鄭洪艷，羅 勇，胡亦鄭

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

一類松籽、松鼠、幼苗的征稅模型分析

鄭洪艷，羅 勇?，胡亦鄭

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

運(yùn)用微分方程理論，研究了一類非線性的紅松種群征稅模型，得到了該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，證明了該系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的局部漸進(jìn)穩(wěn)定性和正平衡點(diǎn)的全局吸引域，利用Pontryagin最大值原理給出了最優(yōu)征稅策略．

數(shù)學(xué)模型；漸進(jìn)穩(wěn)定性；最優(yōu)稅收

長(zhǎng)期以來(lái)，松籽、松鼠和幼苗之間相互影響、世代繁衍，并維持穩(wěn)定，其中松籽和松鼠是具有較高經(jīng)濟(jì)價(jià)值的林副產(chǎn)品．為了科學(xué)開發(fā)和合理利用森林資源，從對(duì)該系統(tǒng)大量調(diào)查和直接觀察到的現(xiàn)象分析得到，種子、鼠類（主要是指松鼠，同時(shí)也考慮花鼠、林姬鼠等）和幼苗是紅松林發(fā)生和演替紐帶，三者之間相互調(diào)節(jié)．

宋國(guó)華在文獻(xiàn)[1]中研究了一類松籽、松鼠、幼苗的數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)模型：

為了既能滿足資源開發(fā)者的經(jīng)濟(jì)要求，又能更好的保護(hù)資源，人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中尋找出了一種非常有效的資源收獲策略，即對(duì)所開發(fā)的資源征一定的稅．文獻(xiàn)[2-6]分別研究了食餌-捕食征稅模型，文獻(xiàn)[7]研究了具有3階段結(jié)構(gòu)的自食單種群征稅模型．本文研究了一類松籽、松鼠和幼苗征稅系統(tǒng)，假設(shè)捕獲的努力量是可變的，分析得出了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性、局部性．通過(guò)研究生物經(jīng)濟(jì)平衡問(wèn)題，指出了一個(gè)可行的生物經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)與單位捕獲強(qiáng)度的成本有關(guān)．

1 模型的建立

三條基本假設(shè)[1]：

1）不考慮其他因素時(shí)，松籽增長(zhǎng)率按照理想的自發(fā)育過(guò)程不斷增加，受松鼠影響不斷減少；

2）松鼠增長(zhǎng)率隨種子數(shù)量增加而增加，隨自身數(shù)量增加而減少（這里不考慮松鼠的年齡結(jié)構(gòu)，認(rèn)為它們的捕食與埋藏能力相同）；

3）幼苗增長(zhǎng)率隨松籽數(shù)量增加而增加，隨自身增加而減少．

我們考慮的模型如下：

2 平衡點(diǎn)的存在性

情況I：當(dāng)未對(duì)松籽征稅（E=0）時(shí)，系統(tǒng)（1）可以變?yōu)椋?/p>

情況II：當(dāng)對(duì)松籽征稅（E≠0）時(shí)，這時(shí)Y*是正平衡點(diǎn)，其中，x*,y*,z*,E*是以下方程組的正解：

3 平衡點(diǎn)的局部性質(zhì)

4 平衡點(diǎn)的全局性質(zhì)

定理3 假設(shè)條件(H2)成立，系統(tǒng)（1）的正平衡點(diǎn)Y*的吸引的吸引域?yàn)椋?/p>

5 最優(yōu)征稅策略

為了使資源開發(fā)者在長(zhǎng)期開發(fā)中獲得的經(jīng)濟(jì)收益最大，我們將用最優(yōu)控制理論控制捕獲努力度，力求尋找一個(gè)最優(yōu)的捕獲努力量，在資源的長(zhǎng)期開發(fā)中得到社會(huì)收入貼值為：

式中，δ為貼現(xiàn)率，e-δt為貼現(xiàn)因子．在滿足狀態(tài)方程（1）和控制約束條件τmin≤τ≤τmax下，希望能找到一個(gè)最優(yōu)稅收策略τ=τ(t)，使J取得最大值．

