郭愛青

《數(shù)學課程標準》明確提出：獲得必需的重要數(shù)學知識以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應用技能，讓學生初步學會運用數(shù)學的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數(shù)學的意識，具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力.

“方程思想在解決幾何問題中的應用”是通過方程把幾何與代數(shù)內容有機地結合起來. 在解決數(shù)學問題時，有一種從未知轉化為已知的手段就是通過設元，尋找已知與未知之間的等量關系，構造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉化，這種解決問題的思想稱為方程思想. 方程思想在數(shù)學應用中無處不在，是探索數(shù)及實際問題中蘊含的關系與規(guī)律的有效工具，是發(fā)展學生符號感的重要手段，所以方程思想的地位極其重要. 用設未知數(shù)，用未知量表示已知量的方法，通過分析題中的等量關系，利用所學定理、性質等尋找出等量關系，從而有效地解決幾何內容與解方程的關系. 用方程思想解決實際應用題對于學生并不陌生，但它一旦與幾何問題相結合產生的效應往往讓學生眼前一亮.

一、加強題組訓練，讓學生體驗方程思想在解決簡單的幾何問題中的應用

1. Rt△ABC中，∠C = Rt∠，AC = 6，BC = 8，則斜邊AB上的高線CD的長是 .

解 設CD的長為x，由勾股定理，AC = 10.

方法1 利用面積法構造方程： × 6 × 8 = × 10·x，x = 4.8； = ，x = 4.8.

方法2 利用相似構造方程：易證△CDA∽△BCA.

2. 如圖，△ABC中，D，E是AB，AC上的點，且DE∥BC，若DE = 2，BC = 3，BD = 1，則AD的長是 .

解 利用相似構造方程：設AD的長為x，易證△ADE∽△ABC，∴ = ，x = 2.

3. 如圖，☉O的弦AB⊥半徑OE于D，若AB = 12，DE = 2，則☉O的半徑是 .

解 設☉O的半徑長為r，連接OA. 由垂徑定理得AD = BD = 6，再利用勾股定理構造方程：62 + （r - 2）2 = r2，r = 10.

通過題組訓練，可以讓學生得到利用方程思想解決幾何問題的基本思路：（1）審清題意，對題意中涉及的數(shù)量關系和位置關系進行標量；（2）設恰當?shù)奈粗獢?shù)，再標量；（3）根據(jù)面積法、相似法、勾股定理法、三角函數(shù)法等找出符合題意的等量關系，列方程或者方程組；（4）解方程（組）并檢驗，找到符合題意的答案.

二、適度的典型綜合題型的訓練及變式訓練，可以提高學生綜合分析問題的能力

（一）方程思想在解決有關折疊問題中的妙用

如圖，已知：矩形ABCD中，E是AB上一點，沿EC折疊，使點B落在AD邊的B′處，若AB = 6，BC = 10，求AE的長.

解 ∵ AD = BC = B′C = 10，AB = CD = 6，∠D = 90°，∴ B′D = 8，∴ AB′ = 2. 設AE = x，則BE = B′E = 6 - x.

方法1利用勾股定理法構造方程：

4 + x2 = （6 - x）2 ，x = .

方法2 利用相似法構造方程：

∵∠A = ∠D = 90°，∠B = ∠EB′C = 90°，∴ ∠AEB′ + ∠AB′E = 90°，∠DB′C + ∠AB′E = 90°， ∴∠AEB′ = ∠DB′C，∴△AEB′∽△DB′C. ∴ = ，∴ x = .

方法3 利用面積法構造方程：

∵ S1 + S2 + S3 + S4 = S矩形ABCD ，S3 = S4，

∴ x + 24 + 10（6 - x） = 60，∴ x = .

方法4 利用三角函數(shù)法構造方程：

由方法2中的∠AEB′ =∠DB′C得到它們兩個角在直角三角形中的正切值相等，構造方程 = ，∴ x = .

變式訓練：如圖，已知矩形ABCD中，E是AB上一點，沿EC折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，若AB = 6，BC = 8，求AE的長.

同樣地利用上述四個方法可以構造方程解決這一變式. 聰明的讀者不妨試試看，利用方程思想解決此類折疊問題有“山重水復疑無路 ，柳暗花明又一村”的感覺.

