孫月海，劉彥峰，段路茜，葛 楠

等彎曲強(qiáng)度條件下漸開(kāi)線少齒數(shù)齒輪副的變位

孫月海1,2，劉彥峰1，段路茜3，葛 楠1

(1. 天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；2. 天津大學(xué)輕型動(dòng)力教育部工程研究中心，天津 300072；3. 裝甲兵工程學(xué)院機(jī)械工程系，北京 100072)

針對(duì)漸開(kāi)線少齒數(shù)齒輪副強(qiáng)度較弱的問(wèn)題，以平面漸開(kāi)線少齒數(shù)齒輪副為研究對(duì)象，以增強(qiáng)小齒輪輪齒彎曲強(qiáng)度并使大小齒輪具有相同或接近的彎曲強(qiáng)度為設(shè)計(jì)條件，對(duì)漸開(kāi)線少齒數(shù)齒輪副大小齒輪的徑向變位系數(shù)和切向變位系數(shù)的選擇進(jìn)行了研究．通過(guò)對(duì)齒輪副輪齒最大彎曲應(yīng)力的分析，推導(dǎo)出大小齒輪徑向變位系數(shù)和切向變位系數(shù)應(yīng)滿足一定的函數(shù)關(guān)系．徑向變位系數(shù)的選擇需要考慮輪齒根切和齒輪副無(wú)側(cè)隙嚙合兩方面因素，即小齒輪的徑向變位系數(shù)應(yīng)滿足避免根切的條件，而齒輪副徑向變位系數(shù)之和要滿足一定函數(shù)關(guān)系．切向變位系數(shù)的選擇需要考慮切向變位對(duì)大小齒輪嚙合情況與彎曲強(qiáng)度的相互影響，小齒輪切向變位過(guò)大會(huì)使大齒輪的齒厚過(guò)小，削弱大齒輪的彎曲強(qiáng)度，同時(shí)有可能引起小齒輪齒根齒廓干涉．對(duì)于齒數(shù)、模數(shù)確定的少齒數(shù)齒輪副，以大小齒輪徑向變位系數(shù)和切向變位系數(shù)應(yīng)滿足的各個(gè)函數(shù)條件為依據(jù)，通過(guò)建立變位系數(shù)的數(shù)學(xué)模型，可以獲得輪齒副等彎曲強(qiáng)度條件下大小齒輪徑向和切向變位系數(shù)的最佳組合．

齒輪；少齒數(shù)齒輪副；彎曲強(qiáng)度；變位系數(shù)

少齒數(shù)齒輪副一般是指小齒輪齒數(shù)小于8的齒輪副．近年來(lái)，少齒數(shù)齒輪副越來(lái)越多地被用于傳動(dòng)比大而空間位置有特殊要求的航空航天、精密儀器等傳動(dòng)裝置中．但由于齒數(shù)少、齒輪端面尺寸小，使小齒輪的強(qiáng)度特別是輪齒彎曲強(qiáng)度較弱，造成少齒數(shù)齒輪副的承載能力較低，影響了該類齒輪副的廣泛使用．

