摘 要：函數(shù)教學(xué)一直是高中數(shù)學(xué)的重中之重，在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，從學(xué)生易錯(cuò)的視角入手分析函數(shù)問題，對(duì)函數(shù)教學(xué)有事倍功半的效果. 本文將從案例角度進(jìn)行分析，立足給函數(shù)復(fù)習(xí)教學(xué)帶來有效性的指導(dǎo).

關(guān)鍵詞：函數(shù)；易錯(cuò)；復(fù)習(xí)教學(xué)；解讀

眾所周知，函數(shù)教學(xué)一直是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn). 從知識(shí)視角來說，函數(shù)概念較為形式化和抽象，對(duì)中學(xué)生來說難以完全理解和掌握，其三要素的分析和求解一直是高中數(shù)學(xué)核心的體現(xiàn). 函數(shù)三大性質(zhì)更顯得紛繁復(fù)雜，一旦將這些性質(zhì)結(jié)合起來置于具體的或抽象的函數(shù)之中，學(xué)生就顯得手足無措. 縱觀高考命題，大量研究發(fā)現(xiàn)高考題中的稍難題和壓軸題基本圍繞函數(shù)思想在命題，最終都是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想求解，因此函數(shù)的復(fù)習(xí)教學(xué)成為整個(gè)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的重中之重.

從學(xué)生視角來說，筆者通過多年的高三教學(xué)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)函數(shù)問題的掌握不盡滿意. 究其原因，筆者以為學(xué)生對(duì)函數(shù)概念并未真正理解，對(duì)函數(shù)性質(zhì)不能熟練運(yùn)用，對(duì)函數(shù)整個(gè)問題教學(xué)難以站在更高的角度上去分析，出錯(cuò)的問題依舊在出錯(cuò)，明顯對(duì)自身易錯(cuò)的問題不夠認(rèn)知清晰和足夠重視. 本文將從學(xué)生易錯(cuò)的視角，通過案例分析的方式進(jìn)行解讀，旨在給復(fù)習(xí)教學(xué)工作帶來一些新的思考.

[?] 基礎(chǔ)問題易錯(cuò)

例1 求函數(shù)y=log（x2-3x）的單調(diào)區(qū)間.

易錯(cuò)分析：忽視函數(shù)的定義域，認(rèn)為x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，導(dǎo)致錯(cuò)誤.

解：設(shè)t=x2-3x，由t>0，得x<0或x>3，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（3，+∞）. 函數(shù)t的對(duì)稱軸為直線x=，故t在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上單調(diào)遞增.而函數(shù)y=logt為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y=log（x2-3x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（3，+∞）.

解讀：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先求出函數(shù)的定義域.如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)該根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)“同增異減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 由于思維定式的原因，容易忽視定義域，導(dǎo)致錯(cuò)誤.

[?] 函數(shù)性質(zhì)易錯(cuò)

例2 函數(shù)f（x）對(duì)任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且當(dāng)x>0時(shí)，恒有f（x）>1.

（1）求證：f（x）在R上是增函數(shù)；

（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a-5）<2.

易錯(cuò)分析：（1）對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義.應(yīng)該構(gòu)造出f（x2）-f（x1）并與0比較大小.

（2）將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性去掉是本小題的切入點(diǎn). 要構(gòu)造出f（M）

解：（1）設(shè)x10，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f（x）>1，所以f（x2-x1）>1. f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-1，所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1>0，f（x1）

（2）因?yàn)閙，n∈R，不妨設(shè)m=n=1，所以f（1+1）=f（1）+f（1）-1，f（2）=2f（1）-1，f（3）=4，f（2+1）=4，f（2）+f（1）-1=4，3f（1）-2=4，所以f（1）=2，所以f（a2+a-5）<2=f（1）. 因?yàn)閒（x）在R上為增函數(shù)，所以a2+a-5<1，-3

小結(jié)：解函數(shù)不等式的問題一般步驟如下所示.

第一步：確定函數(shù)f（x）在給定區(qū)間上的單調(diào)性；

第二步：將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f（M）

第三步：運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)的抽象符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；

第四步：解不等式或不等式組，確定解集；

第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.

解讀：本題對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的判斷是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn). 不會(huì)運(yùn)用條件x>0，f（x）>1，構(gòu)造不出f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1的形式，找不到問題的突破口. 第二個(gè)關(guān)鍵應(yīng)該是將不等式化為f（M）

[?] 整合問題易錯(cuò)

例3 已知函數(shù)f（x）=-x2+2ex+m-1，g（x）=x+ （x>0）.

