于清

【摘要】 復(fù)習(xí)課，對(duì)于學(xué)生系統(tǒng)學(xué)好數(shù)學(xué)、發(fā)展思維能力是極為重要的，同時(shí)對(duì)教師彌補(bǔ)教學(xué)中的缺欠，提高教學(xué)質(zhì)量，也是不可缺少的環(huán)節(jié). 真正上好復(fù)習(xí)課并不是輕而易舉的事，如果不認(rèn)真安排，不精心設(shè)計(jì)，就達(dá)不到預(yù)期的效果. 總結(jié)出：在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們所能遇到的最值問題，包括這樣三種情況，一是幾何圖形中的最值問題；二是與二次函數(shù)相關(guān)聯(lián)的最值問題；三是有關(guān)方案設(shè)計(jì)問題的最值問題. 【關(guān)鍵詞】 課堂有效教學(xué)；復(fù)習(xí)課；最值問題

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)水平的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上. 教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). ”新課程的課題學(xué)習(xí)讓學(xué)生通過自己收集、分析和處理信息來實(shí)際感受和體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生過程，進(jìn)而了解社會(huì)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)交流，鍛煉意志，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 數(shù)學(xué)是以量和量變?yōu)檠芯繉?duì)象的科學(xué)，是內(nèi)容具體、形式抽象、理論嚴(yán)謹(jǐn)、結(jié)論確定、應(yīng)用廣泛、方法精巧和地位特殊的一門基礎(chǔ)學(xué)科. 數(shù)學(xué)教育的目的，從根本上來說，不在于或主要不在于培養(yǎng)未來的數(shù)學(xué)家，而在于培育人的數(shù)學(xué)思想和解決問題的方法，開拓頭腦中的數(shù)學(xué)空間，進(jìn)而促進(jìn)人的全面發(fā)展和提高. 而且，《新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的. 也就是說，一定要讓學(xué)生學(xué)習(xí)生活中的數(shù)學(xué)，促使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義.

復(fù)習(xí)課，對(duì)于學(xué)生系統(tǒng)學(xué)好數(shù)學(xué)，發(fā)展思維能力，是極為重要的；同時(shí)對(duì)教師彌補(bǔ)教學(xué)中的缺欠，提高教學(xué)質(zhì)量，也是不可缺少的環(huán)節(jié). 真正上好復(fù)習(xí)課并不是輕而易舉的事. 因此，復(fù)習(xí)課需要精心備課，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的梳理歸納清晰全面、條理分明、知識(shí)體系完善，對(duì)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)難點(diǎn)要把握較準(zhǔn)，才能有更強(qiáng)的針對(duì)性；復(fù)習(xí)課要重視能力的訓(xùn)練，做到講練結(jié)合，復(fù)習(xí)扎實(shí)；另外，復(fù)習(xí)課要重視拓展寬度和深度，注意聯(lián)系實(shí)際，做到課內(nèi)外相結(jié)合，并呈現(xiàn)多樣和靈活的教學(xué)方法，使得復(fù)習(xí)課的課堂氛圍比較好，不會(huì)讓學(xué)生覺得復(fù)習(xí)課就是單純的羅列知識(shí)和“炒冷飯”.

因此，復(fù)習(xí)課要想成為有效的教學(xué)，應(yīng)該達(dá)到幾個(gè)目的：

第一，通過復(fù)習(xí)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)能夠準(zhǔn)確熟練的掌握，并能靈活運(yùn)用.

第二，通過復(fù)習(xí)把學(xué)過的知識(shí)系統(tǒng)化，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

第三，通過復(fù)習(xí)使學(xué)生在系統(tǒng)深入掌握知識(shí)的同時(shí)，能進(jìn)一步提高思維能力，提高分析和解決問題的能力.

第四，通過復(fù)習(xí)使老師得到教學(xué)上更進(jìn)一步的發(fā)展，提高融會(huì)貫通的能力，促進(jìn)自身的成長，不斷提高業(yè)務(wù)能力.

