孔郁斐，周夢佳，宋二祥，楊 軍，張龍英，施洪剛，劉 劍

(1.清華大學(xué) 土木工程安全與耐久教育部重點(diǎn)實驗室，北京 100084；2.中國建筑股份有限公司，北京100000）

利用PLAXIS軟件計算考慮降雨的邊坡穩(wěn)定性

孔郁斐1，周夢佳1，宋二祥1，楊 軍1，張龍英2，施洪剛2，劉 劍2

(1.清華大學(xué) 土木工程安全與耐久教育部重點(diǎn)實驗室，北京 100084；2.中國建筑股份有限公司，北京100000）

降雨條件下的邊坡穩(wěn)定性分析，需要同時考慮水的滲流與邊坡內(nèi)力進(jìn)行耦合計算。非飽和土的特殊性質(zhì)增加了計算難度，其滲透性、強(qiáng)度都會隨含水量的變化而變化。介紹了非飽和土的有效應(yīng)力原理，并比較了PLAXIS和Geo-Studio兩款軟件使用的有效應(yīng)力原理和破壞準(zhǔn)則的異同。PLAXIS軟件中用有限元法計算非飽和土的滲流問題，利用簡化的Bishop有效應(yīng)力公式進(jìn)行固結(jié)、變形及邊坡穩(wěn)定性計算，土體本構(gòu)關(guān)系根據(jù)需要選用；Geo-Studio軟件中也使用有限元法計算非飽和滲流，但其邊坡安全系數(shù)計算方法為極限平衡法，強(qiáng)度準(zhǔn)則為Fredlund雙變量理論。最后結(jié)合算例詳細(xì)介紹了PLAXIS軟件中進(jìn)行非飽和土邊坡計算的建模方法。算例顯示，PLAXIS軟件中建立的計算模型可以準(zhǔn)確反映降雨過程中邊坡安全系數(shù)的變化規(guī)律。今后的工程設(shè)計中，可以考慮使用這一軟件進(jìn)行非飽和土邊坡設(shè)計計算。

非飽和土；降雨滲流；土坡穩(wěn)定；耦合計算；PLAXIS軟件；Geo-Studio軟件

降雨型滑坡是常見的自然災(zāi)害，非飽和土邊坡在降雨過程中安全系數(shù)逐漸降低。降雨條件下的邊坡穩(wěn)定性計算是滲流分析和受力分析的耦合問題。土的滲透系數(shù)、強(qiáng)度都會隨其含水量變化而變化，因此瞬態(tài)滲流計算和安全系數(shù)計算中都必須考慮非飽和土的特殊性質(zhì)。經(jīng)過20世紀(jì)的發(fā)展，非飽和土理論已比較完善［1］，并向?qū)嵱没~進(jìn)。巖土工程相關(guān)的數(shù)值計算軟件也正逐漸開發(fā)與非飽和土有關(guān)的功能，比較知名的PLAXIS、Geo-Studio等軟件，都能進(jìn)行非飽和土邊坡穩(wěn)定性計算。

Geo-Studio是加拿大開發(fā)的用于巖土工程和巖土環(huán)境模擬計算的軟件，較早涉足非飽和土計算。它包括8個模塊，其中SEEP/W模塊可進(jìn)行飽和/非飽和的二維穩(wěn)態(tài)/瞬態(tài)滲流計算，得出孔隙水壓分布［2］；然后將孔壓計算結(jié)果導(dǎo)入SLOPE/W模塊，利用極限平衡法計算邊坡安全系數(shù)［3］。對均質(zhì)土坡而言，降雨時表層土壤首先浸潤，深層土壤受影響較晚，故水分分布不均勻，使用“圓弧滑移面”的假設(shè)不一定合適；另外很多坡體本身就不均勻，真實滑移面形狀很復(fù)雜［4］，基于“圓弧滑移面”假設(shè)的極限平衡法不適用，SLOPE/W雖然也能搜索任意形狀滑移面，但有時算法不穩(wěn)定，結(jié)果可靠性有待驗證。

荷蘭開發(fā)的巖土工程有限元設(shè)計計算軟件PLAXIS使用“強(qiáng)度折減有限元法”計算邊坡穩(wěn)定性［5］，計算出的滑移面更接近真實滑移面，因此對非均勻的土坡使用這一方法結(jié)果更可靠。PLAXIS可以進(jìn)行2D/3D的彈塑性計算、滲流計算、固結(jié)分析、安全分析、動力計算等，近幾年增加了非飽和土的計算功能，其2011版可以將非飽和土滲流計算和安全系數(shù)的強(qiáng)度折減有限元計算耦合［6］，值得探索和嘗試。

