楊鴻雁

“數(shù)學(xué)分析”課程作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)及統(tǒng)計(jì)學(xué)等專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一，是多年來教師教學(xué)非常辛苦，但學(xué)生學(xué)習(xí)效果卻較差的一門課程. 教師如何教，學(xué)生怎么學(xué)，始終是擺在師生面前的一個(gè)難題. 想要解決這一難題，需要從數(shù)學(xué)分析的第一堂課做起.

柏拉圖說“良好的開端是成功的一半”. 一出好戲，要有好的序幕；一部樂章，要演奏好序曲. 本文，我們介紹關(guān)于如何上好“數(shù)學(xué)分析”第一次課的教學(xué)探討，為“數(shù)學(xué)分析”這門課程的教與學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，奠定良好的開端.

一、幫助大學(xué)生樹立信心

數(shù)學(xué)是一門較難的學(xué)科，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)效果較差的學(xué)科，究其原因，是因?yàn)閿?shù)學(xué)是抽象的，很多知識(shí)在生活中沒有實(shí)例，尤其是到了大學(xué)，維度由高中的二維、三維拓展到了n維，更是超出了很多人的認(rèn)知范圍，也正是這個(gè)原因，東北師大的史寧中教授說過，數(shù)學(xué)是存在于現(xiàn)實(shí)和人的空間想象中的學(xué)科，那么想要學(xué)好數(shù)學(xué)，首先就需要建立起信心.

從中學(xué)到大學(xué)，是人生的重大轉(zhuǎn)折. 大學(xué)生活的重要特點(diǎn)表現(xiàn)在：生活上要自理，管理上要自治，思想上要自我教育，學(xué)習(xí)上要求高度自覺. 尤其是學(xué)習(xí)的內(nèi)容、方法和要求上，比起中學(xué)的學(xué)習(xí)發(fā)生了很大的變化. 要想真正學(xué)到知識(shí)和本領(lǐng)，除了繼續(xù)發(fā)揚(yáng)勤奮刻苦的學(xué)習(xí)精神外，還要適應(yīng)大學(xué)的教學(xué)規(guī)律，掌握大學(xué)的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，選擇適合自己的學(xué)習(xí)方法. 大學(xué)的學(xué)習(xí)既要求我們掌握比較深厚的基礎(chǔ)理論和專業(yè)知識(shí)，還要求重視各種能力的培養(yǎng). 除了扎扎實(shí)實(shí)掌握書本知識(shí)之外，還要培養(yǎng)研究和解決問題的能力. 要特別注意自學(xué)能力的培養(yǎng)，學(xué)會(huì)獨(dú)立地支配學(xué)習(xí)時(shí)間，自覺主動(dòng)地學(xué)習(xí)，還要注意思維能力、創(chuàng)造能力、組織能力、表達(dá)能力的培養(yǎng)，為將來適應(yīng)社會(huì)工作打下良好的基礎(chǔ).

“數(shù)學(xué)分析”是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程，是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的開端，只有學(xué)好了數(shù)學(xué)分析才有課程在高等數(shù)學(xué)中逐步前行. 而數(shù)學(xué)分析所用的有限和無(wú)限的數(shù)學(xué)思想，是高中數(shù)學(xué)很少接觸到的，雖然高中數(shù)學(xué)當(dāng)前也學(xué)習(xí)了微積分，但是高中數(shù)學(xué)中的微積分是以初等數(shù)學(xué)思想為基礎(chǔ)的，與高等數(shù)學(xué)思想截然不同，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)分析”時(shí)會(huì)越感吃力. 很多學(xué)生認(rèn)為自己付出了很多辛苦，但是在數(shù)學(xué)分析上卻無(wú)法獲得較高的成就，這正是因?yàn)闆]有擺正思想. 如果付出沒有成就，那么學(xué)生就會(huì)逐步喪失信心，最終止步不前.

因此，建立學(xué)生的自信心尤為重要.

