朱雪芳，葉立軍

（1．臺(tái)州廣播電視大學(xué) 高職學(xué)院，浙江 臺(tái)州 318000；2．杭州師范大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310018）

1 問(wèn)題提出

微積分是中國(guó)高中數(shù)學(xué)課程中的必選內(nèi)容，也是世界上許多國(guó)家高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容．微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上的里程碑，它為研究變量與函數(shù)關(guān)系提供了重要的解決手段，其蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)培養(yǎng)中學(xué)生的邏輯思維能力起著重要的作用，并且它在經(jīng)濟(jì)、物理等許多學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，因此，選取微積分作為比較內(nèi)容．把中國(guó)教材和澳大利亞高中數(shù)學(xué)教材中的微積分進(jìn)行比較，分析兩種教材不同的特色，比較兩種教材中課程內(nèi)容的難易程度，顯得很有必要．借鑒其他國(guó)家課程改革的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)中國(guó)的數(shù)學(xué)課程改革和教科書的建設(shè)與整合具有重要的意義．

2 研究對(duì)象

從教材角度出發(fā)，比較中國(guó)和澳大利亞兩國(guó)高中數(shù)學(xué)教材中微積分的課程難度．依據(jù)兩國(guó)的課程標(biāo)準(zhǔn)，各選擇一套有代表性的數(shù)學(xué)教材進(jìn)行比較，澳大利亞選擇了澳洲 IBID出版社2007年出版的Mathematics Higher Level(core)第三版[1]，即數(shù)學(xué)高水平課程的必修部分，以下簡(jiǎn)稱 IBID版教材，中國(guó)選擇人教（A版）《選修2-2》[2]，以下簡(jiǎn)稱人教版教材．

運(yùn)用文獻(xiàn)法和比較法對(duì)兩種版本教材中的微積分部分進(jìn)行定性、定量分析與比較，采用難度系數(shù)模型對(duì)兩種教材中相應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行量化分析比較，從而得出兩種教材微積分內(nèi)容的實(shí)際難度水平．

3 教材具體內(nèi)容比較

3.1 兩種版本教材微積分內(nèi)容數(shù)量的比較

對(duì)人教版和IBID版數(shù)學(xué)教材中微積分內(nèi)容所占頁(yè)碼的數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，畫柱狀圖如圖1．

從上圖 1可以看出，在講微積分這部分內(nèi)容時(shí)，IBID版教材的微積分內(nèi)容占了289頁(yè)，人教版占了67頁(yè)，IBID版明顯比人教版用了更多的篇幅，它是一套成熟的教材，全面詳細(xì)地介紹了微積分的內(nèi)容，是一個(gè)非常完整的體系．

圖1 微積分內(nèi)容所占頁(yè)碼柱形圖

3.2 兩種版本微積分內(nèi)容的比較

將兩種教材中的微積分內(nèi)容按章節(jié)比較，結(jié)果如表1．

表1 兩種教材微積分內(nèi)容編排比較

由表1可知，兩種教材在內(nèi)容編排上基本相同，整體上都遵循著由導(dǎo)數(shù)到積分的安排順序，按微積分知識(shí)的發(fā)生發(fā)展呈現(xiàn)內(nèi)容，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．人教版微積分內(nèi)容的單元名稱是“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”，這一章分為7個(gè)小節(jié)；而IBID版教材的微積分內(nèi)容不是安排在一個(gè)章節(jié)中，它的章節(jié)劃分非常細(xì)化，共分成了7個(gè)章節(jié)，講解的內(nèi)容更多、更詳細(xì)．

3.3 兩個(gè)版本課程難度的比較

3.3.1 課程難度比較模型

在上述模型中，對(duì)課程廣度、課程深度、課程時(shí)間和課程難度進(jìn)行如下注釋：

課程廣度：指課程內(nèi)容涉及的范圍和領(lǐng)域的廣泛程度．通常用知識(shí)點(diǎn)的多少來(lái)量化，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和中學(xué)數(shù)學(xué)中知識(shí)點(diǎn)的劃分，目前尚無(wú)統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，一般認(rèn)為知識(shí)點(diǎn)是概念、定理及相關(guān)技能組成的小的獨(dú)立的知識(shí)系統(tǒng)．

課程深度[3]：指課程內(nèi)容所需要的思維深度，這是一個(gè)難以量化的因素，但可以用課程目標(biāo)要求的不同程度來(lái)量化．中國(guó)的課程標(biāo)準(zhǔn)在對(duì)知識(shí)和技能目標(biāo)進(jìn)行闡述時(shí)，使用了“了解（認(rèn)識(shí)）、理解、掌握、靈活運(yùn)用”等目標(biāo)動(dòng)詞，澳大利亞的課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)知識(shí)點(diǎn)也有“知道、理解、應(yīng)用”等要求．據(jù)此，在確定課程深度時(shí)，可以根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容目標(biāo)來(lái)確定每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的深度，將每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的深度由低到高分為4個(gè)水平：了解、理解、掌握和靈活運(yùn)用，并分別賦值，具體見表2．例如課程標(biāo)準(zhǔn)中要求“理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．”則這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的深度水平為“理解”，并賦值為2．

