沈?qū)W美

摘 要：學習數(shù)學唯一正確的方法就是實行“再創(chuàng)造”，也就是由學生本人把要學的東西自己去發(fā)現(xiàn)或者創(chuàng)造出來. 教師的任務(wù)是引導學生進行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生. 通過折紙活動引導學生探究橢圓、雙曲線及拋物線的定義及其內(nèi)涵，充分體現(xiàn)了新課標的精神——以學生為主體，吸引學生動手實踐、自主探索、合作交流.

關(guān)鍵詞：微課；實踐；折紙；探究；思；學；悟

2011年，廣東省佛山市教育局長胡鐵生率先提出了以微視頻為中心的新型教學資源———“微課”. 教育部教育管理信息中心開展了第四屆全國中小學“教學中的互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用”優(yōu)秀教學案例暨第一屆“中國微課大賽”評選活動，活動歷經(jīng)近一年的時間，經(jīng)過評審組專家嚴格的初評和終評，遴選出了許多優(yōu)秀的微課作品，這次評選既是一場教學技能的競賽，又是一個教師教學經(jīng)驗交流和教學風采展示的舞臺. “微課”是指按照新課程標準及教學實踐要求，以教學視頻為主要載體，反映教師在課堂教學過程中針對某個知識點或教學環(huán)節(jié)而開展教與學活動的各種教學資源的組合. “微課”有其與生俱來的特性——主題明確、針對性強，從而開創(chuàng)探究式教學的新模式.

[?] 課程實錄

筆者在認真觀摩了此次微課大賽的一些作品后，將最近本地區(qū)的一次公開課——《圓錐曲線概念再探究》改寫成了微課，嘗試將圓錐曲線啟蒙課的概念進行新的探究.

1. 設(shè)計背景

人教版教材選修2-1第二章章頭圖是通過平面去截一個圓錐得出圓錐曲線的定義，筆者認為，這種教學情境首先對空間畫圖和想象能力要求相當高，師生容易受圖形直觀、簡單而影響，或稍作演示就得結(jié)論，學生的印象必然不深刻，沒引起做夠的重視；其次，教師把原本很生動、有趣的知識探索過程給省略了，取而代之的是把圓錐曲線的概念直接“拋”給學生，這樣會讓學生覺得索然無味；再者，每小節(jié)用書上的定義強套得出圓錐曲線的各個定義，一沒有聯(lián)系性，二沒有學生的親歷思考，為了得結(jié)論而設(shè)置，效果甚微. 考慮到新教材習題中特別增加了一類“操作題”，這就為學生提供了動手操作的素材，為學生體驗數(shù)學知識的創(chuàng)造過程提供了可能，并能極大地提高學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)了學生的動手能力、思考能力和創(chuàng)新能力. 為了利用好這一課本資源，同時降低學生學習圓錐曲線的門檻，這就要求我們在課堂教學中重視學生的動手操作和觀察思考層面的訓練，從而加深學生對數(shù)學概念內(nèi)在本質(zhì)的理解，提升課堂教學的功效.

2. 目標解析

（1）通過折紙這種傳統(tǒng)游戲，并在教師的引導下學生玩中學——體驗，做中思——思考，演中悟——自主生成和品悟出原生態(tài)的圓錐曲線的定義，及其形成的基本思想；

（2）利用類似的折紙游戲，用類比的思想讓學生感悟新知；

（3）借助實例的辨析、對比，對概念的內(nèi)涵進行深加工，進一步使學生體會圓錐曲線的核心概念.

3. 條件分析

（1）學生的知識儲備：學生已經(jīng)系統(tǒng)地學習了圓的定義、圓的標準方程等知識.這是類比學習圓錐曲線的基礎(chǔ)，因此在教學中應(yīng)注意運用類比，引導學生自己得出圓錐曲線的定義，理解圓錐曲線的本質(zhì).

（2）教學素材的準備：在公開課時教學環(huán)節(jié)設(shè)計了視頻、實驗、學生動手探索等素材. 實驗和動手探索，以確保學生為主體，符合學生的認知規(guī)律. 投影和幾何畫板為的是更加清楚和形象.

（3）教學理念的準備：本次微課雖然時間短暫，但是仍提供大量的時間給學生探索、體驗、思考、整合，用盡可能短的時間讓學生體會圓錐曲線概念的形成過程. “授之以魚，不如授之以漁”.

