郭紅清

摘 要：高中數(shù)學(xué)中線性規(guī)劃的教學(xué)和考查充分凸顯了代數(shù)和幾何的結(jié)合，在教學(xué)中應(yīng)突出線性規(guī)劃問題的基本特征和解題規(guī)律. 本文選取了近年來相關(guān)的優(yōu)秀試題進(jìn)行針對剖析，從更高層次、更寬角度審視線性規(guī)劃的教學(xué)地位和思想方法.

關(guān)鍵詞：基本問題；平面區(qū)域；約束條件；目標(biāo)函數(shù)；雙變量；轉(zhuǎn)化化歸

線性規(guī)劃的研究內(nèi)容可歸納為兩個方面：一是系統(tǒng)的任務(wù)已定，如何合理籌劃，精細(xì)安排，用最少的資源（人力、物力和財(cái)力）去實(shí)現(xiàn)這個任務(wù)；二是資源的數(shù)量已定，如何合理利用、調(diào)配，使任務(wù)的完成數(shù)最多.

“線性規(guī)劃”在知識的整合、解題思路的拓展、方法的遷移等方面都有其鮮明的特點(diǎn)，有著豐富的思想內(nèi)涵. 挖掘題中條件，不失時機(jī)地運(yùn)用“線性規(guī)劃”的思想方法解題，將使我們觀察思考問題的立意更高，視野更加開闊.

“線性規(guī)劃”問題的教學(xué)現(xiàn)狀

在中學(xué)教材中，稱求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題為線性規(guī)劃問題. “線性規(guī)劃”的教學(xué)分為三個層次：

（1）二元一次不等式表示的平面區(qū)域；

（2）二元一次不等式組表示的平面區(qū)域；

（3）線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最值.

只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決.

例如：設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，則z=2y-x+4的最大值是__________.

上述問題可轉(zhuǎn)化為一個平面區(qū)域與一條直線在有公共點(diǎn)的前提下，結(jié)合z的幾何意義來求解.

具體教學(xué)過程中，學(xué)生感覺有困難的部分是作圖環(huán)節(jié)，體現(xiàn)在速度慢，不夠準(zhǔn)確. 如何準(zhǔn)確有效地作出所需圖形，應(yīng)給予學(xué)生充分的指導(dǎo)、訓(xùn)練和體驗(yàn). 學(xué)生作圖時會出現(xiàn)過于細(xì)致的問題，如逐步描繪坐標(biāo)系刻度；又或出現(xiàn)過于輕率的問題，連圖形的形狀和基本特征都無法抓住.這兩個問題都使解題的速度和準(zhǔn)確性大打折扣.

當(dāng)然，線性規(guī)劃是一個比較深入的課題，教材中也介紹了更多變量的線性規(guī)劃問題，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí).

線性規(guī)劃問題的考查特點(diǎn)與趨勢

1. 轉(zhuǎn)化成基本線性規(guī)劃問題

常規(guī)考題考查知識與技能，但還需要學(xué)生有一定的轉(zhuǎn)化和化歸意識，命題者會在行文敘述、符號變化、算式特征等方面設(shè)置一定障礙，需要解題者對得到的信息加工出熟悉的數(shù)學(xué)模型.

例1 （江蘇2013年9題）拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)镈（包含三角形內(nèi)部和邊界）. 若點(diǎn)P（x，y）是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x+2y的取值范圍是__________.

分析：本題以拋物線的切線為背景，以文字?jǐn)⑹龅姆绞教峁┝丝尚袇^(qū)域，題中曲線切線利用導(dǎo)數(shù)可得.

解決：求導(dǎo)得y′=2x，切線方程為y=2x-1 ，轉(zhuǎn)化為等價的基本問題：約束條件為x≥0，y≤0，y≥2x-1，目標(biāo)函數(shù)z=x+2y. 作出圖形，易知z的取值范圍為-2，.

例2 設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，則的最大值是__________.

分析：如何將其化歸成基礎(chǔ)問題，找到未知問題和基本題之間的橋梁是破解的關(guān)鍵.

解法一：整體代換，令xy2=m，=n，

那么==，轉(zhuǎn)化為等價問題：約束條件為3≤m≤8，16≤N≤81.目標(biāo)函數(shù)為z=，z幾何意義為對應(yīng)區(qū)域內(nèi)動點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，易得最大值為27.

解法二：將除法轉(zhuǎn)變?yōu)楹突虿?，題中代數(shù)式兩邊都取以2為底的對數(shù)，令log2x=A，log2B=y. 轉(zhuǎn)化為等價問題：約束條件為log23≤A+2B≤3，2≤2A-B≤2log23，目標(biāo)函數(shù)為z=3A-4B，可行區(qū)域如圖，容易求得z的最大值為3log23，那么=2z的最大值是27.