本文將首先介紹非飽和土有效應(yīng)力原理，這是數(shù)值計算的重要理論基礎(chǔ)，并對PLAXIS與Geo-Studio進(jìn)行了比較，接著詳細(xì)介紹PLAXIS中的建模方法，并結(jié)合算例討論P(yáng)LAXIS的計算結(jié)果。

1 非飽和土有效應(yīng)力原理

如前所述，邊坡的滲流計算、安全系數(shù)計算都要考慮非飽和土的特殊性質(zhì)，問題復(fù)雜，影響因素眾多，吳宏偉等［7-8］曾就相關(guān)的難點(diǎn)、計算方法作過詳細(xì)的闡釋，本文不多介紹。兩個相關(guān)商業(yè)軟件的主要區(qū)別在于使用的有效應(yīng)力原理和強(qiáng)度準(zhǔn)則不同，本節(jié)將重點(diǎn)介紹其區(qū)別。

飽和土的有效應(yīng)力原理由太沙基提出［9-10］，該理論認(rèn)為：①飽和土體內(nèi)任意一平面上受到的總應(yīng)力可分為有效應(yīng)力和孔隙水壓力兩部分，在同一點(diǎn)處水壓向各方向都是相等的；②土的變形(壓縮）與強(qiáng)度的變化都只取決于有效應(yīng)力變化，其表達(dá)式為：

有學(xué)者將其擴(kuò)展到孔隙中有多種流體(水、油、氣等）的情況［11］：

該式又叫“廣義有效應(yīng)力公式”。式中：uβ為第β種流體的分壓，αβ為其分項系數(shù)，表征其在總應(yīng)力中的貢獻(xiàn)。不難理解，有多種流體共同存在時，每種流體分壓的分項系數(shù)αβ≤1。土是由土骨架、水、空氣組成的三相體：飽和土中僅有水，飽和度S=1，αw=1，αs=0，式(2）退化為式(1）；干燥土僅有空氣，S=0，αa=1，αw= 0；非飽和土的2個系數(shù)均在0～1之間變化。

圖1 飽和度較大的非飽和土Fig.1 Sketch of the nearly-saturated soil

考察a-a面以上的土骨架，由土骨架受力平衡可得：

故

此時仍然有αw=1，αa=0，與飽和土類似。

但若土中空氣較多，內(nèi)部空氣不再只以氣泡的形式存在、能與大氣連通，則土中氣體的平衡方程中不僅包含浮力、土骨架作用力，還包含外部空氣壓力以及表面張力，有效應(yīng)力就更加復(fù)雜了。1960年畢肖普等提出了修正的有效應(yīng)力公式(Bishop有效應(yīng)力公式）：

式中：χ是與飽和度有關(guān)的系數(shù)，飽和土χ=1，干土χ=0。這一公式是式(2）的簡化形式，在式(2）中令αw=χ，αa=1-χ可得到式(5）。式中σij-uaδij被稱作凈法向應(yīng)力張量，ua-uw被稱作基質(zhì)吸力。土飽和時，ua=uw，凈法向應(yīng)力等于飽和土的有效應(yīng)力，基質(zhì)吸力為零；土不飽和時，基質(zhì)吸力為正。

將Bishop有效應(yīng)力公式代入摩爾-庫倫準(zhǔn)則(τ=c′+σ′tanφ′）可得基于Bishop有效應(yīng)力的摩爾-庫倫準(zhǔn)則：

式中：φ′為有效內(nèi)摩擦角，χtanφ′體現(xiàn)了基質(zhì)吸力對抗剪強(qiáng)度的貢獻(xiàn)。

從數(shù)學(xué)上看這一簡化非常簡單，但在工程上它非常有意義，我們可以在不同飽和度下進(jìn)行土的三軸試驗，確定函數(shù)χ(S），就可以得到非飽和土的有效應(yīng)力，再根據(jù)“土的變形及強(qiáng)度變化都只取決于有效應(yīng)力的變化”的假設(shè)就可以將原有的飽和土應(yīng)力應(yīng)變分析的理論應(yīng)用于非飽和土。Zerhouni總結(jié)了幾種不同土的χ-S關(guān)系曲線(見圖2），這些數(shù)據(jù)均由試驗測得［12］，可見χ(S）函數(shù)沒有特別的規(guī)律可言。1和4兩種土的飽和度達(dá)到90%左右時，χ=1，與圖1的情形有相似之處。