二、“數(shù)學(xué)分析”課程的地位、作用及知識(shí)脈絡(luò)

“數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)等專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)核心課程，是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)過渡的橋梁，是大學(xué)數(shù)學(xué)理論的重要源泉，很多后續(xù)數(shù)學(xué)課程如概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、常微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)及泛函分析等課程都是數(shù)學(xué)分析的延伸與深化.

與此同時(shí)，數(shù)學(xué)分析又是許多非數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)和研究的重要工具，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、物理學(xué)及生物學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用. 在培養(yǎng)具有良好的理性思維素養(yǎng)和創(chuàng)新精神的數(shù)學(xué)及其應(yīng)用人才方面起著特別重要的作用. 可以說，任何學(xué)科的進(jìn)步都離不開數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)的任何進(jìn)步，都是以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)的. 只有學(xué)好了數(shù)學(xué)分析，才能夠在以后的科研中越走越遠(yuǎn). 通過本課程的教學(xué)可使學(xué)生系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)理論和基礎(chǔ)知識(shí)，能熟練地進(jìn)行基本運(yùn)算，具備較強(qiáng)的分析論證能力，為深入理解和分析處理中學(xué)數(shù)學(xué)教材，為分析解決實(shí)際問題，為深造學(xué)好后續(xù)課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

本門課程的特點(diǎn)是：內(nèi)容多，跨度大（三學(xué)期），概念抽象，系統(tǒng)性與邏輯性強(qiáng)，思想方法典型，應(yīng)用廣泛. 其研究對(duì)象與方法是用無(wú)窮小分析的方法研究實(shí)值函數(shù). 本課程教師應(yīng)該在第一次課上介紹本門課程的知識(shí)脈絡(luò)及一些常用字母和符號(hào)的讀法及含義，如ε，δ，？坌？堝，α，β，γ等. 讓學(xué)生了解第一學(xué)期數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)，做到心里有數(shù).

三、中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的異同

1. 數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)謹(jǐn)性

中國(guó)的數(shù)學(xué)是一種經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)，例如《九章算術(shù)》其實(shí)是一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題集，只是所有的問題都是用數(shù)學(xué)解決的，而歐洲的數(shù)學(xué)從《幾何原本》開始就是一種邏輯的數(shù)學(xué)，其發(fā)展是建立在邏輯推理之上的. 中學(xué)的數(shù)學(xué)，雖然也涉及到了邏輯推理、幾何證明等內(nèi)容，但究其本質(zhì)，并不是一種純粹的數(shù)學(xué)，更多的是一種數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，并沒有顯示出高等數(shù)學(xué)的本質(zhì).

數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)明顯的一個(gè)差異就在于數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)謹(jǐn)性、系統(tǒng)性與邏輯性. 數(shù)學(xué)分析強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密的基礎(chǔ)理論體系，具有概念抽象等特點(diǎn). 而中學(xué)數(shù)學(xué)則主要注重計(jì)算與解題. 針對(duì)這個(gè)特點(diǎn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析就應(yīng)該注重建立自己的數(shù)學(xué)理論知識(shí)框架. 在數(shù)學(xué)分析中，使用的是一種純粹的數(shù)學(xué)語(yǔ)言ε，δ語(yǔ)言，這種語(yǔ)言和以往的數(shù)學(xué)不同，是一種以符號(hào)推理為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，整個(gè)語(yǔ)言體系環(huán)環(huán)相扣，邏輯性極強(qiáng). 學(xué)習(xí)和掌握好這門語(yǔ)言是學(xué)好數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵，同時(shí)也只有認(rèn)識(shí)到這門語(yǔ)言和以往數(shù)學(xué)的不同，才算是邁開了高等數(shù)學(xué)的第一步.