現(xiàn)以“初中數(shù)學(xué)中的最值問題”為例，簡單闡述，并輔以例題和解說其在整個(gè)操作過程中的作用.

一、復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，引出課程方向

提出問題：

1. 已知二次函數(shù)y = 2（x + 1）2 + 1，當(dāng)x = ____時(shí)，y有最___值，為______.

2. 已知一次函數(shù)y = 3x + 5（3 < x ≤ 5），則當(dāng)x = _____時(shí)，y有最____值，為_______.

答案：1. -1，小，1；2. 5，大，20.

簡單的兩道小的函數(shù)題目，可以使學(xué)生的注意力集中起來，并對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容有所體現(xiàn)，展現(xiàn)函數(shù)、最值之間存在的聯(lián)系，并能簡單體會(huì)，初中數(shù)學(xué)中的最值問題在很多時(shí)候都是和函數(shù)息息相關(guān)的.

二、具體問題講解，融會(huì)貫通知識(shí)

（一）幾何圖形中的最值問題

例1 如圖1，在邊長為2的正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則EF + BF的最小值為（ ），并說明理由.

設(shè)置此題的目的是找到兩定點(diǎn)間的距離最小值的模型，以對(duì)稱點(diǎn)的思考方向講解幾何圖形中的定點(diǎn)最值問題的解決方式，并形成思維的習(xí)慣，遇到這樣的問題，即朝著此方向思考和求解. 此題目作為例題，教師需要講解清楚，為幾何圖形中求最值問題明確思考的主線和方向. 以此作為同類問題的模型指引.

練習(xí)1：如圖2，在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB = 60°，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則EF + BF的最小值為（ ），并說明理由.

練習(xí)2：如圖3，已知二次函數(shù)y = x2 - 4x + 5的圖像與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（-1， 0）和點(diǎn)B（0，-5）.若已知該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△ABP的周長最小.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

練習(xí)1緊跟例題，是對(duì)知識(shí)的一個(gè)延續(xù)和實(shí)時(shí)情況的跟蹤，也考查一下學(xué)生對(duì)于圖形的深刻認(rèn)識(shí)，正方形和菱形的共同點(diǎn)——對(duì)稱性，在解決圖形最值問題中有關(guān)鍵作用.

練習(xí)2是一個(gè)拓展，加入了函數(shù)的模型，但是函數(shù)只是一個(gè)背景，實(shí)際的類型仍然是例1.

（二）函數(shù)中的最值問題

例2 某商店經(jīng)營T恤衫， 已知成批購進(jìn)時(shí)單價(jià)是2元. 根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查， 銷售量與單價(jià)滿足如下關(guān)系： 在某一時(shí)間內(nèi)，單價(jià)是13元時(shí)， 銷售量是200件， 而單價(jià)每降低1元，就可以多售出50件. 單價(jià)為多少時(shí)，利潤最大？

解 設(shè)每件T恤衫降價(jià)x元，銷售利潤為y元，根據(jù)題意列式為：

y = （13 - 2 - x）（200 + 50x）

= -50x - ■2 + ■.

當(dāng)x = ■ 時(shí)，利潤最大.

因此單價(jià)為9.5元時(shí)，利潤最大，最大值為2812.5元.

設(shè)置此題的目的是：找到第二種最值問題——二次函數(shù)中的最值問題的解決方法和過程. 因此例2采取耳熟能詳?shù)臓I銷問題，（1）降低難度，會(huì)讓大部分的學(xué)生有著落，能思考，能列式，并能得出結(jié)論；（2）容易總結(jié)出這類題目的通法，一舉兩得.

例3 某飲料廠為了開發(fā)新產(chǎn)品，用A種果汁原料和B種果汁原料試制新型甲、乙兩種飲料共50千克，設(shè)甲種飲料需配制x千克，兩種飲料的成本總額為y元.