表2 課程深度水平的賦值

課程時(shí)間：指完成課程內(nèi)容所需要的時(shí)間，用通常所說(shuō)的課時(shí)的多少進(jìn)行量化．

課程難度：簡(jiǎn)單地說(shuō)就是指課程的難易程度．課程難度是預(yù)期的教育結(jié)果從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從低級(jí)到高級(jí)的質(zhì)和量在時(shí)間上相統(tǒng)一的動(dòng)態(tài)進(jìn)程．影響課程難度的基本要素至少有3個(gè)：課程深度、課程廣度和課程實(shí)施時(shí)間，3者關(guān)系為假設(shè)所研究的課程內(nèi)容，只要有足夠的時(shí)間，絕大多數(shù)學(xué)生都能理解，那么對(duì)于同一個(gè)課程內(nèi)容，在相同的課程深度下，課程廣度越大，則課程越難；同理，對(duì)于同一課程內(nèi)容，在相同的課程廣度下，課程深度越大，則課程越難；而當(dāng)課程廣度和課程深度都確定不變時(shí)，課程時(shí)間越短，則課程越難．

3.3.2 課程難度比較

根據(jù)以上的課程深度、課程廣度和課程時(shí)間的量化方法，對(duì)兩種版本教材中微積分的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行逐一鑒定、統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表3所示．

表3 兩種教材課程難度各因素量化數(shù)據(jù)

（1）課程時(shí)間．

人教版根據(jù)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書配套的教學(xué)參考書規(guī)定課時(shí)為24課時(shí)，IBID版的課程標(biāo)準(zhǔn)沒有明確地規(guī)定微積分課程的課時(shí)數(shù)，因此根據(jù)教材內(nèi)容安排估計(jì)教時(shí)數(shù)為40課時(shí)．

（2）課程廣度．

從表3可以看到，在課程廣度上，人教版和IBID版所含的知識(shí)點(diǎn)分別是16個(gè)和34個(gè)，人教版的微積分知識(shí)含量比IBID版的要少很多，少了18個(gè)知識(shí)點(diǎn)；從具體知識(shí)上看，兩種版本微積分的內(nèi)容大部分是相同的，都包含了導(dǎo)數(shù)、積分及應(yīng)用，但在具體內(nèi)容上，有較大的差別，IBID版比人教版多了極限符號(hào)的運(yùn)用、高階導(dǎo)數(shù)、不定積分和微分方程等內(nèi)容，與人教版相比，IBID版教材微積分所用的章節(jié)數(shù)較多，內(nèi)容涉及面廣，而人教版微積分的內(nèi)容則比較精簡(jiǎn)，IBID版的編排基本是“寬而廣”的模式，而人教版則是“窄而簡(jiǎn)”的模式．

（3）課程深度．

根據(jù)表3的數(shù)據(jù)，對(duì)人教版和IBID版微積分知識(shí)點(diǎn)的深度水平百分比計(jì)算如圖2所示．

圖2 兩種教材知識(shí)點(diǎn)深度水平百分比

由圖2可以看出，在人教版和IBID版的微積分內(nèi)容中，屬于“了解”水平的知識(shí)分別占25%和32.35%；屬于“理解”水平的知識(shí)分別占12.5%和14.7%；屬于“掌握”水平的知識(shí)分別占56.25%和47.06%；屬于“靈活應(yīng)用”水平的知識(shí)分別占6.25%和5.88%．兩條折線的走勢(shì)基本一致，深度值為3處于折線的最高點(diǎn)，深度值為4處于折線的最低點(diǎn)，由此說(shuō)明兩個(gè)版本對(duì)微積分知識(shí)的要求“掌握”層次的較多，“靈活應(yīng)用”層次的較少．

（4）課程難度．

根據(jù)表3的數(shù)據(jù)，利用前面定義的課程難度模型計(jì)算公式，取加權(quán)系數(shù) 5.0=a ，可計(jì)算出人教版和IBID版微積分課程的難度值，見圖3．

圖3 兩種教材微積分的課程難度值

從圖3可以看出，人教版微積分課程的難度值為0.41，IBID版微積分課程的難度值為 0.453，IBID版課程難度大于人教版，這是由于人教版微積分的內(nèi)容編排較少，知識(shí)點(diǎn)少，課程廣度減少，而兩種教材的課程深度基本相同，因此人教版課程難度就相應(yīng)的降低了．

在教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上，人教版教材是以生動(dòng)的問(wèn)題情境開始，通過(guò)實(shí)際背景和具體應(yīng)用的實(shí)例，在解決問(wèn)題的過(guò)程中引入新的概念，力求使學(xué)生在動(dòng)手動(dòng)腦的過(guò)程中體會(huì)到數(shù)學(xué)概念引進(jìn)的必要性和必然性； 而IBID版教材則通過(guò)數(shù)據(jù)分析和直觀圖形引入概念，有的就直接給出定義，這不如人教版更注重教材編寫的形象性、趣味性、探究性，從而可大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，降低教材的難度．

