歐陽異能 楊婷

【摘要】 結(jié)合線性代數(shù)課程特點，引入計算軟件MATLAB輔助教學(xué)，探討MATLAB在線性代數(shù)中的矩陣運算、行列式計算、向量組的線性相關(guān)性、線性方程組求解以及特征值和特征向量等若干問題方面的應(yīng)用，以期提高教學(xué)質(zhì)量，改進教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】 矩陣；線性方程組；特征值；MATLAB

線性代數(shù)課程是高等學(xué)校的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，是用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的一個強有力的工具，廣泛地應(yīng)用于信號處理、系統(tǒng)控制、電子通信等學(xué)科領(lǐng)域. 線性代數(shù)課程除了培養(yǎng)學(xué)生的基本運算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力外，還應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力與數(shù)值計算能力，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)方法解決實際問題，并能利用計算機進行一定的科學(xué)計算.

目前傳統(tǒng)的線性代數(shù)教材仍然是以理論為主導(dǎo)，偏重理論體系的系統(tǒng)性、完整性，過多強調(diào)證明和推導(dǎo)，卻忽視了概念、原理和模型的實際背景，缺乏解決實際問題的訓(xùn)練. 再加上課程本身所固有的抽象性和計算的繁瑣性，學(xué)習(xí)興趣不高，針對線性代數(shù)課程的這些特點，必須對現(xiàn)有的教學(xué)模式進行改革. 利用計算機軟件輔助教學(xué)，既能提高教學(xué)效率，減輕學(xué)生計算負(fù)擔(dān)，促進線性代數(shù)教學(xué)理論走向應(yīng)用，又能鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)值計算能力，使得學(xué)生逐漸喜歡線性代數(shù)課程. 本文主要通過實例介紹MATLAB在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用.

1. 矩陣的基本運算

（1）矩陣的初等變換

在線性代數(shù)中，矩陣的初等變換是最基本也是最重要的一種運算，求矩陣的逆、矩陣的秩、判斷向量組的線性相關(guān)性、解線性方程組等問題都離不開初等變換，而矩陣的初等變換相對比較繁瑣，故教學(xué)過程中老師會省略很多步驟，這樣不利于學(xué)生的學(xué)習(xí)，引入MATLAB可以方便解決此類問題.

初等變換包括行變換和列變換，下面重點介紹MATLAB在初等行變換中的命令，列變換命令類似. （I）交換矩陣A第i行和第j行，A（[j，i]，：）=A（[i，j]，：）；（II）矩陣A第i行乘以k倍，A（i，：）=k*A（i，：）；（III）將矩陣A第i行的k倍加到第j行上去，A（j，：）=k*A（i，：）+A（j，：） .

例1 設(shè)A = 0 -2 13 0 -2-2 3 0，用初等變換求A-1.

解 將（A，E）通過初等行變換化成（E，A-1），求得逆矩陣A-1. MATLAB程序和運行結(jié)果：

>> A=[0 -2 1；3 0 -2；-2 3 0]；

>> B=[A，eye（3）]；

>>B（2，：）=1*B（3，：）+B（2，：）； B（3，：）=2*B（2，：）+B（3，：）； B（3，：）=4*B（1，：）+B（3，：）；

>>B（1，：）=2*B（3，：）+B（1，：）； B（2，：）=（-3）*B（3，：）+B（2，：）； B（2，：）=2*B（1，：）+B（2，：）；

>> B（[1，2]，：）=B（[2，1]，：）； B（[3，2]，：）=B（[2，3]，：）

執(zhí)行后，輸出結(jié)果為：

B = 1 0 0 6 3 4

0 1 0 4 2 3

0 0 1 9 4 6

即求得A-1 = 6 3 44 2 39 4 6

（2）矩陣的其他典型計算

矩陣A的典型計算還包括：矩陣的轉(zhuǎn)置A′；方陣行列式det（A）；矩陣逆inv（A）；矩陣的秩rank（A）；矩陣的行最簡型rref（A）. 例如例題1中的矩陣A，MATLAB命令det（A）、inv（A）分別得到運行結(jié)果是1和3.

2. 行列式與方程組求解

根據(jù)克拉默法則，若線性方程組系數(shù)行列式D ≠ 0，則方程組有唯一解. 當(dāng)線性方程組為AX = B，則用矩陣左除X=A/B，即X = A-1B；當(dāng)線性方程組為XA = B，則用矩陣右除X=B/A，即X = BA-1.

