趙銀倉

重點難點

重點 ?掌握空間幾何體三視圖的畫法規(guī)則，能夠畫出簡單空間幾何體（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐等的簡單組合體）的三視圖，能識別上述幾何體的三視圖所表示的空間幾何體的模型，并用三視圖解決一些簡單的綜合問題.

難點 ?識別空間幾何體（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐等的簡單組合體）的三視圖所表示的幾何體.

方法突破

一、畫空間幾何體的三視圖的基本思路

（1）掌握畫空間幾何體的三視圖的兩個基本步驟：第一步，確定三個視圖的形狀;第二步，將這三個視圖擺放在同一平面上. 在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分的輪廓用虛線表示出來，即“眼見為實，不見為虛”.

（2）掌握畫空間幾何體的三視圖的畫法規(guī)則：長對正、寬相等、高平齊，即正視圖和俯視圖的“長對正”，側(cè)視圖和俯視圖的“寬相等”. 正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”.

（3）弄清三視圖與空間幾何體的幾何量之間的關(guān)系：空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖的長就是空間幾何體的最大長度，側(cè)視圖、俯視圖的寬就是空間幾何體的最大寬度. 要嚴(yán)格按照這個規(guī)則畫空間幾何體的三視圖.

二、畫空間幾何體的三視圖的基本策略

（1）理解三視圖的概念，并能恰當(dāng)選擇投影面畫出三視圖.

（2）明確平行投影的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用：①直線或線段的平行投影仍是直線或線段;②平行直線的平行投影是平行或重合的直線;③平行于投影面的線段，它的投影與這條線段平行且等長;④與投影面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等;⑤在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比.

（3）明確正投影的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用. 在物體的平行投影中，如果投影線正對著投影面（即投影線與投影面垂直），這樣平行投影即為正投影. 正投影除具有平行投影的性質(zhì)外，還有如下性質(zhì)：①垂直于投影面的直線或線段的正投影是點;②垂直于投影面的平面圖形的正投影是直線或直線的一部分.

（4）在進行三視圖與直觀圖的相互轉(zhuǎn)化中，應(yīng)牢記柱、錐、臺、球圖形的特征及斜二側(cè)畫法的規(guī)則和正投影的性質(zhì)，特別注意側(cè)視圖的投影方向.

（5）注意投影規(guī)律和作圖規(guī)則. 作圖要熟記投影規(guī)律：“正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬”. 作圖時切記被遮擋的部分要畫成虛線.

典例精講

一、畫圖

例1 ?（2014年高考江西卷）一個幾何體的直觀圖如圖1所示，下列給出的四個俯視圖中正確的是（ ? ?）

圖1

A ? ? ? B ? ? ? C ? ? ? D

思索 ?由于該幾何體的底面是水平放置的，所以俯視圖為光線從幾何體的上面向下面正投影到底面上的圖形. 弄清各個頂點在底面上的投影，因為每個點都是可見的，所以連結(jié)線都為實線.

破解 ?根據(jù)給出的圖形及四個選項知，此幾何體的底部為長方體，所以俯視圖為矩形;上部兩個頂點的投影在矩形內(nèi)，且連線與橫向平行，所有線段都為可見線段，故選B.

例2 ?（2014年高考北京卷）在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1， ）. 若S1，S2，S3分別是三棱錐D-ABC在xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（ ? ?）

A. S1=S2=S3

B. S2=S1且S2≠S3

C. S3=S1且S3≠S2

D. S3=S2且S3≠S1

思索 ?根據(jù)三視圖的畫法規(guī)則，過每個點分別畫所研究投影面上的投影，連線即得所在平面上的投影，即視圖，然后由視圖的圖形特點計算其面積.

破解 ?由題知，三棱錐D-ABC在平面xOy上的投影為△ABC，所以S1=2;設(shè)D在平面yOz、平面zOx上的投影分別為D2，D1，則D-ABC在平面yOz、平面zOx上的投影分別為△OCD2，△OAD1，因為D1（1，0， ），D2（0，1， ），所以S2=S3= ，因此D正確.

二、識圖

例3 ?（2014年高考重慶卷）某幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的表面積為（ ? ?）

A. 54 ?B. 60 ?C. 66 ?D. 72

思索 ?解題的關(guān)鍵是通過三視圖想象原空間幾何體，其依據(jù)是三視圖的畫法規(guī)則. 由三個視圖的圖形特征及聯(lián)系，可確定原幾何體分為兩部分：下部分是三棱柱，上部分是四棱錐，三棱柱的上底面是四棱錐的一個側(cè)面，且為直角三角形，由三視圖中標(biāo)注的量可得到原幾何體中長度的度量，由此來計算其表面積.