首先，建立Hamilton函數(shù)：

式中：λ1,λ2,λ3,λ4為伴隨變量①Clark C W. Mathematical bioeconomic: the optimal management of renewable resources [M]. New York: John Whiley, 1990.，假設(shè)H必須在τ∈[τmin,τmax]中取得在最大值，上述問(wèn)題的最優(yōu)控制必是奇異控制與線性控制相結(jié)合，因此最優(yōu)解不會(huì)在τ=τmin和τ=τmax上取得．

根據(jù)Pontryagin最大值原理，可得：

由（10）式得：

利用正平衡點(diǎn)所滿足的狀態(tài)方程，由（9）式得：

則線性微分方程組的解為：

式中A1=1-δ,A2=1．

同理由（8）式可得：

于是線性方程（14）的解為：

再由（7）式可得：

將（4）中得出的x*,y*,z*,E*值代入（16）式可得到一個(gè)關(guān)于τ的方程，設(shè)τδ為此方程的一個(gè)解（如果存在的話）．再將τ=τδ代入x*,y*,z*,E*可得最優(yōu)平衡解(x =xδ,y=yδ,z =zδ,E=Eδ)．

通過(guò)以上分析，可得如下結(jié)論：

（1）從方程（6）、（13）、（15）和（17）中注意到λe-δt(i =1,2,3,4)（其中λ,i=1,2,3,4是伴隨變量）在最優(yōu)平衡解整個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)仍然不變．因此它們滿足橫截條件，例如當(dāng)t→∞時(shí)它們?nèi)杂薪纾?/p>

6 結(jié) 論

本文研究了一類松籽、松鼠和幼苗征稅模型，假設(shè)捕獲的努力量是可變的，得到該模型平衡點(diǎn)的存在性以及局部性，利用Pontryagin最大值原理給出了最優(yōu)平衡解．

[1] 宋國(guó)華, 李秀琴, 李俊清. 一類松籽、松鼠、幼苗的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型及討論[J]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1994, 9(4): 163-168.

[2] Ganguly S, Chaudhuri K S. Regulation of a single-species fishery by taxation [J]. Ecological Modeling, 1995, 82(1): 51-60.

[3] 張睿. 具有比率依賴型功能反應(yīng)函數(shù)的食餌-捕食者征稅模型分析[J]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 23(3): 484-488.

[4] 孫軍芳, 荀曉侃, 張睿. 基于種群保護(hù)的最優(yōu)稅收策略[J]. 山東理工大學(xué)學(xué)報(bào): 自然學(xué)科版, 2007, 21(5): 57-59.

[5] 賈春瑩, 高建國(guó). 具有比率的Holling III類功能性反應(yīng)函數(shù)的捕食者-食餌征稅模型分析[J]. 云南民族大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2010, 19(3): 177-180.

[6] 賈春瑩, 高建國(guó). 改進(jìn)了的捕食者-食餌系統(tǒng)的征稅模型分析[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2010, 40(16): 237-242.

[7] 曾夏萍, 高建國(guó). 具有3階段結(jié)構(gòu)的自食單種群征稅模型[J]. 寧夏大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2012, 33(3): 233-237.

[8] Kar T K. Conservation of a fishery through optimal taxation: a dynamic reaction model [J]. Communications in nonlin-ear science and numerical simulation, 2005, 10(2): 121-131.

Analysis on Taxation Model of Pine Nut, Squirrel and Saplings

ZHENG Hongyan, LUO Yong, HU Yizheng
(Mathematics and Information Science College, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

This paper studies a class of nonlinear taxation model of pine nut, squirrel and saplings by means of the theory of differential equations. The existence of the positive equilibrium of the system is discussed through the research. Locally asymptotic stability of the system’s positive equilibrium is proved and the attractive domain of the positive equilibrium is obtained. The problem of optimal taxation strategy is settled by taking the advantage of Pontryagin’s maximal principle.

Mathematical Model; Asymptotic Stability; Optimal Taxation

O193

A

1674-3563(2014)04-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.04.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2014-05-03

國(guó)家自然科學(xué)基金(11001204)

鄭洪艷(1988- )，女，吉林長(zhǎng)春人，碩士研究生，研究方向：生物數(shù)學(xué)．? 通訊作者，luoyong@wzu.edu.cn