（1）已知甲種飲料成本每千克4元，乙種飲料成本每千克3元，請(qǐng)你寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若用19千克A種果汁原料和17.2千克B種果汁原料試制甲、乙兩種新型飲料，下表是試驗(yàn)的相關(guān)數(shù)據(jù)：

請(qǐng)你分析如何配制這兩種飲料，可使y值最小，最小值是多少？

解 （1）y = x + 150.

（2）根據(jù)題意，可列不等式組為

0.5x + 0.2（50 - x） ≤ 19，0.3x + 0.4（50 - x） ≤ 17.2.

解得28 ≤ x ≤ 30.

因?yàn)閥 = x + 150中的k = 1為正，所以y隨x的增大而增大.

所以，當(dāng)x = 28時(shí)，y的最小值為178.

所以，當(dāng)配制甲種飲料28千克、乙種飲料22千克時(shí)，可以使兩種飲料的配制成本最小，最小值為178元.

函數(shù)當(dāng)中的第二種類型，方案設(shè)計(jì)問題，例3的設(shè)計(jì)采取分步表述，一是可以降低分析的門檻，降低難度；二是可以使學(xué)生明晰對(duì)于這類問題的思考方向，即先有函數(shù)關(guān)系式，才去求最大值或者最小值的問題，基本上懂得這一類題目的解題思路，才能真正達(dá)到總結(jié)模型有用的效果.

另外，此題的圖表可以使形式更多樣性，更清晰化.

這道題目以教師講解為主，此題目理解簡單，容易操作，但是書寫過程需要加以分析，才能完整呈現(xiàn)此題的設(shè)計(jì)和思路，特別是對(duì)于一次函數(shù)中的最大值和最小值問題的表達(dá)需要規(guī)范.

三、歸納類型，深度思考

在本節(jié)課的最后，將上述所講的內(nèi)容總結(jié)歸納，總結(jié)出：在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們所能遇到的最值問題，包括這樣三種情況，一是幾何圖形中的最值問題；二是與二次函數(shù)相關(guān)聯(lián)的最值問題；三是有關(guān)方案設(shè)計(jì)問題的最值問題.

用余文森教授關(guān)于課堂有效性的認(rèn)定來結(jié)束這篇淺顯的論文，余文森教授認(rèn)為：“課堂教學(xué)的有效性必然表現(xiàn)在不同層次上，但學(xué)生是否有進(jìn)步或發(fā)展，是衡量教學(xué)有效性的唯一標(biāo)準(zhǔn). 學(xué)生的進(jìn)步不能僅限于知識(shí)的掌握，學(xué)生對(duì)專業(yè)知識(shí)的理解絕不能靠訓(xùn)練，而要靠思維過程，要靠個(gè)性化的思維. 知識(shí)轉(zhuǎn)換為解題技能是要靠操練的. 這種操練能提高學(xué)生的解題技能和學(xué)業(yè)成績，但同時(shí)，這種技能也是一把雙刃劍，也能壓抑人的創(chuàng)造性、想象力. ”“教學(xué)的有效性要關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，從時(shí)間上來說，學(xué)生的發(fā)展有當(dāng)下發(fā)展和終生發(fā)展，任何一個(gè)有效教學(xué)必定要促進(jìn)學(xué)生當(dāng)下發(fā)展，同時(shí)對(duì)學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展也會(huì)有影響. 以前的教學(xué)太注重當(dāng)下發(fā)展，實(shí)際上教學(xué)還要關(guān)注學(xué)生的未來發(fā)展、可持續(xù)發(fā)展. 有效的課堂教學(xué)活動(dòng)沉淀下來的是一種思維方式和精神. ”

因此，我們教師在教授任何一類課程的時(shí)候，都要秉承著課堂有效性這個(gè)宗旨，真正能做到讓學(xué)生在有限時(shí)間的課堂上，達(dá)成知識(shí)最大容量的接受和積累，特別是在復(fù)習(xí)課上，要能取得實(shí)質(zhì)性的作用，有的放矢地進(jìn)行教師的教與學(xué)生的學(xué)，完善課堂，使得課堂實(shí)用有效.