凌永能

【摘要】本文在探討提高數(shù)學(xué)思維能力的基礎(chǔ)上，主要從設(shè)計(jì)開放性題型入手，論述其對數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的重要性和可行性，以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一些方法和途徑。

【關(guān)鍵詞】開放性題型；初中數(shù)學(xué)；思維能力

一、開放性題型對數(shù)學(xué)思維的重要性

開放型習(xí)題是相對有明確條件和明確結(jié)論的封閉式習(xí)題而言的，是指題目的條件不完備或結(jié)論不確定的習(xí)題。解答開放型習(xí)題，由于沒有現(xiàn)成的解題模式，解題時(shí)往往需要從多個不同角度進(jìn)行思考和探索，且有些問題的答案是不確定的，因而能激發(fā)學(xué)生豐富的想象力和強(qiáng)烈的好奇心，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生主動參 與的積極性。

練習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)重要的組成部分，恰到好處的習(xí)題，不僅能鞏固知識，形成技能，而且能啟發(fā)思維，培養(yǎng)能力。在教學(xué)過程中，除了要注意增加變式題、綜合題外，適當(dāng)設(shè)計(jì)一些開放性題型，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性 和靈活性，克服學(xué)生思維的呆板性。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是素質(zhì)教育的核心問題，幾乎人人在提，但是它在我們學(xué)校教育主陣地的課堂當(dāng)中如何真正落實(shí)呢？這個問題似乎太大，一時(shí)間是難以解決的，正所謂“冰凍三尺非一日之寒?！睂W(xué)生思維能力的培養(yǎng)是要常抓不懈的系統(tǒng)工程，只要每位教育工作者都充分重視起來，就能造就出更多卓越人才。

二、開放型習(xí)題對提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的作用

（一）注重開放性問題的發(fā)現(xiàn)和解決，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

“問題”是數(shù)學(xué)思維的心臟，學(xué)生思維活動就是從問題開始的。以問題為中心的課堂教學(xué)是培養(yǎng)思維深刻性的好方法。同時(shí)，不定型開放問題，所給條件包含著答案不唯一的因素，在解題的過程中，必須利用已有的知識，結(jié)合有關(guān)條件，從不同的角度對問題作全面分析，正確判斷，得出結(jié)論，從而更好培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

從“一元二次方程的根的判別式”的教學(xué)處理可見一斑：首先讓學(xué)生用公式法解下列方程： ， ， ；然后讓學(xué)生主動去探索老師設(shè)計(jì)的開放性問題：1、同是一元二次方程，其實(shí)根據(jù)的情況不同，這與求根公式中哪一部分的計(jì)算有關(guān)？2、一元二次方程的實(shí)根據(jù)情況與這部分值的正負(fù)又有什么關(guān)系？（學(xué)生歸納）3、以后請你判斷一元二次方程實(shí)根據(jù)的情況，是否還要通過解方程后再作定論？4、有什么快速判斷一元二次方程實(shí)根情況的方法呢？教師可以舉例：當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。然后讓學(xué)生先嘗試，老師隨后點(diǎn)撥。這種“提問探究”式的開放性教學(xué)，不僅讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識，還訓(xùn)練了學(xué)生獲得知識的思維過程。

（二）運(yùn)用多向型開放題，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

多向型開放題，對同一個問題可以有多種思考方向，使學(xué)生產(chǎn)生縱橫聯(lián)想，啟發(fā)學(xué)生一題多解、一題多變、一題多思，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性。這類題，可以給學(xué)生最大的思維空間，使學(xué)生從不同的角度分析問題，探究數(shù)量間的相互關(guān)系，并能從不同的解法中找出最簡捷的方法，提高學(xué)生初步的邏輯思維能力，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性。