圖2 幾種不同土的χ-S關(guān)系曲線Fig.2 Curves for several different soils

不過隨著研究的深入，人們也發(fā)現(xiàn)Bishop有效應(yīng)力公式存在一定的局限性。例如，它無法解釋一些土在浸濕過程中的體縮現(xiàn)象：保持土的總應(yīng)力不變，使土浸濕，則土中有效應(yīng)力減小，應(yīng)變本應(yīng)持續(xù)增加，但某些土?xí)葷衩?、再濕陷。所以有人提出疑問：在非飽和土中直接照搬飽和土的有效?yīng)力的概念似乎有些牽強(qiáng)，當(dāng)水和空氣共同存在時，針對飽和土所作的“土的變形及強(qiáng)度變化都只取決于有效應(yīng)力的變化”假設(shè)還成立么?

不一定成立。在飽和土中水的體積應(yīng)變很小，體變的內(nèi)力功可以忽略，土進(jìn)入塑性以后土骨架之間的摩擦使能量耗散；非飽和土中空氣可以壓縮，空氣-水的界面可以變形，空氣的壓縮和表面張力做功都會消耗能量，故耗能能力受到流體性質(zhì)的影響，有效應(yīng)力不再是唯一的決定因素。

D.G.Fredlund等［1］提出，可以用凈法向應(yīng)力和基質(zhì)吸力兩個獨(dú)立的應(yīng)力張量來描述土的狀態(tài)，克服單一有效應(yīng)力變量的缺陷，在Fredlund雙變量理論中，土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下［1］：

似乎有了這個公式之后，對非飽和土的計算就能得心應(yīng)手了，其實不然，要獲得完整的參數(shù)著實不易，兩個應(yīng)力張量讓破壞面更難描述。比較常用的還是更簡單直觀的假設(shè)：線彈性、理想彈塑性或者剛塑性。

摩爾-庫倫準(zhǔn)則也被擴(kuò)展到雙變量理論中(擴(kuò)展的摩爾-庫倫準(zhǔn)則）：

式中：tanφb表征基質(zhì)吸力對抗剪強(qiáng)度的貢獻(xiàn)，且φb并非常數(shù)，隨飽和度變化。

沈珠江院士曾指出，既然φb并非常數(shù)，在強(qiáng)度準(zhǔn)則里式(8）就不見得比式(6）優(yōu)越［13］。很多學(xué)者提出了更為復(fù)雜的強(qiáng)度公式，但現(xiàn)在仍然是擴(kuò)展的摩爾-庫倫準(zhǔn)則使用最廣泛。

PLAXIS和Geo-Studio分別使用了以上兩種有效應(yīng)力理論，并且都作了簡化。

PLAXIS中使用了Bishop有效應(yīng)力公式，由于χ(S）函數(shù)很復(fù)雜，直接令χ=S；也就是說在圖2中取對角線，這與實際情況存在一些差距，最接近圖2中的第7種土(White Clay），用于其他土?xí)r需要對參數(shù)進(jìn)行評估。這一有效應(yīng)力可以用于多種本構(gòu)模型，當(dāng)然最簡單的是理想彈塑性模型及摩爾-庫倫準(zhǔn)則。雖然Bishop有效應(yīng)力公式有局限性，但是處理非特殊土?xí)r，這一理論是能夠勝任的。

Geo-Studio中使用了Fredlund雙變量理論，并假設(shè)φb為常數(shù)，計算時需根據(jù)滑移面穿過區(qū)域的含水量變化范圍，選取合適的φb，否則極易低估或高估基質(zhì)吸力對強(qiáng)度的貢獻(xiàn)。雖然Fredlund雙變量理論比Bishop公式有優(yōu)勢，但使用極限平衡法計算邊坡穩(wěn)定性時不涉及土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，優(yōu)勢便無從體現(xiàn)了。