2. 教學(xué)方法的區(qū)別

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)是講得細(xì)講得慢練得多，側(cè)重計(jì)算，講究的是題海戰(zhàn)術(shù). 大學(xué)數(shù)學(xué)講得快，重復(fù)少，例題少，注重概念的講解及定理的證明. 由于數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)比起來數(shù)學(xué)符號(hào)多、抽象內(nèi)容多且不好理解，學(xué)生一開始學(xué)起來很吃力，稍有放松可能就要掉隊(duì). 因此，學(xué)生一定要做好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的心理準(zhǔn)備，不能用中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來對(duì)付數(shù)學(xué)分析. 數(shù)學(xué)分析學(xué)好的關(guān)鍵不在于做了多少題，重要的在于首先要理解好課本，和中學(xué)教學(xué)相比，習(xí)題并不是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，定理定義的推導(dǎo)過程，以及推導(dǎo)過程中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想才是數(shù)學(xué)分析課程中的重點(diǎn)，學(xué)生如果能夠理解數(shù)學(xué)分析中定理定義的推導(dǎo)過程，那么他們自然也就學(xué)會(huì)了高等數(shù)學(xué)思想，如果單純的做題，而忽視了數(shù)學(xué)大廈的建立過程，那么自然會(huì)進(jìn)入“學(xué)而不思則罔”的境地.

在中學(xué)教學(xué)當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)法、探究式教學(xué)、小組討論法等都是常用的教學(xué)方法，但是在大學(xué)，課堂內(nèi)容多，課堂容量大，教學(xué)難度大，教學(xué)時(shí)間緊，小組討論法等方法使用性小，而對(duì)于一些較難的定理公式等，學(xué)生也很難去發(fā)現(xiàn)，因此有意義的接受式教學(xué)法比中學(xué)使用的更多，而這是不利于學(xué)生主動(dòng)性發(fā)揮的，所以，在第一節(jié)課知識(shí)點(diǎn)較少，難度較低時(shí)，應(yīng)該盡量使用探究式教學(xué)等能夠讓學(xué)生參與到教學(xué)環(huán)節(jié)中的教學(xué)方法，提高學(xué)生的主動(dòng)性.

3. 數(shù)學(xué)分析內(nèi)容的豐富性

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，教師利用三年時(shí)間講解了集合、實(shí)數(shù)、自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、虛數(shù)、函數(shù)、基本初等函數(shù)、分段函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、概率等知識(shí)點(diǎn). 但是，在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，這些內(nèi)容只是幾節(jié)課的內(nèi)容. 數(shù)學(xué)分析的巨大的知識(shí)含量、極大的知識(shí)跨度、抽象的思維和相對(duì)較少的教學(xué)時(shí)數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)的最大障礙. 在教學(xué)中常常遇到一種情況， 學(xué)生第一節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容與中學(xué)相似，所以會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)分析較為簡(jiǎn)單，產(chǎn)生了輕視的心理，而到無(wú)窮小這一定義一出現(xiàn)，就忽然發(fā)現(xiàn)自己不會(huì)了. 曾經(jīng)有學(xué)生說過，“數(shù)學(xué)分析這門課，第一天講了20頁(yè)，我全會(huì)，第二天講了2頁(yè)，我什么也不會(huì)”反應(yīng)的就是這種情況. 因此，在第一節(jié)課的教學(xué)中，我們一定要告訴學(xué)生，不能因?yàn)橹袑W(xué)有相關(guān)內(nèi)容而分心，更不能用中學(xué)的思想來看待這些問題，否則以后的課程就會(huì)舉步維艱.