Ishibashi等[1]為了能使少齒數(shù)齒輪副具有較高的承載能力，對(duì)齒輪副的徑向變位進(jìn)行了研究．結(jié)果表明，過(guò)大的徑向變位系數(shù)會(huì)引起少齒數(shù)齒輪輪齒變尖、齒高縮短，降低齒輪的重合度，影響齒輪副的承載能力．Ishibashi等[2]還研究了小齒輪齒數(shù)為3～5的漸開(kāi)線齒輪與圓弧齒輪的承載能力對(duì)比情況. Chen等[3]利用齒輪的徑向變位結(jié)合齒條型刀具齒廓修形的方法提出了無(wú)根切、高重合度、高強(qiáng)度的少齒數(shù)齒輪副的設(shè)計(jì)制造方法．Pan等[4]基于少齒數(shù)齒輪連續(xù)傳動(dòng)性差和根切等問(wèn)題，對(duì)齒輪的徑向變位系數(shù)和螺旋角的選擇進(jìn)行了研究，得到了較好的設(shè)計(jì)參數(shù)．蔣軍[5]提出在徑向變位的基礎(chǔ)上引入切向變位，通過(guò)改變齒條刀具的齒厚來(lái)改變被切制齒輪的齒厚和齒高，對(duì)于提高齒輪副的承載能力具有較好的借鑒意義，但對(duì)于如何確定變位系數(shù)并未見(jiàn)諸報(bào)道．王樹(shù)平[6]基于提高少齒數(shù)齒輪副的承載能力，進(jìn)行了少齒數(shù)齒輪的齒形設(shè)計(jì)研究，提出了齒輪副廓形界限域的概念，為提高齒輪副的承載能力提供了新思路．趙向飛等[7]對(duì)少齒數(shù)齒輪的變位系數(shù)進(jìn)行了研究，通過(guò)增大滾刀刀頂圓角半徑的方法，使小齒輪齒頂厚和重合度都有所提升．孫伏等[8]對(duì)漸開(kāi)線少齒數(shù)齒輪彎曲疲勞應(yīng)力的計(jì)算系數(shù)進(jìn)行了研究，通過(guò)設(shè)計(jì)相關(guān)實(shí)驗(yàn)，對(duì)齒數(shù)為4～11的齒輪進(jìn)行了分析，得到了彎曲疲勞應(yīng)力計(jì)算中齒形系數(shù)和應(yīng)力修正系數(shù)變化曲線、齒頂變尖極限曲線和齒根根切極限曲線，對(duì)少齒數(shù)齒輪的彎曲強(qiáng)度計(jì)算具有一定的借鑒意義．

在齒輪傳動(dòng)中，齒輪副獲得高承載能力的基礎(chǔ)設(shè)計(jì)方法之一是使輪齒副具有相同或接近的彎曲強(qiáng)度．對(duì)于具有通常齒數(shù)的漸開(kāi)線齒輪副設(shè)計(jì)，一般大小齒輪的輪齒形狀較為接近，或相差并不懸殊．而少齒數(shù)(特別是齒數(shù)小于6)的齒輪齒形偏小，其彎曲強(qiáng)度較與之嚙合的大齒輪輪齒差別較大．為此，本文以平面漸開(kāi)線少齒數(shù)齒輪副為研究對(duì)象，以獲得大小齒輪達(dá)到相等或接近的輪齒彎曲強(qiáng)度為設(shè)計(jì)條件，對(duì)少齒數(shù)齒輪副大小齒輪的徑向變位系數(shù)和切向變位系數(shù)數(shù)值的選擇計(jì)算進(jìn)行了研究．

1 少齒數(shù)齒輪副等彎曲強(qiáng)度參數(shù)設(shè)計(jì)

在一些情況下，大小齒輪具有相同或接近的彎曲強(qiáng)度是齒輪副獲得高強(qiáng)度設(shè)計(jì)的主要條件．本文主要研究齒輪副的兩個(gè)輪齒具有相同彎曲強(qiáng)度的參數(shù)關(guān)系．

1.1 小齒輪的最大彎曲應(yīng)力分析

小齒輪齒數(shù)小于6的齒輪副的端面嚙合重合度一般小于1，小齒輪齒數(shù)為6、7、8時(shí)會(huì)出現(xiàn)重合度略大于1的情況．但考慮到制造和安裝誤差的影響，很有可能會(huì)出現(xiàn)單對(duì)齒承擔(dān)所有載荷的情況，因此，本研究以單齒嚙合為條件開(kāi)展少齒數(shù)齒輪副的彎曲應(yīng)力分析．圖1所示為小齒輪齒頂A處和大齒輪嚙合的情況，此時(shí)小齒輪齒根處產(chǎn)生的彎曲應(yīng)力最大，是判斷小齒輪最高彎曲強(qiáng)度的依據(jù)．將此時(shí)的彎曲應(yīng)力作為小齒輪的計(jì)算彎曲應(yīng)力．

圖1 小齒輪齒頂與大齒輪嚙合Fig.1 Meshing of pinion and big gear

求解齒輪彎曲應(yīng)力的基本公式[9]為

式中：Fσ為齒根危險(xiǎn)截面所受的最大彎曲應(yīng)力；M為齒根危險(xiǎn)截面所受的最大彎矩；W為輪齒危險(xiǎn)截面的抗彎截面系數(shù)．

