田祥 李全忠
【摘要】定積分是高等數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一,本文以史為鑒,對(duì)定積分概念和N-L公式的教學(xué)進(jìn)行了一種新的嘗試,引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到定積分發(fā)展的軌跡,體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力.
【關(guān)鍵詞】無窮逼近;窮竭法;定積分
一、定積分教學(xué)中存在的問題
定積分的概念和N-L公式是定積分教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),但傳統(tǒng)的教學(xué)方式存在一定的不足.
首先,關(guān)于定積分概念的教學(xué),大部分教材是通過“分割,近似替代,求和,取極限”的方法求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程來導(dǎo)出定積分概念.這個(gè)過程對(duì)近似替代和取極限兩個(gè)關(guān)鍵步驟中的處理過于簡(jiǎn)單,導(dǎo)致學(xué)生對(duì)定積分概念中兩個(gè)“任意”和極限的唯一性等提法的合理性缺乏感性認(rèn)識(shí),還有該過程對(duì)定積分中蘊(yùn)含的“無窮逼近”數(shù)學(xué)思想展現(xiàn)得不夠.
其次,關(guān)于N-L公式的推導(dǎo),大部分教材利用原函數(shù)存在定理推導(dǎo)出N-L公式,該過程將主要精力放在了證明原函數(shù)存在定理上.對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說,這樣處理增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān).
二、定積分教學(xué)的新方法
定積分起源于求平面圖形的面積和其他一些類似的實(shí)際問題.例如,古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用窮竭法求出了圓的面積,我國(guó)劉徽提出的割圓術(shù),也是同一思想.德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨用dy表示曲線上相鄰點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差,用∫dy表示所有這些差的和,明確指出:∫意味著和,d意味著差,從和差的互逆關(guān)系可知∫和d的互逆關(guān)系,揭示了積分和不定積分深刻的內(nèi)在聯(lián)系.歷史上數(shù)學(xué)家們的這些樸素的想法,更貼近學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,極具教育上的價(jià)值.
筆者通過長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐與摸索,結(jié)合這些想法,打破常規(guī)思路,超越現(xiàn)行教材中的講解順序,對(duì)定積分教學(xué)進(jìn)行新嘗試.
(一)利用窮竭法,展示定積分中“無窮逼近”的思想
1.教學(xué)過程
2.教學(xué)意圖
(1)通過特例,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到不規(guī)則圖形的面積可以通過規(guī)則圖形的面積來逼近,深刻體會(huì)“無窮逼近”思想的魅力和威力.
(2)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到,特例中逼近方法依賴于圓的特殊結(jié)構(gòu),由特殊到一般的過程,使學(xué)生看到方法的演變與發(fā)展的軌跡.
(二)歸納總結(jié),導(dǎo)出定積分的概念
1.教學(xué)過程
(1)提出用任意分割底邊和用小區(qū)間上任意點(diǎn)的函數(shù)值作高的小矩形面積和的極限limλ→0∑ni=1f(ξi)Δxi都可以表示由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)和x軸以及x=a,x=b所圍成的曲邊梯形的面積.
(3)將曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程兩個(gè)問題歸結(jié)為求“非均勻分布總量的問題”,且類似的問題都可以這樣處理.
(4)給出定積分的概念.
2.教學(xué)意圖
(1)由于特例的演示,學(xué)生對(duì)定積分概念中兩個(gè)“任意”和極限的唯一性等提法的合理性便有了充分的感性認(rèn)識(shí),容易接受得多了.
(2)讓學(xué)生既認(rèn)識(shí)到定積分所能解決問題的特點(diǎn)及解決該類問題的思路,又認(rèn)識(shí)到提煉出定積分概念的必要性,為定積分的概念的引出做了充分的鋪墊.
(三)啟發(fā)探究,發(fā)現(xiàn)和證明N-L公式
1.教學(xué)過程
2.教學(xué)意圖
這個(gè)證明吸收了萊布尼茨用dy表示曲線上相鄰點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差,∫dy表示為所有這些差的和的這個(gè)想法,證明過程中只用了定積分的概念和拉格朗日中值定理,過程簡(jiǎn)單明了,易于接受.
三、結(jié)束語
該教學(xué)采用探究性的教學(xué)方法,以定積分的歷史發(fā)展脈絡(luò)為主線,從學(xué)生熟悉的問題入手,從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性,逐步揭示了定積分概念和N-L公式的內(nèi)涵和外延.該教學(xué)方法容易讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生親近感,使學(xué)生從以前的被動(dòng)學(xué)習(xí)演變?yōu)楝F(xiàn)在的主動(dòng)思考.注意這個(gè)教學(xué)方法并不一定適用于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生,但可以讓非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生充分理解定積分的思想,達(dá)到數(shù)學(xué)素質(zhì)培養(yǎng)的目的.