宗意偉

摘 要：首先將一道高中幾何題進(jìn)行4種證法，其次，將此題變化結(jié)果再進(jìn)行證法的探索；第三，構(gòu)造其兩個(gè)逆命題再進(jìn)行證法的探索. 從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與求異思維.

關(guān)鍵詞：探索；創(chuàng)新精神；求異思維；圓冪定理；相似三角形

“一葉而知秋，一題一世界”

俗語(yǔ)說(shuō)：“一葉而知秋”，這句話給我們提供了一種研究問(wèn)題的思路，體現(xiàn)了微觀和宏觀之間的一種共通和互融的關(guān)系，是一種通過(guò)現(xiàn)象看問(wèn)題本質(zhì)的途徑. 就我們數(shù)學(xué)教師而言，提高學(xué)生的解題能力是我們共同的目的，而實(shí)際上往往事與愿違，我們讓題海包圍，而學(xué)生卻讓題海淹沒(méi)，教學(xué)效益和學(xué)習(xí)效率沒(méi)有得到更大的改善和提高. 筆者認(rèn)為，只有深入研究問(wèn)題求解中的各種可能性和問(wèn)題所呈現(xiàn)出的有利于教學(xué)的隱性資源，通過(guò)一題多解調(diào)動(dòng)學(xué)生頭腦中沉睡的知識(shí)鏈接，改善學(xué)生固化的思維習(xí)慣，讓學(xué)生樂(lè)于思考，勇于探索，進(jìn)而改善并提高學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)動(dòng)力，這才是我們數(shù)學(xué)教學(xué)所追求和倡導(dǎo)的.以下以2013年浙江省高考數(shù)學(xué)第17題為例進(jìn)行說(shuō)明和論述，該題如下：

設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R，若e1，e2的夾角為，則的最大值等于____________.

[?] 追本溯源，感知命題背景

該題考查了對(duì)于平面向量的基本概念的綜合運(yùn)用，其“源”題來(lái)自于必修4平面向量一章的課本習(xí)題第4題（第102頁(yè)），這道課本習(xí)題的條件和高考題非常相似，高考題就是以這道課本題為原型進(jìn)行改編的. 題目文字雖然不多，卻涵蓋了單位向量、平面向量的基本定理、夾角、向量的模等反應(yīng)向量特點(diǎn)的概念和定理，在一定程度上做到了知識(shí)點(diǎn)的有效覆蓋. 該題已知條件平易近人，最值問(wèn)題求解，體現(xiàn)了靜中有動(dòng)、變化之中有不變的特點(diǎn)，題目簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，給考生在知識(shí)運(yùn)用上留有足夠的回旋余地.

[?] 一題多解，探析解題思路

解法1 b2=

b

2=（xe1+ye2）2=x2+y2+xy，

所以===（令=t∈R），

則==≤2，所以的最大值為2.

該解法從函數(shù)入手，通過(guò)相關(guān)運(yùn)算得到一個(gè)兩元函數(shù)，然后換元轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)求解最值，從這個(gè)角度而言，盡管是考查平面向量的有關(guān)內(nèi)容，卻沒(méi)有放棄對(duì)于主干知識(shí)函數(shù)的考查.

解法2 b2=x2+y2+xy（*）.

設(shè)=t，則x=tb，代入式（*）得y2+tby+t2b2-b2=0.

上式可看做關(guān)于y的一元二次方程，方程有解，

所以Δ=（tb）2-4（t2-1）b2≥0，所以3t2b2-4（t2-1）b2≥0. 因?yàn)閎≠0，所以t2≤4. 因?yàn)閠≥0，所以0≤t≤2.

該解法運(yùn)用了函數(shù)到方程的轉(zhuǎn)換，利用判別式求得最值，體現(xiàn)了方程思想.

解法3：b2=b2=（xe1+ye2）2=x2+y2+xy?1=

+

+·.

令=m，=n，則上式可化為1=m2+n2+mn?1=m2+

m+n

，

利用三角換元m=

cosα

，

m+n=

sinα

，所以m的最大值為2.

該解法通過(guò)換元轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)的特性求出最值.

解法4 結(jié)合平面向量的基本定理可以從形的角度解決該問(wèn)題（如圖1）

[G][A][B][C][D][E][F][Q][O][e2][e1]

圖1

利用平四邊形法則，考慮到x，y的符號(hào)，向量b可以是圖中向量，，，某一個(gè)，其中

=

=

y

，

=

=

x

，∠BOC=30°. 根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩個(gè)三角形觀察（△OCG，△OCF），==，

所以=2sinθ≤2.