按照輪齒等效懸臂梁的材料力學(xué)分析模型，小齒輪齒根危險(xiǎn)截面的最大彎矩1M為

式中：nF為嚙合點(diǎn)處小齒輪所受的法向力；kα為小齒輪嚙合點(diǎn)A處壓力角；1l為等效懸臂梁長(zhǎng)度．

輪齒危險(xiǎn)截面的抗彎截面系數(shù)1W為

式中：1b為小齒輪輪齒寬度；1s為危險(xiǎn)截面寬度．

由于少齒數(shù)的小齒輪齒數(shù)很少，其危險(xiǎn)截面的確定不同于齒數(shù)較多的一般漸開(kāi)線齒輪．為確定齒數(shù)為2～6的漸開(kāi)線小齒輪輪齒的危險(xiǎn)截面位置，對(duì)小齒輪在一定載荷條件下所受彎曲應(yīng)力的情況進(jìn)行了有限元受力分析，如圖2所示(z1為齒數(shù))．齒輪所用材料彈性模量均為210MPa，泊松比為0.3．

圖2 齒數(shù)2～6的小齒輪彎曲應(yīng)力有限元分析Fig.2 Finite element analysis of bending strength of pinion with z1from 2 to 6

根據(jù)有限元分析結(jié)果，齒數(shù)為2的齒輪危險(xiǎn)截面位于兩輪齒的中間位置，而齒數(shù)3～6的齒輪危險(xiǎn)截面基本處于rw1=(rm1+rf1)/2處，rf1為齒根圓半徑，rm1為齒根過(guò)渡曲線與漸開(kāi)線工作齒廓的連接點(diǎn)所在圓的半徑，如圖3所示．根據(jù)齒輪加工原理可以求得小齒輪rm1為

式中：m為齒輪模數(shù)；ha*為齒頂高系數(shù)；α為分度圓壓力角；xr1為小齒輪徑向變位系數(shù)；r1為小齒輪分度圓半徑．

圖3 小齒輪危險(xiǎn)截面示意Fig.3 Diagram of dangerous cross-section of pinion

由此可得到危險(xiǎn)截面寬度s1和等效懸臂梁長(zhǎng)度l1分別為

式中：a1r為小齒輪實(shí)際齒頂圓半徑；wjθ為輪齒危險(xiǎn)截面所對(duì)應(yīng)圓心角的1/2，可根據(jù)齒輪嚙合原理[10-11]求得．

為便于計(jì)算，忽略摩擦功耗，將法向力nF用轉(zhuǎn)矩T和小齒輪基圓半徑b1r表示為nb1/FTr=，并將式(2)、式(3)、式(5)和式(6)代入式(1)中，可得小齒輪最大彎曲應(yīng)力F1σ表達(dá)式為

1.2 大齒輪最大彎曲應(yīng)力分析

大齒輪在齒頂處嚙合時(shí)其齒根處所受彎曲應(yīng)力最大．采用30°切線法確定大齒輪危險(xiǎn)截面寬度s2及等效懸臂梁長(zhǎng)度l2，如圖4所示．線段KN的長(zhǎng)度即為等效懸臂梁的長(zhǎng)度l2，rb2為大齒輪的基圓半徑，r2為大齒輪分度圓半徑，ra2為大齒輪的齒頂圓半徑，θb為齒頂齒厚所對(duì)圓心角的1/2，αa2為大齒輪齒頂圓處漸開(kāi)線齒廓的壓力角．假定大齒輪由齒條刀具切削而成，圖5為刀具齒廓示意，ha0為刀具中線到刀具齒頂?shù)木嚯x，e為刀具圓角中心到刀具齒廓中心線的距離．

圖4 30°切線法Fig.4 30° tangent method

圖5 齒輪刀具廓形Fig.5 Profile of gear cutter

圖6 所示為刀具切制齒輪的示意[12]，圖中P為節(jié)點(diǎn)，位置Ⅰ和位置Ⅱ?yàn)檩嘄X轉(zhuǎn)動(dòng)角度為?時(shí)的兩個(gè)工作位置，在位置Ⅱ時(shí)齒根過(guò)渡曲線與30°切線的切點(diǎn)S恰好為此時(shí)的嚙合點(diǎn)．根據(jù)刀具和齒輪的幾何關(guān)系可以求得輪齒危險(xiǎn)截面寬度2s及等效懸臂梁長(zhǎng)度2l，即