圖2

點(diǎn)評：解法一采用了整體換元，解法二采用了取對數(shù)化積為和、化除為差，通過轉(zhuǎn)化和化歸轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決過的基本問題.

2. 線性規(guī)劃問題的拓展延伸

（1）線性規(guī)劃問題中目標(biāo)函數(shù)的拓展

熟悉線性規(guī)劃基本題還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，深刻把握它的數(shù)學(xué)特點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想，在實(shí)際處理問題中將未知問題轉(zhuǎn)化為基本題才更重要. 那么該類問題的基本特點(diǎn)是什么，常見問題是什么？只有清楚這些，我們才能在實(shí)際處理過程中及時、敏銳地轉(zhuǎn)化問題，達(dá)到解決問題的目的.

以下提供最常見的基本類型；

約束條件：實(shí)數(shù)x，y滿足y≤x，y≥0，2x-y≤2，可行區(qū)域如圖3.

圖3

目標(biāo)函數(shù)（1）：z=3x+y的最大值是__________，z的幾何意義即直線y=-3x+z的縱截距；

目標(biāo)函數(shù)（2）：z=的最大值是__________，z的幾何意義即可行區(qū)域內(nèi)動點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)（-1，0）所連直線的斜率；

目標(biāo)函數(shù)（3）：z=的最大值是__________，z的幾何意義即可行區(qū)域內(nèi)動點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)（0，1）之間的距離.

與線性規(guī)劃相關(guān)的問題普遍具有一些基本特征，主要表現(xiàn)為已知條件是含“雙變量”的不等關(guān)系，目標(biāo)任務(wù)為代數(shù)式的最值或取值范圍問題. 可解決的目標(biāo)函數(shù)也不一定是線性代數(shù)式，可以為其他類型.常見的可以為乘積或比值形式、二次或根式形式，甚至可以用向量等給出的代數(shù)式. 也不一定拘泥于目標(biāo)函數(shù)的最值問題，也可成為以可行區(qū)域?yàn)楸尘暗拿娣e、向量、概率等問題.

（2）線性規(guī)劃問題中約束條件的拓展

我們可以將它的數(shù)學(xué)思想拓展得更寬. 約束條件不一定要是線性約束條件，相應(yīng)的平面區(qū)域也可以為直線、圓、曲線等構(gòu)成的復(fù)合形態(tài).

例如：實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則x+y的最大值是__________.

此題可行區(qū)域可認(rèn)為是圓，可視為曲線圓與直線x+y=m有公共點(diǎn). 由此看來，約束條件的給出有了更大的空間，線性規(guī)劃這個知識點(diǎn)也更容易滲透到其他數(shù)學(xué)知識點(diǎn)中.

例3 若a>0，b>0且+=1，則a+2b的最小值為__________.

分析：題目涉及兩個變量的等量關(guān)系，可以考慮減元處理，已由代數(shù)式整理得a=-b++1，結(jié)合基本不等式解決a+2b的最小值；也可以考慮其幾何意義，視作以b為自變量的函數(shù)，那么P（b，a）為函數(shù)圖象上的每一個點(diǎn).

圖4

解決：a=-b++1，令z=a+2b，z表示此直線的縱截距.當(dāng)直線與曲線相切時z最小，此時a′=-2.求導(dǎo)a′=-1-，所以b=，a=-++1=+，所以a+2b=+.

例4 （江蘇2012年14題）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是__________.

分析：此題和基本問題的相似度極高，已知條件含有3個變量，而且目標(biāo)函數(shù)為比值形式，有明確的幾何意義. 由代數(shù)式clnb≥a+clnc的邏輯計(jì)算知ln≥，由此得到轉(zhuǎn)化的突破口，可轉(zhuǎn)化為兩個變元.

圖5

解決：已知兩個不等式同除c得到5-3≤≤4-，ln≥.記=x，=y，

轉(zhuǎn)化為等價問題：

約束條件為x，y>0，5-3x≤y≤4-x，lny≥x？圳y≥ex，目標(biāo)函數(shù)k==.

作出圖形，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=ex過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線為y=ex，發(fā)現(xiàn)切點(diǎn)T（1，e）在可行區(qū)域內(nèi). 綜上，直線y=kx過C點(diǎn)時k最大，與曲線y=ex相切于點(diǎn)T時k最小. 所求取值范圍為[e，7].

