張正銀
【摘要】高中數(shù)學(xué)考試中,三角函數(shù)的考察主要圍繞三角函數(shù)的定義域、值域、三角形內(nèi)角和定律、向量的變化等內(nèi)容,本文分析了高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見(jiàn)的幾個(gè)誤區(qū),并指出了正確的解題方案.
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);三角函數(shù);誤區(qū)
高中數(shù)學(xué)中,三角函數(shù)是教學(xué)重點(diǎn),也是高考熱點(diǎn)、難點(diǎn).三角函數(shù)中,學(xué)生做題容易出錯(cuò)的地方主要在對(duì)向量公式、原理的把握不夠,抽象思維能力不強(qiáng),從而圖像平移、三角函數(shù)求值、單調(diào)性等方面容易出錯(cuò),具體如下:
一、在求角的過(guò)程中,沒(méi)有注意三角函數(shù)的名稱(chēng)選擇
例1 已知sinα>sinβ,則下列命題成立的是( ).
若α,β是第一象限角,則cosα>cosβ
若α,β是第二象限角,則tanα>tanβ
若α,β是第三象限角,則cosα>cosβ
若α,β是第四象限角,則tanα>tanβ
注解 因?yàn)樵诘谝弧⑷笙迌?nèi),正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的增減性相反,因而可以排除A,C選項(xiàng);在第二象限正弦函數(shù)與正切函數(shù)的增減性也相反,因而也可以排除B選項(xiàng);在第四象限內(nèi),正弦函數(shù)與正切函數(shù)的增減性相同.
二、三角函數(shù)求解過(guò)程中沒(méi)有注意到函數(shù)圖像的變形
例2 求函數(shù)y=cosx3,x∈[0,4π]的值域.
錯(cuò)解
令t=x3,x∈[0,4π],則t∈0,43π,
于是y=cost,t∈0,4π3,所以,當(dāng)t=0時(shí),y取得最大值1.
當(dāng)t=4π3時(shí),y取得最小值-12.所以函數(shù)的值域?yàn)?12,1.
正解
令t=x3,x∈[0,4π],則t∈[0,43π],
于是y=cost,t∈0,4π3,結(jié)合函數(shù)圖像
當(dāng)t=0時(shí),y取得最大值1;
當(dāng)t=π時(shí),y取得最小值-1.
所以函數(shù)的值域?yàn)閇-1,1].
注解
求解函數(shù)的值域時(shí),不僅要根據(jù)x 的取值范圍,更要結(jié)合函數(shù)圖像的性質(zhì),利用函數(shù)圖像的單調(diào)性獲得函數(shù)的值域.
三、沒(méi)有把握好三角函數(shù)的平移概念
高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)中,平移是將圖形與公式相結(jié)合的重要板塊,學(xué)生往往會(huì)難以把握,進(jìn)而出解題失誤,影響到數(shù)學(xué)成績(jī),因而必須厘清平移概念,把握好平移技巧,才能有效避免錯(cuò)誤.
例 將曲線(xiàn)ycosx+2y-1=0先沿x 軸向右平移π2個(gè)單位,再沿y軸向下平移1個(gè)單位,得到的曲線(xiàn)方程是( ).
A.(1-y)sinx+2y-3=0
B.(y-1)sinx+2y-3=0
C.(y+1)sinx+2y+1=0
D.-(y+1)sinx+2y+1=0
注解 將原方程整理為:y=12+cosx,因?yàn)橐獙⒃€(xiàn)向右、向下分別移動(dòng)π2個(gè)單位和1個(gè)單位,因而可以得出y=12+cosx-π2-1為所求方程,整理而得出(y+1)sinx+2y+1=0.
本題主要考查了三角函數(shù)中的平移及三角函數(shù)公式的推導(dǎo),在對(duì)三角函數(shù)的平移有熟練掌握的前提下,可以將題目中的公式直接轉(zhuǎn)換為(y+1)cos (x-π2)+2(y+1)-1=0,得到答案C.
結(jié) 語(yǔ)
高中三角函數(shù)教學(xué)過(guò)程中面臨諸多問(wèn)題,學(xué)生容易進(jìn)入誤區(qū),要綜合把握三角函數(shù)的概念、公式、角的變化范圍、值域與圖像的變化,注意公式的合理選擇、角的范圍的確定等因素對(duì)三角函數(shù)值域的影響,才能夠盡可能的在三角函數(shù)求解的過(guò)程中少犯錯(cuò)誤,獲得好的學(xué)習(xí)效果.
【參考文獻(xiàn)】
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