解法5 不妨設(shè)x≠0，由b=xe1+ye2，x，y∈R可得：=e1+e2，

所以

=e1

+e2

（∈R），結(jié)合平行四邊形法則（如圖2）

min=（垂直時(shí)），

所以的最大值為2.

[e2][e1][][]

圖2

解法4和5利用數(shù)形結(jié)合，直觀而簡(jiǎn)潔.

解法6 利用坐標(biāo)化的思想，不妨將原題進(jìn)一步特殊化，若e1，e2的夾角為，則向量b的坐標(biāo)可以設(shè)為（y，x），則=

sinα

，最大值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題，所以通過(guò)建立坐標(biāo)系問(wèn)題應(yīng)該可以得以解決（如圖3），可得坐標(biāo)A

，

，B（1，0），則向量b的坐標(biāo)為

x+y，x

，若b的起點(diǎn)為原點(diǎn)O. 設(shè)b與x軸正向所成角為α，sinα=，

所以=2

sinα

≤2.

[圖3][30°][A][B][x][O][y][e2][e1]

從以上6種解法來(lái)看，該題在解答過(guò)程中呈現(xiàn)出了比較豐富的知識(shí)背景，就這一點(diǎn)而言，體現(xiàn)了高考的命題取向，使得考生在解答過(guò)程中有較大的選擇余地，能夠更好地反應(yīng)學(xué)生知識(shí)的掌握程度. 就數(shù)學(xué)教學(xué)而言：“解題方法的多樣性，大大增強(qiáng)了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用能力，使得學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)僅僅通過(guò)一題就可以感受到整個(gè)高中數(shù)學(xué)的總體脈絡(luò)，是對(duì)學(xué)生已有知識(shí)的一個(gè)凝聚和整合的過(guò)程，這樣必將提高教學(xué)效益和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，就好像從一滴海水可以看到整個(gè)海洋的秘密，從一道題感受到整個(gè)數(shù)學(xué)體系的魅力，可謂是：“一題一世界”. 如果將該題的條件進(jìn)一步一般化，可以給出更為一般性的結(jié)論，如下：

設(shè)e1，e2為兩個(gè)不共線的非零向量，

e1

=a，

e2

=b，非零向量c=xe1+ye2，x，y∈R，若e1，e2的夾角為θ（θ∈（0，π）），則的最大值等于. （讀者可以利用以上的某種方法推導(dǎo)一下）

[?] 類題求解，感受共性特征

例1 （2013年浙江卷理科）設(shè)△ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B=AB，且對(duì)于邊AB上任意一點(diǎn)P，恒有·≥·，則（ ）

A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90°

C. AB=AC D. AC=BC

解：條件·≥·?{·}min=·，

以AB的中點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系（如圖4）

設(shè)A（-b，0），B（b，0），C（s，t），P

，0

. 因?yàn)镻為AB上任意一點(diǎn)，所以設(shè)P（x，0），=（b-x，0），=（s-x，t），則·=x2-（b+s）x+bs. ·取得最小值時(shí)，x==，所以s=0，

可以得出AC=BC，故選D.

[x][O][y][C（s，t）][B（b，0）][A（-b，0）][圖4]

例2 （2013年湖南卷理科）已知a，b為單位向量，a·b=0，若向量c滿足

c-a-b

=1，則c的取值范圍是________.

[O][A][B][C][r=1]

圖5

解：數(shù)形結(jié)合（如圖5），C的軌跡為半徑為1的一個(gè)圓，所以通過(guò)圖形觀察得出c的取值范圍為[-1，+1].

從以上兩個(gè)類題和前面提及的各種解法和分析可以看出，平面向量的問(wèn)題求解往往能夠呈現(xiàn)出多樣的解題方法，體現(xiàn)了四個(gè)方面的思想：函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、坐標(biāo)化的思想. 因此，注重思想領(lǐng)會(huì)，淡化解題技巧，體現(xiàn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)，深度挖掘習(xí)題背后的教育教學(xué)資源，增加學(xué)生必要的解題經(jīng)驗(yàn)和反思能力才是我們平時(shí)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)貫徹和執(zhí)行的.