在此也介紹一下非飽和土的土水特征曲線(SWCC）和滲透性函數(shù)。非飽和土的體積含水率θw，基質(zhì)吸力ψ(=ua-uw），滲透系數(shù)k都會隨著飽和度S變化。ψ(θw）或ψ(S）函數(shù)關(guān)系即為“土水特征曲線”，k(S）或k(ψ）函數(shù)關(guān)系即為“滲透性函數(shù)”。這兩種函數(shù)也較為復(fù)雜，研究者們曾提出很多種函數(shù)形式，比較知名的有Gardner方程、van Genuchten方程［14］、Fredlund-Xing方程等［15］。

無論如何，用兩款軟件進(jìn)行計算時都應(yīng)謹(jǐn)慎選用數(shù)據(jù)。除了有效應(yīng)力原理、強(qiáng)度準(zhǔn)則和安全系數(shù)計算方法，在其他方面這兩款軟件有很多相似之處，都能進(jìn)行多種邊界條件設(shè)定、內(nèi)置了較多土水特征曲線和滲透性函數(shù)的方程。值得一提的是，PLAXIS還內(nèi)置了數(shù)個和非飽和土數(shù)據(jù)庫，如USDA(美國農(nóng)業(yè)部）數(shù)據(jù)庫、Hypres數(shù)據(jù)庫等，方便用戶在試驗數(shù)據(jù)有限的情況下選取合適的參數(shù)快速建模。

2 PLAXIS建模與計算

在PLAXIS 2D(2011）中建立如圖3所示的均質(zhì)邊坡模型，模型大小為30 m×10 m，邊坡高5 m，長8 m，地下水位位于坡腳下方3 m處，網(wǎng)格劃分疏密程度為“很細(xì)”；模型為平面應(yīng)變模型，單元為15節(jié)點(diǎn)單元。土體類型選用USDA數(shù)據(jù)庫中的“沃土”：粒徑小于2 μm的質(zhì)量占總質(zhì)量的比例p0.0002=20%，2～50 μm的占40%，50 μm～2 mm的占40%，按國內(nèi)分類屬于細(xì)粒土。

土的飽和滲透系數(shù)ksat=0.247 9 m/d，土的滲透性函數(shù)和土水特征曲線使用van Genuchten方程擬合［16］，結(jié)果如圖4所示，圖中兩條曲線由軟件自動生成，其中kr=k/ksat表示相對滲透系數(shù)，為無量綱量，S為飽和度。容易看出飽和度為0.7時基質(zhì)吸力水頭約為0.5 m，相對滲透系數(shù)為0.01。

圖3 PLAXIS中的邊坡模型及網(wǎng)格Fig.3 The slope model and mesh used in PLAXIS

圖4 模型中土的滲透性函數(shù)(左）和土水特征曲線(右）Fig.4 Permeability function and SWCC used in the model

對于一個地下水位恒定、表面沒有降雨/蒸發(fā)的邊坡而言，其地下水位以上的基質(zhì)吸力分布是線性的，水位以上x處基質(zhì)吸力水頭為x。但天然邊坡的基質(zhì)吸力水頭一般有上限，上限為零點(diǎn)幾米到幾米不等，可以在表面定義一個極小的入滲速率(或稱“虛擬降水”），使得內(nèi)部穩(wěn)態(tài)滲流時基質(zhì)吸力最大值在我們需要的范圍內(nèi)。本算例計算中我們首先進(jìn)行穩(wěn)態(tài)滲流計算，令上表面有1 mm/d的虛擬降水，這樣邊坡中最大基質(zhì)吸力水頭為0.719。

計算以下兩工況：工況1，降雨速率為50 mm/d，持續(xù)時間分別為0.5，1.0和2.0 d；工況2，降雨速率為10 mm/d，持續(xù)時間分別為2.5，5.0和10.0 d。兩種工況最后的總降雨量均為100 mm。

表1和圖5展示了算例中的邊坡在不同工況下的安全系數(shù)、滑移面深度計算結(jié)果。圖6、圖7分別為不同時刻邊坡的基質(zhì)吸力分布和滑移面，計算所得的7組滑移面都比較淺，工況1中滑移面深度從1.82 m降至1.11 m，降雨結(jié)束時安全系數(shù)接近1.00，這個理想的邊坡已經(jīng)非常危險了；工況2中滑移面深度從1.82降至1.45 m。

圖5 兩種工況下邊坡安全系數(shù)隨降雨量的變化Fig.5 Variation of safety factor with rainfall in different working conditions