4 結(jié)論與啟示

（1）人教版教材條理清晰，欄目設(shè)置豐富多彩．

人教版的教材結(jié)構(gòu)，在排版方面，條理明確，欄目劃分標(biāo)記較多、較清楚，分別設(shè)有引言、觀察、思考、探究、注釋、問(wèn)題、點(diǎn)播、小結(jié)、探究與發(fā)現(xiàn)、信息技術(shù)應(yīng)用和實(shí)習(xí)作業(yè)等豐富多彩的欄目；而IBID版則采用“知識(shí)點(diǎn)—例題—練習(xí)—知識(shí)點(diǎn)—例題—練習(xí)”這樣循環(huán)往復(fù)的過(guò)程，顯得有些單調(diào)，但在章節(jié)布局上，IBID版教材所分章節(jié)更細(xì)化，講解內(nèi)容更多、更詳盡．

（2）IBID版教材內(nèi)容豐富詳實(shí)，具有較強(qiáng)的系統(tǒng)性和邏輯性．

IBID版教材的微積分內(nèi)容涵蓋了課程標(biāo)準(zhǔn)中所有的知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)文字、圖象、表格和圖形計(jì)算器等形式，把每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都分析得非常清楚、透徹，提供了詳實(shí)的授課內(nèi)容，注重了知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯性，并安排了大量的例題和習(xí)題，教學(xué)時(shí)教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況選擇合適的內(nèi)容，指導(dǎo)他們根據(jù)自身情況解決相應(yīng)的問(wèn)題；而人教版教材的課程內(nèi)容相對(duì)來(lái)說(shuō)則顯得有些窄，在知識(shí)體系的編排銜接上有些跳躍，缺少一定的系統(tǒng)性和邏輯性．在概念的引出上，人教版注重從具體的實(shí)例引入，強(qiáng)調(diào)基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)的理解；IBID版在概念的引入上則比較直接，對(duì)概念的強(qiáng)調(diào)不如人教版重視．

（3）兩種版本教材習(xí)題的選擇各有側(cè)重．

人教版教材習(xí)題設(shè)置條理明確，設(shè)有練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)思考題，各司其職，分別是對(duì)本小節(jié)內(nèi)容、本節(jié)內(nèi)容、本章內(nèi)容進(jìn)行練習(xí)，每一節(jié)課后設(shè)有習(xí)題，分A、B兩組，A組是基礎(chǔ)題，是本節(jié)內(nèi)容的復(fù)習(xí)與鞏固，B組是提高題，程度稍難，在本章最后，設(shè)有復(fù)習(xí)參考題，相對(duì)綜合，是整章知識(shí)的復(fù)習(xí)與綜合，這種設(shè)計(jì)模式，一課三練，既有鞏固加深又有綜合提高，通過(guò)習(xí)題使學(xué)生能很好地掌握本章的教學(xué)內(nèi)容．IBID版教材也配備了大量的習(xí)題，難度由淺入深，設(shè)置有梯度，步步深入，適合不同程度的學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生能加深對(duì)內(nèi)容的理解，得到很好的鞏固效果．在編排上沒有特定的格式或標(biāo)志，因而版面顯得很規(guī)整．

（4）IBID版微積分的課程廣度大于人教版，人教版微積分內(nèi)容的選取有待進(jìn)一步的改進(jìn)．

從課程難度定量分析結(jié)果看，IBID版的課程廣度較大，知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)而全面；人教版微積分的內(nèi)容較少，課程廣度低，由于知識(shí)的選擇面過(guò)窄，有些知識(shí)沒有遵守“循序漸進(jìn)”的原則，內(nèi)容跳躍，打亂了傳統(tǒng)的科學(xué)體系，致使微積分知識(shí)體系的邏輯性得不到體現(xiàn)，這給中學(xué)的教和學(xué)帶來(lái)了一定的困難，對(duì)學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)也造成了一定的影響，因此人教版教材在微積分內(nèi)容的選取上有待進(jìn)一步改進(jìn)．

（5）人教版微積分的課時(shí)量較少，可適當(dāng)增加．

從課程時(shí)間來(lái)看，人教版微積分所占有的24個(gè)課時(shí)量是比較少的，如此少的課時(shí)限制了課程對(duì)教學(xué)內(nèi)容的選擇，從而影響了微積分在高中數(shù)學(xué)課程中應(yīng)該占有的地位，與微積分在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要性不相匹配．

[1] Fabio Cirrito. Mathematies Higher Level (core) [M]. Australia: IBID Press, 2007.

[2] 人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)A版（選修2-2）[M]．北京：人民教育出版社，2010．

[3] 史寧中，孔凡哲，李淑文．課程難度模型：我國(guó)義務(wù)教育幾何課程難度的對(duì)比[J]．東北師大學(xué)報(bào)，2005，（6）：151-155．

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