四、“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)習(xí)方法

在“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)習(xí)中，除了注意預(yù)習(xí)、聽課、復(fù)習(xí)、總結(jié)、課后練習(xí)等環(huán)節(jié)外，更為重要的是：

1. 有興趣地學(xué)習(xí)

兩千多年前的孔子說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者. ”愛因斯坦也說過：“在學(xué)校里和生活中，工作的最重要?jiǎng)訖C(jī)是工作中的樂趣. ”要培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣首先要認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的重要性. 數(shù)學(xué)被稱為科學(xué)的皇后，它是學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)和應(yīng)用科學(xué)知識(shí)必需的工具. 而數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)理論的基石，可以說，學(xué)不好數(shù)學(xué)分析，也就不可能學(xué)好數(shù)學(xué). 如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的興趣，一直是數(shù)學(xué)分析教育研究的重要課題之一. 所有的研究都表明，想要引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，第一節(jié)課非常重要，只有第一節(jié)課講的好，才能吸引住學(xué)生的目光，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，反之則不然. 所以，第一節(jié)課一定要用高等數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)中學(xué)出現(xiàn)過的這些知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到高等數(shù)學(xué)思想的美感，讓學(xué)生體會(huì)到用高等數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)初等數(shù)學(xué)的成就感，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)思想在解決初等數(shù)學(xué)問題時(shí)的重要性，只有學(xué)生領(lǐng)悟了這些，學(xué)生才能夠認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)分析這門課的實(shí)質(zhì)，才能夠引起他們學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功體驗(yàn). 興趣是最好的老師，任何學(xué)科都需要培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，數(shù)學(xué)是一個(gè)枯燥的學(xué)科，這更對(duì)興趣的培養(yǎng)提出了較高的要求. 如果第一節(jié)課學(xué)生就產(chǎn)生了厭學(xué)的心理，那么他在高等數(shù)學(xué)上的道路就很難走通了.

2. 主動(dòng)地鉆研

學(xué)生在深入鉆研的過程中，可以領(lǐng)略到數(shù)學(xué)分析的奧妙，體會(huì)到獲取成功的喜悅. 長(zhǎng)久下去，自然會(huì)激發(fā)出學(xué)好數(shù)學(xué)分析的高度自覺性和積極性. 用興趣推動(dòng)學(xué)習(xí)，而不是用任務(wù)觀點(diǎn)強(qiáng)迫自己被動(dòng)地學(xué)習(xí). 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在于堅(jiān)持和鉆研，他的樂趣在此，他的成功也在這里. 同時(shí)高等數(shù)學(xué)教學(xué)難度大，教學(xué)內(nèi)容多，教學(xué)深度、廣度都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過中學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)生如果沒有一種鉆研的精神，是不可能學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)分析的. 同時(shí)如果沒有在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中養(yǎng)成一種刻苦鉆研的態(tài)度，那么在今后的學(xué)習(xí)過程中也是無(wú)法獲得成功的. 培養(yǎng)學(xué)生的鉆研態(tài)度，需要從第一節(jié)課做起. 因此，在第一節(jié)課的教學(xué)過程中，要讓學(xué)生參與到教學(xué)內(nèi)容之中，參與到定理、公式的推導(dǎo)過程中，參與到解題過程中. 只有在第一節(jié)課開始養(yǎng)成刻苦鉆研的習(xí)慣，學(xué)生才能夠在今后的日子里越走越遠(yuǎn)，越學(xué)越深. 曾經(jīng)有學(xué)生問過我“為什么咱們的黑板這么大，是四面的”，當(dāng)他們看到數(shù)學(xué)分析中推導(dǎo)證明時(shí)就明白了，因?yàn)樗拿婧诎逵袝r(shí)也不夠一個(gè)定理的推導(dǎo)，需要更多的版面. 如果學(xué)生沒有刻苦鉆研的精神，當(dāng)他們看到這么多的定理推導(dǎo)時(shí)，就已經(jīng)開始放棄數(shù)學(xué)了，而如果他們能夠刻苦鉆研，能夠跟上老師的教學(xué)思路，那么再多的證明步驟也是簡(jiǎn)單的，也是可以接受的.