（二）方程思想在解決符合條件的點是否存在，或點的個數(shù)的方面的應用

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A = 90°，AB∥CD，AB = 1，CD = 6.若AD = 5，在線段AD上是否存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似？若存在，這樣的點P有幾個？它們到點A的距離是多少？若不存在，請說明理由.

分析 解決此類相關問題，先假設存在，運用分類討論思想構造相似三角形，列出成比例線段構造方程解決問題.

解 假設存在，設AP = x. ∵ 在直角梯形ABCD中，∠A = 90°，AB∥CD，∴∠A + ∠D = 180°. ∴∠A = ∠D = 90°.

① 當∠APB = ∠DPC時，

∴△APB ∽ △DPC.

∴ = ，∴x = .

② 當∠APB = ∠DCP時，∴△APB ∽ △DCP.

∴ = ，x2 - 5x + 6 = 0.

∴x = 2或3，綜合①、②，在線段AD上存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似. 這樣的點P存在3個，它們到點A的距離AP分別是或2或3.

變式訓練：（1）若AD = 4，在線段AD上是否存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似？若存在，這樣的點P有幾個？它們到點A的距離是多少？若不存在，說明理由.

分析 問題中的AD = 5變式換成AD = 4，其他條件保持不變時，則上述解答只是存在方程中的5 - x變換成4 - x的變化，其他解決問題的方法和思路保持不變. 簡單的解決問題的思路如下：

①當∠APB = ∠DPC時，∴ = ，∴ x = .

② 當∠APB = ∠DCP時，∴ = ，

∴ x2 - 4x + 6 = 0.

∵ b2 - 4ac = 16 - 24 < 0，

∴方程x2 - 4x + 6 = 0無實數(shù)根.

∴線段AD上存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似. 這樣的P點存在1個，到點A的距離AP是.

（2）若設AD=m，在線段AD上是否存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似？若存在，這樣的點P有幾個？它們到點A的距離是多少？若不存在，請說明理由.

分析 把問題中的AD = 5變式換成AD = m，其他條件保持不變時，則上述解答只是存在方程中的5 - x變換成m - x的變化，其他解決問題的方法和思路保持不變. 分類討論問題①的解決中相應的點P總是存在一個，而且點P到點A的距離是AP = ，分類討論問題②的解決中相應的點P是否存在取決于方程x2 - mx + 6 = 0中的b2 - 4ac = m2 - 24的大小. 簡單的解決問題的思路如下：

①當∠APB = ∠DPC時，

∴ = ，∴ x = .

② 當∠APB = ∠DCP時，∴ = ，

∴ x2 - mx + 6 = 0.

∵b2 - 4ac = m2 - 24，∴當m > 2時，方程x2 - mx + 6 = 0有兩個不相等的實數(shù)根x1，2 = ；當m = 2時，方程x2 - mx + 6 = 0有相等的實根x1，2 = ；當m < 2時，方程x2 - mx + 6 = 0無實根.

∴綜合①、②，在線段AD上總存在點P，以P，A，B為頂點的三角形和以P，C，D為頂點的三角形相似.

當m > 2時， 這樣的點P存在3個，且它到點A的距離AP是或或；當m = 2時， 這樣的點P存在2個，且它到點A的距離AP是或；當m < 2時，這樣的點P存在1個，且到A的距離AP是.

總之，綜合原題及相應的變式訓練，我們發(fā)現(xiàn)用方程思想解決此類點的存在與否及存在相應點的個數(shù)的確定更多地轉化為一元二次方程的解的個數(shù)問題來解決.

方程思想應用非常廣泛，而許多同學在學習中往往見到了方程才想到用方程的思想來解決，事實上熟練地利用方程思想解決問題學生要做到以下三點：（1） 要具有正確列出方程的能力. 正確列方程是關鍵，因此要根據(jù)已知條件，尋找等量關系列方程. （2）要具備用方程思想解題的意識. 有些幾何問題表面上看來與代數(shù)問題無關，但是利用代數(shù)方法——列方程來解決，因此要挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識，還有一些綜合問題，需要通過構造方程來解決. 在平時的學習中，應該不斷積累用方程思想解題的方法. 同時嘗試一題多解的方法，選擇最優(yōu)方案. （3）要掌握運用方程思想解決問題的要點. 除了幾何的計算問題要使用方程或方程思想以外，經常需要用到方程思想的還有一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)關系，方程、函數(shù)、不等式的關系等內容，在解決與這些內容有關的問題時要注意方程思想的應用.