表1 安全系數(shù)、滑移面深度隨降雨量的變化Tab.1 Variations of safety factor and depth of sliding surface with rainfall

圖6 不同工況下的邊坡基質(zhì)吸力分布Fig.6 Matric suction distribution in different working conditions

圖7 不同時刻強(qiáng)度折減法計算得到的邊坡位移云圖Fig.7 Shadings of displacements from φ/c reduction calculation

可以看出降雨過程中該邊坡安全系數(shù)明顯減小，且工況1中安全系數(shù)降幅更大。隨著雨水入滲，坡中土的含水量會自上而下逐漸增加，隨著飽和度的提高，土的基質(zhì)吸力下降、有效應(yīng)力減小，強(qiáng)度降低，因此邊坡的安全系數(shù)會降低。降低的速率取決于很多因素，在總降雨量相同的情況下，如果降雨速率快、時間短(工況1），雨水會主要集中在土體上部，淺層滑移面經(jīng)過處的土的強(qiáng)度降幅大，更容易發(fā)生淺層滑坡；如果降雨速率慢，雨水有充足的時間下滲至更深處，淺層滑移面經(jīng)過處的土的強(qiáng)度降幅小。這與筆者此前用Geo-Studio計算發(fā)現(xiàn)的規(guī)律相符［17］。

3 結(jié) 語

本文總結(jié)了非飽和土有效應(yīng)力原理的不同形式，在此基礎(chǔ)上比較了PLAXIS和Geo-Studio兩款軟件計算原理的差異，并介紹了在PLAXIS中進(jìn)行考慮降雨的邊坡穩(wěn)定性計算的建模方法。通過本文的分析可以發(fā)現(xiàn)，PLAXIS中使用簡化的Bishop有效應(yīng)力原理可以反映非飽和土的性質(zhì)，在使用中需要注意合理選取參數(shù)，與Geo-Studio使用的雙變量理論相比，兩款軟件的強(qiáng)度準(zhǔn)則沒有明顯的優(yōu)劣之分。算例顯示，PLAXIS中建立的計算模型可以正確反映降雨過程中邊坡安全系數(shù)的變化規(guī)律。在今后的工程設(shè)計中，可以考慮使用PLAXIS軟件進(jìn)行非飽和土邊坡設(shè)計計算。

參 考 文 獻(xiàn)：

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Slope stability analysis in consideration of rainfall influence based on PLAXIS software

KONG Yu-fei1，ZHOU Meng-jia1，SONG Er-xiang1，YANG Jun1，ZHANG Long-ying2，SHI Hong-gang2，LIU Jian2
(1.Key Laboratory of Ciυil Engineering Safety and Durability of China Ministry of Education，Tsinghua Uniυersity，Beijing 100084，China；2.China State Construction Engineering Co.，Ltd.，Beijing 100000，China）

In order to analyze the slope stability in consideration of the rainfall influences，it is necessary to couple the calculation of the rainfall infiltration and the slope internal force.Special characteristics of the unsaturated soils make the calculation more complex，because the soil′s hydraulic permeability and strength would change with moisture content.In the paper the principle of the effective stress of the unsaturated soils is introduced.The similarities and differences of the principle of effective stress and failure criteria used in the PLAXIS and Geo-Studio softwares are compared.In PLAXIS，the finite element method is used for unsaturated seepage calculation and a simplified Bishop effective stress formula is applied to the calculation of consolidation，deformation and slope stability.The constitutive models for the saturated soils can be used on that basis.The Geo-Studio uses the finite element method for the unsaturated seepage calculation and the limit equilibrium method for the calculation of the slope safety factor，in consideration of Fredlund′s bilinear strength criterion.Finally，details of the method for modeling the unsaturated slopes in PLAXIS are presented with calculation examples.The calculation examples show that the models in PLAXIS can accurately reflect rainfall-induced slope safety factor variation.Therefore，this software can be adopted for the unsaturated soil slope design and calculation in the future.

unsaturated soil；rainfall infiltration；slope stability；coupling calculation；PLAXIS software；Geo-Studio software

TU413.6+2 文獻(xiàn)標(biāo)心碼：A

1009-640X(2014）03-0070-07

2013-11-12

孔郁斐(1991-），男，江蘇泰興人，博士研究生，主要從事巖土工程方面的研究。E-mail：kyf12@mails.tinghua.edu.cn