康曉蓉 鮮大權(quán)

(西南科技大學理學院 四川綿陽 621010)

本文考慮如下形式的(2+1)維 Zakharov－Kuznetsov(ZK)方程:

其中 α，β，γ為非零實數(shù)。1974年，Zakharov和Kuznetsov從含有冷離子和熱等溫電子的磁化等離子體中推導出了該模型方程。它作為與波動現(xiàn)象密切相關(guān)的非線性方程，既可用于描述水波在(2+1)維空間的運動規(guī)律，也可用于描述處于磁場中的等離子體的運動規(guī)律。早在20世紀90年代，Shivamoggi B.K.利用 Painleve測試法對它作了研究［1］。近年來，該方程引起了更多物理學家和數(shù)學家的關(guān)注。閆振亞等用擬設(shè)法得到了組合的(2+1)維ZK方程的鐘狀與扭狀組合型孤波解和周期孤波解［2］;Mou S.S.A.通過相似約化獲得了(1)式的一些顯式解［3］;Abdul－Majid Wazwaz采用 sin－cos法和擴展tanh法得到了2個修正形式周期孤子解和周期解［4－5］;石玉仁等用同倫分析法得到修正的方程(1)的一些近似精確解［6］;閆志蓮等利用改進直接法給出了廣義(2+1)維ZK方程的對稱和新舊顯式解間的關(guān)系［7］;鄧朝方應(yīng)用新的擴展雙曲函數(shù)法，得到了方程(1)的若干周期波解［8］;楊征等用改進Riccati方程映射法得到了特殊孤子解結(jié)構(gòu)［9］。但方程(1)的可積性內(nèi)涵豐富［10］，其不同的解結(jié)構(gòu)表達了不同的物理意義。

本文應(yīng)用微分動力系統(tǒng)定性理論對方程(1)進行定性分析，并運用橢圓方程映射法尋求相應(yīng)解的顯式表達。

1 定性分析

取波變換:

其中k1，k2，c1為待定非零常數(shù)，k1，k2分別是行波在x，y方向的波數(shù)，c1為波速，c0是式(1)的常數(shù)特解。將式(2)代入方程(1)得:

其中v'=dv/dξ，(3)式對ξ積分一次，取積分常數(shù)為A得:

記dv/dξ=w(ξ)，則非線性常微分方程(4)等價于以下自治動力系統(tǒng):

系統(tǒng)(5)有兩個平衡點:

在平衡點處(5)式右邊的Jacobi矩陣分別為:

其特征根分別為:

當(αk1c0－c1)2－αk1A＞0時，λi(i=1，2)或為兩不等實數(shù)，或為兩共軛純虛根。此時平衡點P1，P2或為鞍點或為中心點，且P1為鞍點時P2必為中心點，P1為中心點時P2必為鞍點。當(αk1c0－c1)2－αk1A＜0時，λi(i=1，2)為兩共軛復(fù)根。這時的平衡點P1，P2或為焦點或為中心點。

由(5)式可知，系統(tǒng)在相平面(w，v)上的相軌線滿足:

綜上分析可得，系統(tǒng)(4)存在鞍－鞍同宿軌和圍繞中心的周期閉軌。方程(1)相應(yīng)地存在孤立波解和周期波解［11］。

2 孤立波解和周期波解

式(4)兩邊乘以v'后再對ξ積分一次，取積分常數(shù)為B得:

這是廣義的常系數(shù)三次橢圓方程，下面用橢圓方程映射法和Jacobi橢圓函數(shù)展開法兩個方法尋求式(8)的解。

2.1 橢圓方程映射法

依據(jù)文獻［12］的相關(guān)結(jié)果得式(9)的解及式(1)的相應(yīng)解。

2.1.1 孤立波解

當A=B=0，α，k1∈R－ {0}，(αk1c0－c1)τ＞0時，(9)的解是:

ξ→ ±∞?v1→0，因此這是從鞍點P1=(0，0)出發(fā)又回到P1的同宿軌。相應(yīng)獲得(1)的孤立波解為:

2.1.2 周期波解

(1)Weierstyass橢圓函數(shù)周期波解。

當A，B∈R，αk1τ＞0，αk1c0－c1∈R時，

相應(yīng)獲得(1)的周期波解為:

有理函數(shù)解為:

(2)正割函數(shù)周期波解。

當A=B=0，α，k1∈R－{0}，(αk1c0－c1)τ＜0 時，

這也是圍繞中心點的閉軌。式(1)的相應(yīng)周期波解為:

2.2 Jacobi橢圓函數(shù)展開法

(1)假設(shè)(17)的解為:

其中sn=sn(ξ，m)是以m∈［0，1］為模的 Jacobi橢圓正弦函數(shù)，將(18)式代入(17)式得關(guān)于待定參數(shù)a0，a1，a2，A，B的非線性代數(shù)方程組如下:

這是圍繞中心的閉軌。當m→1時

相應(yīng)獲得式(1)的周期波解:

孤子解:

(2)假設(shè)(17)的解為:

其中cn=cn(ξ，m)是以m∈［0，1］模的 Jacobi橢圓余弦函數(shù)，將(24)式代入(17)式得關(guān)于待定參數(shù)a0，a1，a2，A，B的非線性代數(shù)方程組如下(式(25)):

(25)的解是:

因此得式(8)的解:

這是圍繞中心的閉軌。當m→1時

相應(yīng)獲得式(1)的周期波解:

鐘狀孤立波解:

3 結(jié)論

本文應(yīng)用行波變換將(2+1)維ZK方程化成了非線性常微分方程，對其進行了動力學定性分析，并運用橢圓方程映射法和Jacobi橢圓函數(shù)展開法獲得了方程的孤立波解和周期波解。

［1］SHIVAMOGGI B K.Painleve test for the Zakharov －Kuznetsov equation［J］.Phys，Scripta，1996，42:641－648.

［2］閆振亞，張鴻慶.組合Zakharov－Kuznetsov方程的顯式孤波解［J］.純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學，2000，16(2):31－35.

［3］MOUSSAM H M.Similarity solutions to nonlinear partial differential equation of physical phenomena represented by the Z － K equation［J］.Int J Eng Sci，2001，39:1565－1571.

［4］WAZWAZ A M.Exact solutions with solutions and periodic structures for the Zakharov－Kuznetsov equation and itsmodified form［J］Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2005，10:597－606.

［5］WAZWAZ A M.The extended tanh method for the Z－K equation，themodified Z－K equation，and its generalized forms［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations［In Press］dor 10.1016/j.cnsns.2006，10:007.

［6］石仁玉，許建新，等.同倫分析法在求解非線性演化方程中的應(yīng)用［J］.物理學報，2006，55(4):1556 －1560.

［7］閆志蓮，劉希強.廣義Zakharov－Kuznetsov方程的對稱及精確解［J］.原子與分子物理學報，2007，24(1):141－144.

［8］DENG Chao－fang.New Exact Solutions to the Zakharov－Kuznetsov and its generalized form［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2010，15:857 －868.

［9］楊征，馬松華，方建平.(2+1)維Zakharov－Kuznetsov方程的精確解和孤子結(jié)構(gòu)［J］.物理學報，2011，60(4):040508.

［10］肖光燦，鮮大權(quán)，肖瀟.New exact solutions to the Dullin－Gottwald－Holm Equations［J］.西南科技大學學報，2010，26(1):93 －99.

［11］XIANDa－quan.Saddle－node heteroclinic orbitand exact nontraveling wave solutions for(2+1)D KdV－Burgers Equation［J］.Abstract and Applied Analysis，2013，696074:1－7.

［12］ZHANG S.A generalized auxiliary equation method and its application to(2+1)D KdV equations［J］.Compu.and Math.with App.，2007，54:1028 －1038.