（1）若y=g（x）-m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；

（2）確定m的取值范圍，使得g（x）-f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根.

易錯(cuò)分析：（1）y=g（x）-m有零點(diǎn)即y=g（x）與y=m的圖象有交點(diǎn)，所以可以結(jié)合圖象求解.

（2）g（x）-f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根，則y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以可利用它們的圖象求解.

解：（1）法一，因?yàn)間（x）=x+≥2=2e，等號(hào)成立的條件是x=e，故g（x）的值域是[2e，+∞），因而只需m≥2e，則y=g（x）-m就有零點(diǎn).

法二，作出g（x）=x+（x>0）的大致圖象，如圖1.

可知若使y=g（x）-m有零點(diǎn)，則只需m≥2e.

[y=g（x）][y=m][x][y][O][e][2e]

圖1

[y=g（x）][x][y][O][e][2e][y=f（x）]

圖2

（2）若g（x）-f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根，即g（x）與f（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出g（x）=x+（x>0）的大致圖象，如圖2.

因?yàn)閒（x）=-x2+2ex+m-1=-（x-e）2+m-1+e2，所以其圖象的對(duì)稱軸為x=e，開口向下，最大值為m-1+e2. 故當(dāng)m-1+e2>2e，即m>-e2+2e+1時(shí)，g（x）與f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，即g（x）-f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根. 所以m的取值范圍是（-e2+2e+1，+∞）.

解讀：（1）求函數(shù)零點(diǎn)的值，判斷函數(shù)零點(diǎn)的范圍及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍等問題，都可利用方程來求解，但當(dāng)方程不易甚至不可能解出時(shí)，可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

（2）本題的易錯(cuò)點(diǎn)是確定g（x）的最小值和f（x）的最大值時(shí)出錯(cuò). 要注意函數(shù)最值的求法.

通過上述三個(gè)函數(shù)易錯(cuò)問題的分析，筆者從基本知識(shí)到函數(shù)性質(zhì)，最后到整合函數(shù)的易錯(cuò)點(diǎn)，層層深入，可以清楚看到學(xué)生常常在解決函數(shù)問題中的錯(cuò)誤，對(duì)這些易錯(cuò)點(diǎn)的解讀有利于教師下一階段教學(xué)工作的合理展開. 筆者最后想說：大部分學(xué)生不可能向教師一樣站在系統(tǒng)的高度去理解數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)試題，這勢(shì)必要求教師定期對(duì)易錯(cuò)的問題進(jìn)行歸納和整理，以易錯(cuò)題學(xué)案的形式進(jìn)行定期鞏固，這樣更能加強(qiáng)函數(shù)復(fù)習(xí)教學(xué)中易錯(cuò)問題的梳理和掌握.

以上是筆者對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)易錯(cuò)知識(shí)的一些看法，限于時(shí)間和篇幅，著重以函數(shù)教學(xué)中的常規(guī)案例出發(fā)，以錯(cuò)誤為載體，圍繞著基礎(chǔ)知識(shí)、函數(shù)性質(zhì)、整合能力等方面中出現(xiàn)的錯(cuò)誤及尋求應(yīng)對(duì)這些錯(cuò)誤的技巧展開敘述，期間還有很多問題沒有涉及，還有一些方面筆者未能從自身的教學(xué)實(shí)踐中提煉、總結(jié)出來，期待讀者補(bǔ)充. 筆者尚需更進(jìn)一步的鉆研，學(xué)習(xí)各種教育教學(xué)理論，豐富自己的理論素養(yǎng)，并且在實(shí)踐中落實(shí)理論，提煉經(jīng)驗(yàn).

數(shù)學(xué)學(xué)科是一門龐大的學(xué)科，教學(xué)的視角也各有不同，教學(xué)風(fēng)格也更有千秋，但是我們的目標(biāo)是為學(xué)生提供更方便、更簡(jiǎn)潔、更藝術(shù)的道路，讓學(xué)生獲得成功. 前人積累的經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)很豐富了，因此更需要我們尋求獨(dú)特的視角多加鉆研，筆者提出了“復(fù)習(xí)教學(xué)中緊抓易錯(cuò)問題”的觀點(diǎn)來關(guān)注學(xué)生呈現(xiàn)的錯(cuò)誤，抓住契機(jī)，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，以上的筆者管窺之見，希望各位同仁能夠不吝賜教.