的認知結(jié)構(gòu)相融合而形成新的圖示.學生能用這時的圖示去解決類似的問題，不必再去重現(xiàn)調(diào)動知識的全過程.在這個APOS解題的過程中強化了學生對知識的理解、應用能力和實際動手操作的技能，以后就能熟能生巧.

三、APOS理論對教學活動的啟示

“在教育教學過程中，教育者要發(fā)揮自己的創(chuàng)造性，結(jié)合學生的反饋信息，竭力尋求應用理論解決實際教學問題的途徑和方法.”教師以理論武裝自己，讓理論與實踐達到完美的結(jié)合.APOS的理念有效地融入習題課堂需要教師走近學生，和學生有很好的信息交流和反饋，充分地把握學生的認知，才能在課堂上和學生達成共鳴.綜合以上分析得出幾點啟示：①對于復雜的題目，需要老師提綱挈領(lǐng)地展現(xiàn)大的知識框架，然后及時地發(fā)現(xiàn)學生出錯誤的小知識點即小的Object，有針對性地糾錯，從而修正學生思維結(jié)構(gòu)中的大的圖示；②通過APOS理論對解題思維障礙的展示，教師進行有針對性的講解，在課堂上重點突出，有的放矢；③根據(jù)學生的思維難點所在設(shè)置更加富有層次性、梯度性的題目，讓學生由易到難地接受知識；④把握住學生的思維障礙可以因勢利導地引導學生自我反思，有利于培養(yǎng)學生的反思能力；⑤通過把握學生的思維過程可以在解題中的不同環(huán)節(jié)加強數(shù)學思想和基本理念的培養(yǎng)，可以把握和引導學生的形象思維、直覺思維、邏輯思維；⑥在學生和教師的互動過程中教師應重視和鼓勵學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學生的問題意識，鼓勵學生提問、質(zhì)疑、釋疑，培養(yǎng)學生的探索精神.教師只有把握住學生解題過程中的思維障礙點，針對學生錯誤的階段強化講解和練習，才能達到高效的教學.

四、總結(jié)

習題課的講授不僅要讓學生學會具體題目的解法，而且要讓學生達到對知識的靈活運用，掌握數(shù)學思維和數(shù)學思想方法，通過習題加深對基本概念的理解，從而使概念完整化、具體化，牢固掌握所學的知識體系，完善頭腦中已有的認知結(jié)構(gòu).結(jié)合APOS理論的問題解決的過程，能很好地培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，激發(fā)學生的積極性；對教師把握問題的難度、學生的掌握知識的情況以及學生的思維障礙點很有用，讓課堂教學更有針對性.課堂情境的實施就是操作階段的進行，設(shè)置有層次、有梯度的問題情境對后續(xù)階段起著重要的作用，教師應通過習題的解決再現(xiàn)基本概念思維的過程，讓學生在解題中完善原有的認知結(jié)構(gòu)，給知識以總結(jié)，讓學生的知識得到升華.