張?jiān)?/p>

摘 要：解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的重要學(xué)科. 解析幾何中的直線過定點(diǎn)問題，有關(guān)定值（最值）問題正在成為各級考試的熱點(diǎn)，備受命題者的青睞. 本文利用研究圓錐曲線性質(zhì)的一般方法：設(shè)方程，聯(lián)立方程組，消元，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求法，得到了圓錐曲線中滿足一定條件的直線過定點(diǎn)的一組優(yōu)美的統(tǒng)一性質(zhì).

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；過定點(diǎn)；統(tǒng)一性質(zhì)

圓錐曲線有著眾多的優(yōu)美性質(zhì)，只要我們善于探究和思考，就會發(fā)現(xiàn)它，它如同一道美麗的風(fēng)景愉悅了我們的身心.在對圓錐曲線的研究中，筆者發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的一組優(yōu)美統(tǒng)一的性質(zhì)，現(xiàn)敘述如下：

性質(zhì)1 設(shè)A，B是拋物線y2=2px（p>0）上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA，OB的傾斜角分別為α，β，且α+β=，則直線AB恒過定點(diǎn)M（-2p，0）.

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意得x1≠x2（否則α+β=π）且x1x2≠0，所以直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，則將y=kx+b與y2=2px聯(lián)立消去y，得k2x2+（2kb-2p）x+b2=0，由韋達(dá)定理得x1x2=. 當(dāng)α+β=時(shí)，tanαtanβ=1，所以·=1，即x1x2=y1y2. 又y1y2==2p，所以=2p，=2p，b=2pk. 因此直線AB的方程為y=kx+2pk，即y=k（x+2p）. 所以直線AB恒過定點(diǎn)M（-2p，0）.

性質(zhì)2 設(shè)A，B是橢圓+=1（a>b>0）上異于頂點(diǎn)A1（-a，0）的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線A1A，A1B的傾斜角分別為α，β，且α+β=，則直線AB恒過定點(diǎn)M-，0.

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意得x1≠x2（否則α+β=π）且x1≠-a，x2≠-a，所以直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，則將y=kx+t與+=1聯(lián)立消去y，得b2x2+a2（kx+t）2-a2b2=0，整理得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0. 由韋達(dá)定理得x1+x2=，x1x2=，于是y1y2=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2=.

又因?yàn)棣?β=，所以tanαtanβ=1，從而·=1，即x1x2+a（x1+x2）+a2=y1y2. 又將x1+x2=，x1x2=，y1y2=代入上式并整理得（t-ak）[（a2-b2）t-ak（a2+b2）]=0，易知t-ak≠0，所以t=，因此直線AB的方程為y=kx+，

即y=kx+，所以直線AB恒過定點(diǎn)M-，0.

性質(zhì)3 設(shè)A，B是雙曲線-=1（a>0，b>0）上異于頂點(diǎn)A1（-a，0）的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線A1A，A1B的傾斜角分別為α，β，且α+β=，則直線AB恒過定點(diǎn)M-，0.

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意得x1≠x2（否則α+β=π）且x1≠-a，x2≠-a，所以直線AB的斜率存在. 設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，則將y=kx+t與-=1聯(lián)立消去y，得b2x2-a2（kx+t）2-a2b2=0，整理得（a2k2-b2）x2+2a2ktx+a2t2+a2b2=0. 由韋達(dá)定理得x1+x2=，x1x2=，于是y1y2=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2=.

又因?yàn)棣?β=，所以tanαtanβ=1，從而·=1，即x1x2+a（x1+x2）+a2=y1y2. 又將x1+x2=，x1x2=，y1y2=代入上式并整理得（t-ak）[（a2+b2）t-ak（a2-b2）]=0，易知t-ak≠0，所以t=，因此直線AB的方程為y=kx+，

即y=kx+，所以直線AB恒過定點(diǎn)M-，0.