3. 發(fā)揮學(xué)習(xí)的主動(dòng)性

大學(xué)和中學(xué)的最大不同之處就是在于，中學(xué)學(xué)習(xí)中，教師起引領(lǐng)作用，雖然有作業(yè)，但是基本上很少需要學(xué)生自主學(xué)習(xí)，學(xué)生每天都有學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生不需要太多想自己需要學(xué)習(xí)什么. 但是大學(xué)則不同，教師上課后學(xué)生很難找到教師，學(xué)習(xí)什么內(nèi)容需要學(xué)生自己決定. 如果學(xué)生不會(huì)主動(dòng)學(xué)習(xí)，不知道學(xué)習(xí)方法，那么很難取得成就. 因此，學(xué)生必須建立主動(dòng)性，只有主動(dòng)學(xué)習(xí)，才能夠在數(shù)學(xué)分析的道路上越走越遠(yuǎn).

五、具體教學(xué)內(nèi)容的講解

數(shù)學(xué)分析第一次課的知識(shí)點(diǎn)有實(shí)數(shù)及其性質(zhì)、絕對(duì)值與不等式等. 由于學(xué)生是第一次接觸數(shù)學(xué)分析，本節(jié)課的講解速度不宜快. 其中，實(shí)數(shù)的概念學(xué)生在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過，教師應(yīng)重點(diǎn)講解實(shí)數(shù)集的性質(zhì)，特別是實(shí)數(shù)的稠密性.

實(shí)數(shù)的稠密性和高等數(shù)學(xué)中有限和無(wú)限的思想密不可分，同時(shí)也是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在中學(xué)數(shù)學(xué)里，學(xué)生對(duì)有理數(shù)認(rèn)識(shí)較多，對(duì)無(wú)理數(shù)認(rèn)識(shí)較低，對(duì)數(shù)的稠密性幾乎沒有應(yīng)用，因此且不可認(rèn)為學(xué)生對(duì)數(shù)的理解已經(jīng)達(dá)到了高等數(shù)學(xué)所需要的高度，應(yīng)該放慢速度，讓學(xué)生參與到教學(xué)當(dāng)中，發(fā)揮其主動(dòng)性，理解和認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)，具體內(nèi)容也可以參照《初等數(shù)學(xué)研究》中相關(guān)的內(nèi)容，這對(duì)數(shù)學(xué)分析后面課程的學(xué)習(xí)是有幫助的.

“例2 設(shè)a，b∈R. 證明：若對(duì)任何正數(shù)ε有a < b + ε，則a ≤ b. ”的講解是本次課教學(xué)的另一個(gè)重點(diǎn). 由于學(xué)生是第一次接觸ε，教師應(yīng)利用大量時(shí)間解釋說明ε的含義及其應(yīng)用.

對(duì)于絕對(duì)值與不等式部分，教材在實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值定義后說明了“數(shù)a的絕對(duì)值|a|就是點(diǎn)a到原點(diǎn)的距離”，并給出了實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的一些性質(zhì). 教師應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)絕對(duì)值|a - b|描述的就是實(shí)數(shù)a與b間的距離，并對(duì)三角形不等式：

||a| - |b|| ≤ |a - b| ≤ |a| + |b|，？坌a，b∈R

進(jìn)行詳細(xì)證明.

六、結(jié) 語(yǔ)

“數(shù)學(xué)分析”課程第一次課的教學(xué)是數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的重要組成部分. 針對(duì)如何上好“數(shù)學(xué)分析”的第一次課，本文在作者多年的教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)上，在（1）介紹大學(xué)的學(xué)習(xí)與生活、幫學(xué)生樹立信心，（2）介紹“數(shù)學(xué)分析”課程的地位、作用及知識(shí)脈絡(luò)，（3）介紹中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的異同，（4）介紹“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)習(xí)方法，（5）具體教學(xué)內(nèi)容的講解等方面提出了自己的見解. 作者認(rèn)為，充分發(fā)揮第一次課這一教學(xué)環(huán)節(jié)的積極作用，并與其他環(huán)節(jié)相結(jié)合，必能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，極大地提高數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)質(zhì)量.