4. 教學過程

本次微課教學過程設(shè)計的依據(jù)是：個體對數(shù)學概念的認識要在不斷的思考中加深、內(nèi)化.因此，整體的設(shè)計思路是讓學生通過與圓的類比，實質(zhì)性地經(jīng)歷橢圓概念的發(fā)生、發(fā)展過程.在不斷的類比中，讓學生從已有的知識過渡到新的知識，加深對概念的理解，達到螺旋上升的教學效果.具體環(huán)節(jié)如下：

（1）情境激活，拋磚引玉

數(shù)學實驗1 請同學們觀察課本32頁章頭圖，用一個垂直于圓錐曲線的平面截圓錐，截口曲線是什么？改變平面與圓錐軸線的夾角，會得到什么圖形呢？

學生（齊聲）：圓、橢圓、拋物線、雙曲線.

教師：是啊，相似的條件下，得到的結(jié)論不同，那么我們拿起礦泉水瓶一起演示下不同的水面圖形.

學生樂此不疲地擺動起來，當然不少學生覺得太簡單，沒什么可探討的.

教師：由于我們知識尚不到位，不妨結(jié)合答案一起來欣賞2008年高考浙江理數(shù)第10題.

（2）問題引領(lǐng)，探究本質(zhì)

教師：肯定有同學會有這樣的疑惑，為什么從電腦作圖的結(jié)果來看，中間的空白部分恰好是一個橢圓呢？為了解決這個問題，我們不妨研究其中的一條折痕.我們在圓F1上任取一點P1，然后把折痕L加粗顯示出來（圖7），思考下列問題.

教師：折痕L與線段P1F2之間是什么關(guān)系？為什么？

學生：因為沿著折痕L對折后，點P1與點F2重合，故折痕L是線段P1F2的垂直平分線.

教師：線段垂直平分線上的點有什么性質(zhì)？

學生：到線段兩端的距離相等，即PP1=PF2.

教師：你能否求出PF1+PF2的值？這個結(jié)果是否是定值呢？

學生：PF1+PF2=PF1+PP1= F1P1，而F1P1是圓F1的半徑，是一個常數(shù).

教師：如果我另換一條其他的折痕，這個結(jié)果會改變嗎？

學生：不變.

教師：如果在折痕L上除點P外任取一點Q，將QF1+QF2的值與PF1+PF2的值進行比較，你有何發(fā)現(xiàn)？

學生：由三角形任意兩邊之和大于第三邊可知，QF1+QF2=QF1+QP1>F1P1.

教師：非常好，根據(jù)QF1+QF2不是定值可知點Q不在橢圓上，即折痕L與橢圓只有一個交點P，折痕其實是該空白部分橢圓的一條切線，同理，每一條折痕都是該橢圓的切線，這無數(shù)條切線包圍住橢圓，也就襯托出了橢圓的輪廓，這就是我們用折紙法折出橢圓的原理所在.這節(jié)課我們就一起來研究橢圓及其標準方程. （板書課題）

我們已經(jīng)通過折紙實驗，體會到了橢圓的形成過程及原理. 既然點P在橢圓上運動，你能否嘗試著概括一下什么是橢圓？

教師：那么，C，D兩個同學所代表的這一類圖形為什么不夠全面呢？我們對比這四個同學的作圖痕跡，發(fā)現(xiàn)C和D同學在圓F1上取點時，把所取的點都密集在圓F1的一段弧上，不像E和F同學那樣在圓F1的四周都取了點. 那么，E和F同學的結(jié)果是否就不具有片面性？我們知道，對于取點作圖問題，取的點越多，作出來的圖象就越精確. 但是要想取遍圓周上所有點，這個工作量太大，我們還是借助借助《幾何畫板》工具來幫助我們演示作圖（圖15）.

類比橢圓定義的推導過程，請同學們帶著下面一系列問題自主探究：

問題1：折痕與線段P1F1之間是什么關(guān)系？

問題2：回憶剛才折紙的過程，思考對于雙曲線左支上的任意一點M1（圖16）M1F2-M1F1的值是多少？該結(jié)果有何特點？

問題3：在左支上另取一點，該結(jié)果是否會改變？

問題4：如果在右支上任取一點M2，則M2F2-M2F1的值是多少？該結(jié)果有何特點？

問題5：那么對于雙曲線上任意一點M，則MF2-MF2結(jié)果有何特點？

問題6：類比橢圓的定義，你能否嘗試著雙概括一下雙曲線的定義？

問題7：如果把這個常數(shù)記作2a，你能否用一個數(shù)學表達式表示出來？

問題8：如果我們把定點F1，F(xiàn)2之間的距離記作2c，則2a和2c的大小關(guān)系如何？（注意與橢圓的區(qū)別）

教師：通過前面橢圓的學習，我們知道要研究曲線所具有的性質(zhì)，必須通過研究其方程來得到. 請你類比前面推導橢圓標準方程的過程，嘗試著推導雙曲線的基本概念（以下過程略）.

