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數(shù)學中考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)有關求最值的問題，成為中考的熱點.下面通過近年全國各地中考的實例探討其解法.

一、利用“垂線段最短”求最值

例1 （2013江蘇無錫）已知點D與點A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的最小值為 .

解析 ∵ OA = 8，OB = 6，∴ AB = 10.

（1）當CD是平行四邊形的邊時，CD = AB = 10.

二、利用“兩點之間，線段最短”求最值

例2 （2009漳州）如圖1，∠AOB = 45°，P是∠AOB內一點，PO = 10，Q，R分別是OA和OB上的動點，求△PQR周長的最小值.

解析 分別作P關于OA，OB的對稱點C，D，連接CD，則PR + PQ + RQ ≥ CD，當Q，R在線段CD上時，△PQR周長最小.

∵ ∠COD = 2∠AOB = 90°，OC = OD = OP = 10，

三、利用“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”求最值

四、利用“三角形三邊關系”求最值

例4 （2011四川廣安）如圖3所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD = 90°，BC與y軸相交于點M，且M是BC的中點，A，B，D三點的坐標分別是A（-1，0），B（-1，2），D（3，0）.連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON. 若拋物線y = ax2 + bx + c經(jīng)過點D，M，N.

（1）求拋物線的解析式.

（2）拋物線上是否存在點P，使得PA = PC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）設拋物線與x軸的另一個交點為E，點Q是拋物線的對稱軸上的一個動點，當點Q在什么位置時，有|QE - QC|最大？并求出最大值.

五、利用一次函數(shù)求最值

例5 （2013湖北十堰）某商場計劃購進A，B兩種新型節(jié)能臺燈共100盞，這兩種臺燈的進價、售價如表所示：

（1）若商場預計進貨款為3500元，則這兩種臺燈各購進多少盞？

（2）若商場規(guī)定B型臺燈的進貨數(shù)量不超過A型臺燈數(shù)量的3倍，應怎樣進貨才能使商場在銷售完這批臺燈時獲利最多？此時利潤為多少元？

分析 （1）設商場應購進A型臺燈x盞，則B型臺燈為（100 - x）盞，然后根據(jù)進貨款 = A型臺燈的進貨款 +B型臺燈的進貨款列出方程求解即可.

（2）設商場銷售完這批臺燈可獲利y元，根據(jù)獲利等于兩種臺燈的獲利總和列式整理，再求出x的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性求出獲利的最大值.

解析 （1）設商場應購進A型臺燈x盞，則B型臺燈為（100 - x）盞. 根據(jù)題意得，30x + 50（100 - x） = 3500，

解得x = 75，

所以，100 - 75 = 25.

答：應購進A型臺燈75盞，B型臺燈25盞.

（2）設商場銷售完這批臺燈可獲利y元，

則y = （45 - 30）x + （70 - 50）（100 - x）

=15x + 2000 - 20x

= -5x + 2000.

∵ B型臺燈的進貨數(shù)量不超過A型臺燈數(shù)量的3倍，

∴100 - x ≤ 3x，

∴ x ≥ 25.

∵ k = -5 < 0，

∴ x = 25時，y取得最大值：-5 × 25 + 2000 = 1875（元）.

答：商場購進A型臺燈25盞、B型臺燈75盞，銷售完這批臺燈時獲利最多，此時利潤為1875元.

六、利用二次函數(shù)求最值

（1）求拋物線對應的函數(shù)關系式.

（2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點A，B，O的對應點分別是D，C，E，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由.

（3）在（2）的條件下，連接BD，已知在對稱軸上存在一點P使△PBD的周長最小，求出P點的坐標.

（4）在（2）（3）條件下，若點M是線段OB上的一個動點（點M與點O，B不重合），過點M作MN∥BD交x軸于點N，連接PM，PN，設OM的長為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍. S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由.

（2）根據(jù)菱形的性質得出C，D兩點的坐標分別是（5，4），（2，0），利用圖像上點的性質得出x = 5時，y = 4；x = 2時，y = 0，∴點C和點D都在所求拋物線上.

綜上所述，我們求兩條線段之和的最小值、兩條線段之差的最大值以及三角形周長的最小值時是通過軸對稱變換進行轉化. 求利潤的最大值以及圖形面積的最大或最小值，通常是建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型，一次函數(shù)根據(jù)自變量的取值范圍和函數(shù)的增減性求得最值；二次函數(shù)要先進行配方，然后根據(jù)自變量的取值范圍和函數(shù)的增減性求得最值.相信同學們經(jīng)過努力就一定能掌握和運用這些方法求解最值問題.