教師在教學(xué)過程中，要多運(yùn)用多向型開放題培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。如在中學(xué)數(shù)學(xué)“三角形三邊關(guān)系”的教學(xué)中，我們一般是從兩方面去引導(dǎo)學(xué)生思考推理過程的。方法一是復(fù)習(xí)前面學(xué)過的公理“兩點(diǎn)之間的線段最短”，應(yīng)用這個公理可以解釋三角形三邊關(guān)系。方法二是通過讓學(xué)生動手畫圖，任意畫一個三角形，測量a，b，c的長度，研究任何兩邊之和與第三邊的大小關(guān)系即可得出結(jié)論。再比如例題，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，E為AB的中點(diǎn)，求證：CE= 。很多學(xué)生都用“加倍法”或“折半法”解決了此題。就比如下面的方法一和方法二。方法一，取DC的中點(diǎn)F，連結(jié)BF，通過證△EBC≌△BDC即可。方法二，延長CE至G，使CE=EG，通過證△ACG≌△BDC。這時(shí)，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生，同樣是“折半”，只有取一線段的中點(diǎn)這種方法嗎？同學(xué)們躍躍欲試，這時(shí)我們就可以又得到下面幾種方法。方法三，通過B作BF∥AC，交CD于F，先證FC= ，再證△BEC≌△BFC即可。方法四，作BF∥CD，交AC于F，先證BF= ，再證△BEC≌△CFB即可。之后教師再啟發(fā)學(xué)生，上面的四種證法有什么共同點(diǎn)？學(xué)生總結(jié)出都做了輔助線，最后得出不做輔助線的解題方法。方法五 ∵AE=EB，∴ ；又∵AD=2AB，AB=AC，∴ ，∴ ，而∠A=∠A，∴△ACE∽△ADC，∴ ，∴CE= 。這個例題的處理啟發(fā)我們，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，就是要學(xué)生主動地尋求問題“一解”之外的思路，鼓勵學(xué)生面對問題能夠擺脫常規(guī)思路的支配，學(xué)會解開放性題型，“標(biāo)新立異”，舉一反三，觸類旁通，這樣，才能達(dá)到增強(qiáng)思維靈活性、創(chuàng)造性的目的。為培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，教師在講課時(shí)對同一問題可用不同的方法進(jìn)行多方位講解或給出不同的答案；要注意為學(xué)生布置能鍛煉發(fā)散思維的作業(yè)，如答案不唯一，需要分情況討論的問題，對同一問題可采用不同變式讓學(xué)生練習(xí)，要鼓勵學(xué)生一題多解。

（三）運(yùn)用缺少型開放題，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

缺少型開放題，按常規(guī)解法所給條件似乎不足，但如果換個角度去思考，便可得到解決。比如：在一個面積為12平方厘米的正方形內(nèi)剪一個最大的圓，所剪圓的面積是多少平方厘米？按常規(guī)的思考方法：要求圓的面積，需先求出圓的半徑，根據(jù)題意，圓的半徑就是正方形邊長的一半，但根據(jù)題中所給條件無法求出。換個角度來考慮：可以設(shè)所剪圓的半徑為r，那么正方形的 邊長為2r，正方形的面積為（2r）[2]=4r[2]=12，r[2]=3，所以圓的面積是3.14×3=9.42（平方厘米）。但是還可以這樣想：把原正方形平均分成4個小正方形，每個小正方形的邊長就是所剪圓的半徑，設(shè)圓的半徑 為r，那么每個小正方形的面積為r[2]，原正方形的面積為4r[2]，r[2]=12÷4，所剪圓的面積是3.14×（12 ÷4）=9.42（平方厘米）。通過此類題的練習(xí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高靈活解題的能力。

總之，解答開放型習(xí)題，由于沒有現(xiàn)成的解題模式，往往需要從多個不同角度進(jìn)行思考和深索，因而能激發(fā)學(xué)生豐富的想象力和強(qiáng)烈的好奇心，它是培養(yǎng)思維能力的重要手段，只要我們重視學(xué)生在獲取和運(yùn)用知識的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，定會達(dá)到減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的目的。

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