例2 當(dāng)a取何值時，線性方程組

（1 - a）x1 - 2x2 + 4x3 = 12x1 + （3 - a）x2 + x3 = 4x1 + x2 + （1 - a）x3 = 2有唯一解？

解 當(dāng)系數(shù)行列式不等于零時，方程組有唯一解. 因此，先求解a使得系數(shù)行列式等于零. MATLAB計算程序和運行結(jié)果：

syms a

format rat

>>A=[1-a，-2，4；2，3-a，1；1，1，1-a]； b=[1，4，2]'； >>D=det（A）；

>>a0=solve（D）' %系數(shù)行列式等于零的根

>>X=A＼b %利用左除求出方程組的符號解

>>X=subs（X，a，-1）' %特別的當(dāng)時，方程組的根

執(zhí)行后，輸出結(jié)果為：

a0 =

[ 0， 2， 3]

X =

（- a^2 + 4*a + 2）/（a*（a^2 - 5*a + 6））

-（2*a - 1）^2/（a*（a^2 - 5*a + 6））

-（（2*a - 1）*（a - 1））/（a*（a^2 - 5*a + 6））

X =

1/4 3/4 1/2

3. 向量組的線性相關(guān)性及方程組的通解

向量組的線性相關(guān)性的判斷，需先將列向量矩陣化成行階梯形，非零行非零首元所在列一定線性無關(guān)，MATLAB命令[R， s]=rref（A）可以快速完成行最簡形計算， 其中R為A的行最簡形矩陣；s是一個行向量，它的元素由R的非零行非零首元所在列號構(gòu)成. 求方程組通解，除了用行最簡形的方法，還可以用null（A， 'r'）求齊次線性方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系和x0 = A＼b求非齊次線性方程組Ax = b的一個特解x0.

例3 設(shè)矩陣A = 1 2 1 -22 3 0 -11 -1 -5 7，求矩陣A的列向量組的一個最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示.

解 MATLAB命令窗口中輸入：

>>A=[1，2，1，-2；2，3，0，-1；1，-1，-5，7]；

>> [R，s]=rref（A）

執(zhí)行后，輸出結(jié)果為：

R =

1 0 -3 4

0 1 2 -3

0 0 0 0

s = 1 2

記A = （a1，a2，a3，a4），由運行結(jié)果可知，列向量組的極大無關(guān)組為a1，a2，并且a3 = -3a1 + 2a2，a4 = 4a1 - 3a2.

解 根據(jù)線性方程組解結(jié)構(gòu)，先求對應(yīng)齊次方程通解，再求特解x0，輸入MATLAB命令：

>>A=[1 -1 -1 1；1 -1 1 -3；1 -1 -2 3]； b=[0 1 -0.5]'；

>>null（A， 'r'）

>>x0=A＼b

執(zhí)行后，輸出結(jié)果為：

ans =

1 1

1 0

0 2

0 1

x0 = [ 0 -1/4 0 -1/4]

即所求通解為x = k11100 + k21021 + 0-1/40-1/4，k1，k2∈R

4. 特征值和特征向量

求解方陣的特征值和特征向量時，很多同學(xué)解不出特征值，顯然影響求解和理解特征向量. 應(yīng)用MATLAB的命令[V， D]=eig（A）可以快速求解特征值特征向量，其中矩陣D為A的特征值所構(gòu)成的對角陣，V的列向量為A的特征向量，與D中特征值一一對應(yīng). 從而可以節(jié)省更多時間來加深理解特征值和特征向量. 當(dāng)矩陣A為對稱陣時，還可用MATLAB命令[V， D]=schur（A）求特征值與特征向量.

例5 求矩陣A = 4 6 0-3 -5 0-3 -6 1的特征值和特征向量.

解 MATLAB命令窗口中輸入：

>>A=[4 6 0；-3 -5 0；-3 -6 1]；

>> [V， D]=eig（A）

執(zhí)行后，輸出結(jié)果為：

V =

0 0.5774 -0.8944

0 -0.5774 0.4472

1.0000 -0.5774 0

D =

1 0 0

0 -2 0

0 0 1

上面的輸出結(jié)果可以清楚地看出，特征值與特征向量是相對應(yīng)的，而這一點在課堂學(xué)習(xí)中很容易被忽略.

MATLAB作為一種直觀高效的計算軟件，為線性代數(shù)教學(xué)提供了很好的平臺，它的最大優(yōu)點是數(shù)值計算功能強大，且易學(xué)易懂，運用MATLAB輔助教學(xué)，可以省去繁瑣而易錯的手工計算過程，更有利于在教學(xué)中突出重點，有效提高教學(xué)質(zhì)量和效率. 如何在線性代數(shù)教學(xué)中應(yīng)用MATLAB軟件，而不改變線性代數(shù)整個理論體系，需要對現(xiàn)有的線性代數(shù)課程的教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式進行深刻的改革，讓MATLAB為線性代數(shù)教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)效率服務(wù)，既發(fā)揮MATLAB的軟件優(yōu)勢，又凸顯線性代數(shù)理論的主體地位.

【參考文獻】

[1]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.

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[3]李紹剛，段復(fù)建等.線性代數(shù)中MATLAB實驗教學(xué)的探索與實踐[J].長春大學(xué)學(xué)報，2010，vol.20，No.6.