圖2

破解 ?由畫法規(guī)則還原幾何體的形狀，可知這個幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱上面去掉一個三棱錐后一部分，如圖3. 其中∠BAC=90°，側(cè)面A1ACC1是矩形，其余兩個側(cè)面都是直角梯形. 由于A1C1∥AC，AC⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥平面ABB1A1，A1C1⊥平面ABB1A1，所以A1C1⊥A1B1，因而△A1B1C1是直角三角形. A1B1= = =5，故幾何體的表面積為：S=S△ABC+S△A B C +S +S +S = ×3×4+ ×3×5+3×5+ ×（5+2）×4+ ×（5+2）×5=60. 故選B.

圖3

三、綜合

例4 ?（2014年高考北京卷）某三棱錐的三視圖如圖4所示，則該三棱錐最長棱的棱長為________.

圖4

思索 ?由三視圖可知，該三棱錐有一條側(cè)棱與底面垂直，因此可根據(jù) “正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬” 及圖中的數(shù)據(jù)推斷出該三棱錐的底面是等腰直角三角形，其形狀如圖5所示，可通過計算求解.

圖5

破解 ?如圖5，側(cè)棱PB⊥底面ABC，且底面△ABC是等腰直角三角形. 底面三角形的邊長不能為最大，最大只能在側(cè)棱中. 因為側(cè)面△PAB與側(cè)面△PBC都是直角三角形，且有一條公共的直角邊，又因為AB=2，CB= ，所以PA>PC， PA= = =2 ，所以最長的棱長為2 .

例5 ?（2014年高考四川卷）已知三棱錐A-BCD及其左視圖、俯視圖如圖6所示. 設(shè)M，N分別為線段AD，AB的中點，P為線段BC上的點，且MN⊥NP.

（1）證明：P是線段BC的中點;

（2）求二面角A-NP-M的余弦值.

圖6

思索 ?根據(jù)三視圖的特征知，俯視圖為三棱錐的底面，而左視圖為三棱錐的一個側(cè)面，且這兩個面互相垂直，都是邊長為2的等邊三角形.

破解 ?（1）如圖7所示，取BD的中點O，連結(jié)AO，CO. 由側(cè)視圖及俯視圖知，△ABD，△BCD均為正三角形，所以AO⊥BD，OC⊥BD. 因為AO，OC 平面AOC，且AO∩OC=O，所以BD⊥平面AOC. 又因為AC 平面AOC，所以BD⊥AC.取BO的中點H，連結(jié)NH，PH. 又M，N，H分別為線段AD，AB，BO的中點，所以MN∥BD，NH∥AO，因為AO⊥BD，所以NH⊥BD. 因為MN⊥NP，所以NP⊥BD. 因為NH，NP 平面NHP，且NH∩NP=N，所以BD⊥平面NHP. 又因為HP 平面NHP，所以BD⊥HP. 又OC⊥BD，HP 平面BCD，OC 平面BCD，所以HP∥OC. 因為H為BO的中點，所以P為BC的中點.

（2）二面角A - NP - M的余弦值是 ，過程略.

圖7

變式練習(xí)

1. （2014年高考福建卷）某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（ ? ?）

A. 圓柱 ?B. 圓錐

C. 四面體 ?D. 三棱柱

2. （2014年高考浙江卷）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖8所示，則此幾何體的表面積是（ ? ?）

圖8

A. 90cm2 ?B. 129cm2

C. 132cm2 ?D. 138cm2

3. （2014年高考遼寧卷）某幾何體的三視圖如圖9所示，則該幾何體的體積為（ ? ?）

A. 8-2π ?B. 8-π

C. 8- ? D. 8-

4. （2014年高考全國卷I）如圖10，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（ ? ?）

A. 6 ?B. 6

C. 4 ?D. 4

圖10

5. （2014年高考安徽卷）一個多面體的三視圖如圖11所示，則該多面體的表面積為（ ? ?）

A. 21+ ? ?B. 18+

C. 21 ? D. 18

圖11

6. （2014年高考陜西卷）四面體ABCD及其三視圖如圖12所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點E，F(xiàn)，G，H.

（1）求四面體ABCD的體積;

（2）證明：四邊形EFGH是矩形.

圖12

參考答案

1. A ? ?2. D ? ?3. B ? ?4. B

5. A ? ?6. （1） ? （2）略