式中：2z為大齒輪齒數(shù)；r2x為大齒輪的徑向變位系數(shù)；θ為在位置Ⅱ時(shí)直線AP與位置Ⅰ時(shí)坐標(biāo)軸y的夾角．

θ與?的關(guān)系為π/3?θ=-，且滿足

式中B為刀具圓角中心到齒廓中心線的距離．

圖6 大齒輪2s和2l求解Fig.6 Solution of2s and2lof big gear

在確定危險(xiǎn)截面寬度2s及等效懸臂梁長(zhǎng)度2l后，可以求得齒根最大彎矩2M和輪齒危險(xiǎn)截面的抗彎截面系數(shù)2W，即

將nb1/FTr=和式(10)、式(11)代入式(1)，得到大齒輪最大彎曲應(yīng)力

1.3 齒輪副等彎曲強(qiáng)度條件

為設(shè)計(jì)彎曲強(qiáng)度相同的少齒數(shù)齒輪副，應(yīng)使前述小齒輪和大齒輪的齒根彎曲應(yīng)力滿足

式中Fα為小齒輪和大齒輪材料的許用彎曲應(yīng)力F1][σ和F2][σ之比，即

將式(7)和式(12)代入式(13)，得到齒輪副等彎曲強(qiáng)度條件式為

s1、l1、s2和l2分別由式(5)、式(6)、式(8)和式(9)決定．

2 變位系數(shù)選擇的限制性條件

在少齒數(shù)齒輪副變位系數(shù)數(shù)值的選擇上，需要考慮避免輪齒根切、齒廓干涉、齒高縮短、變尖等因素的影響．

2.1 徑向變位系數(shù)的選擇

首先，小齒輪為了避免根切，需滿足

式中xr1min是為避免根切，理論上小齒輪采用的最小徑向變位系數(shù)．

其次，為了獲得高彎曲強(qiáng)度的齒輪傳動(dòng)，應(yīng)采用無(wú)側(cè)隙嚙合設(shè)計(jì)，即小齒輪的節(jié)圓齒厚s1′要和大齒輪的節(jié)圓齒槽寬e2′相等，即s1′=e′2(或s′2=e1′)．據(jù)此可得到滿足無(wú)側(cè)隙嚙合條件的大小齒輪徑向變位系數(shù)xr1和xr2的關(guān)系，即

式中：12i為齒輪副傳動(dòng)比，1221/izz=；1α′為小齒輪節(jié)圓上的壓力角；1r′為小齒輪的節(jié)圓半徑；2α′為大齒輪節(jié)圓上的壓力角；2r′為大齒輪的節(jié)圓半徑．

2.2 切向變位系數(shù)的選擇

切向變位是指通過(guò)改變刀具的齒厚來(lái)改變切制齒輪的齒厚，切制出的齒輪稱為切向變位齒輪．刀具齒厚的改變量稱為切向變位量，大小為xτm ，其中m為模數(shù)，xτ為切向變位系數(shù)．本文設(shè)定刀具齒厚減小，被切制齒輪齒厚增大時(shí)刀具切向變位系數(shù)為正變位(即xτ＞0)．切向變位的刀具如圖7所示．

在少齒數(shù)齒輪傳動(dòng)中，切向變位的目的是在無(wú)側(cè)隙嚙合條件下協(xié)調(diào)大小齒輪輪齒的齒厚．由此也可獲得大小齒輪輪齒具有相同或接近的彎曲強(qiáng)度．一般情況下是優(yōu)先增加小齒輪的齒厚．但由齒輪嚙合原理可知，如果小齒輪的齒厚增加過(guò)多，則會(huì)使與之嚙合的大齒輪的齒厚減小過(guò)大，造成大齒輪彎曲應(yīng)力過(guò)大．圖8所示為齒數(shù)60的大齒輪輪齒齒形隨切向變位系數(shù)變化的情況(2xτ為大齒輪切向變位系數(shù))．

圖7 切向變位刀具示意Fig.7 Cutter with tangent modification

圖8 切向變位系數(shù)對(duì)大齒輪齒形的影響Fig.8 Tangent modification influence on the big gear profile

從小齒輪方面考慮，如果切向變位系數(shù)過(guò)大則會(huì)出現(xiàn)圖9(a)所示的齒廓干涉(此時(shí)對(duì)應(yīng)的刀具齒廓如圖9(c)所示，也不完整)，使輪齒齒廓的加工和嚙合傳動(dòng)不能正常進(jìn)行．