圖6

點(diǎn)評：三變量的問題轉(zhuǎn)化為兩變量問題，該問題的解決具有一定的代表性.由已知代數(shù)式還可以考慮同除a或b進(jìn)行轉(zhuǎn)化，不是每一個轉(zhuǎn)化都適合，但有些轉(zhuǎn)化又是相通和可行的，因此求解時需要一定的嘗試和觀察.

3. 線性規(guī)劃問題的知識遷移

有些數(shù)學(xué)問題并無明顯的線性規(guī)劃痕跡，卻也可以轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃的基本問題，比如解析幾何、函數(shù)、數(shù)列等含有多個變量的數(shù)學(xué)問題可采用線性規(guī)劃的方法來求解. 以下試題立足于課本，但高于課本，題目充分體現(xiàn)了命題教師的高瞻遠(yuǎn)矚，而反過來又對高中的教學(xué)提出更高要求.

例5 （江蘇2011年14題）設(shè)集合A=（x，y）≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R，B={（x，y）2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.

分析：兩集合為點(diǎn)集，交集非空.思考難度超越課本，類比線性規(guī)劃，將其轉(zhuǎn)化為兩個平面區(qū)域有公共點(diǎn)，同時本題的計(jì)算量大.

解決：集合A對應(yīng)區(qū)域?yàn)镈1，集合B對應(yīng)區(qū)域?yàn)镈2，D2容易認(rèn)識為兩平行直線確定的帶狀區(qū)域. 由區(qū)域D1非空可知m2≥，求得m≤0或m≥.

（1）m=0區(qū)域D1收縮為一點(diǎn)，容易判斷不滿足要求；

（2）m≠0區(qū)域D1又分為兩種情況，當(dāng)m<0時D1表示一個半徑為-m的圓，當(dāng)m>0時表示兩個同心圓確定的環(huán)形區(qū)域.不論哪種情況，要滿足題意，只需要保證圓（x-2）2+y2=m2和直線x+y=2m或直線x+y=2m+1其中之一有公共點(diǎn). 圓心到兩直線距離分別為d1和d2，且d1=，d2=. 所以d1≤r=m或d2≤r=m，容易解得m∈1-，2+，綜合以上分析，實(shí)數(shù)m的取值范圍是，2+.

點(diǎn)評：問題描述采用了幾何語言，解決思路和線性規(guī)劃有類似之處，同時解析幾何背景很強(qiáng)，充分考查了直線和圓的位置關(guān)系，而且分析時利用分類討論細(xì)化，處理時又不討論集中解決，思維跳躍度很大.

例6 已知a，b為常數(shù)，a≠0，函數(shù)f（x）=a+ex. 若f（2）<0，f（-2）

分析：此題僅僅從表象上看到已知條件對變量a，b作了限制，與線性規(guī)劃知識點(diǎn)的相關(guān)性相當(dāng)隱蔽. 該題目變量的關(guān)系相互依賴性較強(qiáng)，關(guān)鍵從已知條件合理的抽離出最有效約束條件.

圖7

解決：由f（2）<0，f（-2）0，b<0，2a+b<0，2a-b<2，4a+b≥0，點(diǎn)（a，b）形成的平面區(qū)域如圖7為△OAB，面積易得為.

點(diǎn)評：g（x）=ax2+bx-b≥0恒成立分析較難，考慮不等式成立的必要條件攻克了這個難點(diǎn)，根據(jù)代數(shù)式的依存關(guān)系得到約束條件，畫出圖形，所求面積視為兩個三角形面積差.

以上可以看出這些問題和教材中很多知識點(diǎn)綜合，都需要學(xué)生具備良好的知識遷移能力. 包括高考在內(nèi)的眾多考題都或多或少地含有線性規(guī)劃知識或思想的若干部分，這樣的考題都具備一定的難度，成為命題的熱點(diǎn)題型，在考試中層出不窮.

教學(xué)感悟與思考

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，是最常見和最行之有效的思想方法. 線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)學(xué)結(jié)合”思想的有效載體，可以和函數(shù)、數(shù)列、向量、解析幾何等知識交匯，形成一些讓人耳目一新、具有創(chuàng)意的題目和解法.

因此在教學(xué)時，切忌操之過急，作圖過程中要肯投入時間，要讓學(xué)生有體驗(yàn). 在解決問題時要注重學(xué)生知識的建構(gòu)，建立在理解的基礎(chǔ)上傳授知識，滲透數(shù)學(xué)思想，不能變成灌輸式的教學(xué). 否則，學(xué)生只能解決數(shù)學(xué)課本上的基本問題，不能完成知識的遷移.