（4）觸類旁通，活學活用

新課標的教材編寫特別注重知識的系統(tǒng)性，對于拋物線的教學引入也可以用折紙的背景. 類比前面橢圓和雙曲線的推導過程，該探究過程完全可以放手讓學生去獨立完成.

數(shù)學實驗4 將一張長方形紙片ABCD的一只角斜折，使D點總是落在對邊AB上，然后展開紙片，得到一條折痕L（為了看清楚，可以把直線L畫出來）. 這樣繼續(xù)下去，得到若干折痕. 觀察這些折痕圍成的輪廓，它們形成何種曲線？（具體實施過程不再贅述）

1. 概念感受，切勿惜時

本次微課是一次概念教學課.筆者曾聆聽人教版章建躍博士關(guān)于概念教學的一個講座，強調(diào)中學數(shù)學概念教學應(yīng)返璞歸真，并多次談到了概念教學要注重理解，“一針見血，不惜時不惜力”. 本微課正滲透著這樣的理念，教學設(shè)計與制作都是圍繞圓錐曲線基本概念推導過程及聯(lián)系展開，不僅注重教師的“教”，更注重學生的“學”. 通過實驗操作、啟發(fā)引導、多媒體演示、合作探究等方法，由淺入深，層層推進學生對圓錐曲線概念的理解，以期達到螺旋上升的教學效果.

2. 問題探究，感受數(shù)學

正如華羅庚大師所說“無處不用數(shù)學”，知識來源于實踐，數(shù)學知識更是如此.對于某些數(shù)學概念，若能由學生親自動手操作，通過觀察、分析、比較、歸納，進而行成數(shù)學概念，這樣可以讓學生從中體驗獲取數(shù)學知識的樂趣，養(yǎng)成動手和思考的良好的學習習慣. 因此筆者認為，在平時的課堂教學中若能適當?shù)刈寣W生自主地去動手操作，再經(jīng)過教師的引導、點撥和提示，能使學生從被動地接受教師灌輸?shù)臓顟B(tài)中解脫出來，充分發(fā)揮學生的積極性、主動性，使所獲得的知識更加深刻和牢固，并對學生養(yǎng)成動手能力、獨立思考能力等都大有裨益.

3. 滲透思想，創(chuàng)新探究

新課程標準強調(diào)讓學生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)等思維過程來形成思維能力. 這就要求我們要以學生體驗、理解、掌握知識為中心，重視數(shù)學概念的構(gòu)作、數(shù)學思維的建立、數(shù)學意識的形成，所以，教師應(yīng)設(shè)計好每節(jié)課的內(nèi)容與容量. 本案例延長了概念的探究過程，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新能力.

本節(jié)課筆者主要想滲透探究思想和類比思想，精心設(shè)計三個數(shù)學實驗有明顯的聯(lián)系，學生很自然想到概念的聯(lián)系和區(qū)別，以問題鏈的形式步步加深概念的印象. 圓錐曲線的概念課形式多樣，精彩紛呈，人說“一千個讀者就有一千個哈姆萊特”，我們始終在探究怎樣的方式能帶給學生更大的沖擊，更有效的效果，能培養(yǎng)更多的能力. 本微課以問題為載體、以探究為主線，讓學生感受了“玩中思、做中學、演中悟”，不失為一種新的嘗試.

4. 微課教學，與時俱進

“微課”不同于傳統(tǒng)單一資源類型的教學課例、教學設(shè)計等，是在其基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種新型教學資源. 它是為學生“解惑”的微型課，在考前、做作業(yè)前，學生都可以在網(wǎng)上精確地搜索不懂的考點、知識點，讓自己的疑惑得到解決. 與傳統(tǒng)的一節(jié)課相比，微課是濃縮的精華，時間短而內(nèi)容精，要求教師在較短的時間內(nèi)，將這個知識點講解透徹. 在講授過程中，學生可以隨時暫停、后退等，也可以很方便地下載保存在終端設(shè)備（如筆記本電腦、手機等）上進行移動學習，在課程講授完成后，學習者還可以借助習題、測試等一系列配套的資料來鞏固知識點. 這樣既可以學習課堂新知識，又可以不受時間、地點、空間等的限制.如此形式，也非常適合教師的觀看、評課、反思和研究. 因此，微課有著傳統(tǒng)教學不可比擬的優(yōu)勢.

正因為課程內(nèi)容的微小，所以人人都可以成為課程的研發(fā)者. 正因為課程的使用對象是教師和學生，課程研發(fā)的目的是將教學內(nèi)容、教學目標、教學手段緊密地聯(lián)系起來，而不是去驗證理論、推演理論，所以決定了研發(fā)內(nèi)容一定是教師自己熟悉的、感興趣的、有能力解決的問題. 讓我們都參與到微課教學、趣味創(chuàng)作中去吧！