圖9 切向變位與齒廓干涉刀具齒廓Fig.9 Profile of tangent modification gear and cutter

為了避免因過(guò)大的切向變位使小齒輪齒廓出現(xiàn)圖9(a)的情況，需要對(duì)切向變位系數(shù)加以限制，使齒條刀具齒廓相對(duì)完整，防止出現(xiàn)圖9(c)中刀具齒頂圓角相交的情況．為此，就要使圖5中的刀具圓角中心到刀具齒廓中心線的距離0e≥，即需滿足

式中：xτ1為小齒輪切向變位系數(shù)；xτ1max為保證切制小齒輪刀具正常齒廓的最大切向變位系數(shù)；c?為齒輪頂隙系數(shù)．

2.3 小齒輪齒高分析

小齒輪采用較大的徑向變位，會(huì)使輪齒出現(xiàn)變尖、齒高縮短、齒輪副嚙合重合度減小的現(xiàn)象；而切向正變位可使小齒輪齒厚加大，并可增加齒高或減小齒高縮短的程度．

為了保證良好的嚙合性能，應(yīng)通過(guò)采用合理的徑向和切向變位系數(shù)使小齒輪保持一定的齒高．為此，對(duì)小齒輪輪齒尖點(diǎn)到理論齒頂圓的距離進(jìn)行研究．在圖10中，點(diǎn)F表示小齒輪齒廓的尖點(diǎn)，在坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)為(xa1,ya1)，且xa1=0，則小齒輪輪齒尖點(diǎn)與理論齒頂圓的距離f可表示為在通過(guò)選取切向變位系數(shù)的齒形設(shè)計(jì)中，應(yīng)使f盡量選取較小值．

圖10 小齒輪輪齒尖點(diǎn)與理論齒頂圓的距離Fig.10Distance top point of pinion and theoretical addendum circle

3 計(jì)算變位系數(shù)的數(shù)學(xué)模型

3.1 數(shù)學(xué)模型的建立

通過(guò)上述對(duì)如何選擇徑向變位系數(shù)和切向變位系數(shù)的研究，得到了高強(qiáng)度的漸開(kāi)線少齒數(shù)齒輪副變位系數(shù)應(yīng)滿足的條件：①滿足大小齒輪輪齒等彎曲強(qiáng)度條件式(15)的要求；②滿足齒輪副無(wú)側(cè)隙嚙合，大小齒輪的徑向變位系數(shù)之和應(yīng)滿足條件式(17)；③徑向變位系數(shù)的數(shù)值應(yīng)滿足避免根切的要求；④切向變位系數(shù)的數(shù)值應(yīng)滿足避免出現(xiàn)齒廓干涉的現(xiàn)象；⑤在滿足上述條件之后，選取小齒輪輪齒尖點(diǎn)到理論齒頂圓的距離最小的變位系數(shù)組合．

為此，可采用優(yōu)化方法求解最優(yōu)變位系數(shù)組合．將式(19)作為目標(biāo)函數(shù)，求其最小值，將等彎曲強(qiáng)度條件式(15)、避免根切條件式(16)、無(wú)側(cè)隙嚙合條件式(17)、切向變位系數(shù)選擇式(18)作為約束條件，建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

3.2 計(jì)算實(shí)例

以大小齒輪齒數(shù)分別為60和4、模數(shù)1.5,mm、中心距為48.3,mm、使用相同材料強(qiáng)度的齒輪副為例，材料彈性模量為210MPa，泊松比為0.3．采用了3種變位系數(shù)設(shè)計(jì)方案：①單純?yōu)榱吮苊庑↓X輪的根切，只采用徑向變位；②在①的基礎(chǔ)上增加切向變位、增大小齒輪齒厚，給定切向變位系數(shù)xτ1=0.1，xτ2=-0.1；③采用式(20)模型計(jì)算得到齒輪副的變位系數(shù)．具體計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1．在小齒輪轉(zhuǎn)矩為2.8×102N·mm 的條件下，用有限元軟件進(jìn)行了輪齒應(yīng)力分析，得到齒輪副最大的應(yīng)力即齒根彎曲應(yīng)力，結(jié)果如表1所示．采用3種變位系數(shù)的齒輪副端面齒形，如圖11所示．

