楊軍 張紅萍

【摘要】 教科書習(xí)題作為編者精心挑選的題目，具有代表性、前瞻性、可拓展性. 教師與學(xué)生在教學(xué)過程中，應(yīng)該注重將例題、習(xí)題多進(jìn)行變式應(yīng)用、挖掘、再探索，從而得到一般性的結(jié)論，為學(xué)生以后做練習(xí)題提供方便. 近年來本省中考題非常注重對課本習(xí)題、例題的考查，因此教學(xué)過程中應(yīng)更加注重對例題、習(xí)題的拓展、延伸. 以下本人就此談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)拙見.

【關(guān)鍵詞】 中考；試題；距離；三角函數(shù)

一、中考試題展示

2010年甘肅省中考試題第25題如下：

如圖1，李明在東西方向的濱海路A處，測得海中燈塔P在北偏東60°方向上，他向東走400 米至B處，測得燈塔P在北偏東30°方向上，求燈塔P到濱海路的距離. （結(jié)果保留根號(hào)）

二、回歸課本探究

解答上面的中考試題對于當(dāng)年參加中考的我校多數(shù)學(xué)生而言并不是很困難，本題在中考卷中屬于中等題型，區(qū)分度、難度系數(shù)設(shè)置合理. 我覺得解答本道題目前，只要我們師生認(rèn)真學(xué)習(xí)了北師大版九年級《數(shù)學(xué)》（下）第23頁第四節(jié)內(nèi)容“船有觸礁的危險(xiǎn)嗎”，并且將本節(jié)內(nèi)容做適當(dāng)?shù)耐卣?、延伸和變式，解答以上題目便是“小菜一碟”. 我們先來看教科書引題：

如圖2，海中有一小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁. 今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后貨輪繼續(xù)向東航行. 問：你認(rèn)為貨輪會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？

分析 由題意知，過點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC所在的直線于點(diǎn)D，求出AD，若AD > 10則不會(huì)觸礁，反之則會(huì)發(fā)生危險(xiǎn).

解 由圖知：∠BAD = 55°，∠CAD = 25°，由三角函數(shù)定義，在Rt△ABD中，tan∠BAD = = ①；

在Rt△ACD中，tan∠CAD = ②.聯(lián)立①②可得：

AD = ，由題意，BC = 20，

∴ AD = ≈ 20.8（海里） > 10（海里）.

∴ 貨輪繼續(xù)向東航行，不會(huì)有觸礁的危險(xiǎn).

反思點(diǎn)評：解答本題應(yīng)用了三角函數(shù)正切概念，巧妙地采用了“設(shè)而不求”法. 在①②式中，若采用消元法求解AD實(shí)在太麻煩，我們直接將②式整體代入①式中，省去了許多解題步驟，節(jié)省了時(shí)間，提高了效率. 至此本題解答完畢，難道就萬事大吉了？其實(shí)不然，我們仔細(xì)觀察上述解題以及AD的表達(dá)式，我們可以得到一個(gè)一般性的結(jié)論或公式. 在上圖中，設(shè)BC = a，∠BAD = α，∠CAD = β，那么點(diǎn)A到BC所在直線距離可由公式AD = ③直接求得，從而達(dá)到事半功倍的效果.

∴ 中考題中，過點(diǎn)P作AB所在直線的垂線，垂足為點(diǎn)C，a = 400，α = 60°，β = 30°.

∴ 燈塔P到濱海路的距離由公式③得：

PC = = = 200（米）.

三、推導(dǎo)公式變式運(yùn)用：北師大版實(shí)驗(yàn)教科書九年級《數(shù)學(xué)》（下）P23“想一想”

解析 燈塔的高度由公式③，得

DC =

= = 25（m）.

四、題后反思總結(jié)

課本是中考試題來源之一，每年中考試題中的不少選擇、填空題型在教材中都有原型，有些綜合題也是課本中的例題、習(xí)題演變、引申、變化而來的. 尤其是初中新課程實(shí)施以來，教材中的例題、習(xí)題是編者反復(fù)推敲多次篩選后的精品題，具有典型性、示范性和明確的針對性，包含了重要的數(shù)學(xué)思想、知識(shí)、方法，所以回歸課本是提高備考效率的有效途徑. 但回歸課本不等于重新學(xué)習(xí)課本，而是要吃透教材、用活教材，需要站在思想與方法、練習(xí)與區(qū)別的高度去把握課本中的概念、定義、定理、公式、例題和習(xí)題，多做變式與適當(dāng)拓展，才能更有效地提高復(fù)習(xí)效率.