表1 齒輪副變位系數(shù)選取與最大彎曲應(yīng)力Tab.1 Selection of gear modification coefficients and maximum bending stress

圖11 齒輪副端面齒形Fig.11 Transverse tooth profile of gear pair

圖11 中，3個(gè)方案的小齒輪分度圓齒厚分別為4.199,mm、4.499,mm和4.802,mm，有限元應(yīng)力分析表明，采用切向變位的齒輪副，大小齒輪的最大彎曲應(yīng)力差值明顯減小，而采用本文模型式(20)計(jì)算齒輪副徑向和切向變位系數(shù)后，大小齒輪的最大應(yīng)力差值很小，接近于等彎曲強(qiáng)度設(shè)計(jì)，如圖12所示．

圖12 優(yōu)化求解變位系數(shù)的齒輪副應(yīng)力分析Fig.12Stress analysis of gear pair with the optimization modification coefficient

4 結(jié) 論

(1) 在輪齒等彎曲強(qiáng)度設(shè)計(jì)條件下，漸開(kāi)線少齒數(shù)齒輪副的徑向變位系數(shù)和切向變位系數(shù)的選擇應(yīng)協(xié)同考慮，并滿足一定的函數(shù)關(guān)系．

(2) 徑向變位系數(shù)的選擇需要考慮輪齒根切和齒輪副無(wú)側(cè)隙嚙合兩方面因素，即小齒輪的徑向變位系數(shù)應(yīng)滿足避免根切的條件，而齒輪副徑向變位系數(shù)之和要滿足一定函數(shù)關(guān)系．

(3) 切向變位系數(shù)的選擇需要考慮切向變位對(duì)大小齒輪嚙合情況與彎曲強(qiáng)度的相互影響．小齒輪切向變位過(guò)大會(huì)使大齒輪的齒厚過(guò)小，削弱大齒輪的彎曲強(qiáng)度，同時(shí)有可能引起小齒輪齒根齒廓干涉的問(wèn)題．

(4) 對(duì)于齒數(shù)、模數(shù)確定的少齒數(shù)齒輪副，通過(guò)建立變位系數(shù)的數(shù)學(xué)模型，可獲得輪齒副等彎曲強(qiáng)度條件下大小齒輪徑向和切向變位系數(shù)的最佳組合．

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(責(zé)任編輯：金順愛(ài))

Modification of Involute Gear Pair with Fewer Teeth Based on Equal Bending Strength

Sun Yuehai1,2，Liu Yanfeng1，Duan Luqian3，Ge Nan1
(1. Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Engineering Research Center of Light-Duty Power Machine of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China；3. Department of Mechanical Engineering，Academy of Armored Forces Engineering，Beijing 100072，China)

To solve the problem of the weak strength of involute gear pair with fewer teeth，research is doneon the selection of its addendum modification coefficient and tangent modification coefficient，taking the planar involute gear pair with fewer teeth as the research object with the designing intention of enhancing the bending strength of pinion and obtaining the same or approximately bending strength of gear pair. By the analyzing the maximum bending stress of gear pair，it is deduced that addendum modification coefficient and tangent modification coefficient of gear pair should be related functionally. Two factors must be considered for the selection of addendum modification coefficient，i. e. undercut and no lateral clearance meshing. Theaddendum modification coefficient of pinion must meet the condition that undercut is avoided，and the sum of addendum modification coefficients of gear pair must be in a certain functional relation. The selection of tangent modification coefficient need to consider the mutual influence between tangent modification and meshing of gear pair and bending strength. If the tangent modification coefficient of the pinion is excessively big，the tooth thickness of gearwheel will be reduced，its bending strength be weakened，and the tooth profile and root of the pinion be interfered. According to the above conditions，for involute gear pair with fewer teeth with ascertained tooth number and modulus，the optimum modification coefficients are found basedon equal bending strength through establishing the mathematical model for solving the modification coefficients.

gear；gear pair with fewer teeth；bending strength；modification coefficient

TH132.413

A

0493-2137(2014)11-1001-07

10.11784/tdxbz201311008

2013-11-04；

2013-12-03.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175369)．

孫月海（1964— ），男，博士，教授.

孫月海，yuehaisun@tju.edu.cn.

時(shí)間：2014-01-03.

http：//www.cnki.net/kcms/doi/10.11784/tdxbz201311008.html.