唐銳，商德江，李琪（哈爾濱工程大學水聲技術(shù)實驗室，哈爾濱150001）

水下圓柱殼振動與聲輻射低頻等效計算方法

唐銳，商德江，李琪
（哈爾濱工程大學水聲技術(shù)實驗室，哈爾濱150001）

為了提高水下大長徑比圓柱殼低頻振動響應(yīng)和輻射聲功率的計算效率，該文提出了一種用水下梁模型等效計算的方法。該等效模型基于歐拉梁理論，采用附加水質(zhì)量近似流固耦合作用，通過計算梁的等效楊氏模量系數(shù)，使其與圓柱殼的梁式彎曲振動模態(tài)對應(yīng)。計算表明，對大長徑比簡支圓柱薄殼（L/a＞20），等效梁楊氏模量系數(shù)主要取決于結(jié)構(gòu)長徑比，而厚度對其的影響甚小。文中還給出了不同長徑比圓柱殼前五階模態(tài)頻率的等效楊氏模量系數(shù)曲線，利用梁模型并結(jié)合此曲線，可準確預(yù)報水下圓柱殼低頻域輻射聲功率和圓柱殼的梁式彎曲振動模態(tài)。

圓柱殼；振動；聲輻射；歐拉梁；等效楊氏模量系數(shù)

equivalent Young’smodulus coefficients

1 引言

潛艇、魚雷等水下有限長圓柱殼聲振特性的解析和數(shù)值計算方法，由于流固耦合作用而比較復(fù)雜[1]，為了提高計算效率，水下大長徑比圓柱殼聲振特性的低頻等效算法得到了關(guān)注[2]。由于大長徑比圓柱殼的低頻振動特性與梁結(jié)構(gòu)類似，其低頻聲輻射特性主要決定于梁式振動模態(tài)。如果能采取某種合適的等效方法將圓柱殼模型等效為簡單的梁模型，則可快速計算輻射聲功率。Forsberg[3]研究了在空氣中采用梁式彎曲振動模態(tài)計算圓柱殼振動的應(yīng)用條件，對于細長（長徑比L/a＞20）薄殼，應(yīng)用簡單梁理論預(yù)測了圓柱殼的彎曲振動模式（n=1）的最低模態(tài)頻率和振型，并分析了不同邊界條件的影響。梁模型若只考慮一維的橫向位移，忽略與其它方向位移間的耦合作用，就只能準確預(yù)報圓柱殼梁式彎曲振動的第一階模態(tài)頻率，高階模態(tài)頻率偏差較大。值得指出的是，F(xiàn)orsberg通過計算發(fā)現(xiàn)，對于長徑比L/a＞20的薄殼，只要周向半波長和軸向半波長均遠大于殼體厚度，半徑與厚度比（a/h）在滿足20＜a/h＜100時，不同徑厚比對彎曲振動模態(tài)（n=1）影響甚小，也就是說此時細長薄殼彎曲振動模態(tài)與彎曲剛度無關(guān)。對于梁聲輻射問題的研究，Sun[4]采用傳遞矩陣法計算分析了空氣中不同邊界條件下的均勻梁和非均勻梁的振動響應(yīng)及輻射聲功率與輻射效率。考慮水介質(zhì)與梁結(jié)構(gòu)的耦合作用，Wallace[5]研究了帶無限長障板的有限長梁的聲輻射問題，推導(dǎo)了梁的輻射阻的漸進解，并得出在簡支和固支邊界下，輻射阻隨著寬長比增大而升高。借鑒船體振動理論[6]，采用附加水質(zhì)量近似流固耦合作用的方法，可以將結(jié)構(gòu)水下低頻振動與聲場分開計算[7]。這樣針對水中結(jié)構(gòu)，可以采用空氣中常用的模態(tài)疊加法[8]、差分變化法[9]、傳遞矩陣法[4]等方法計算梁的振動響應(yīng)，并將計算得到的結(jié)構(gòu)水下振動響應(yīng)代入到聲場計算公式中計算聲場。本文通過研究水下大長徑比（L/a＞20）有限長圓柱薄殼的聲輻射特性發(fā)現(xiàn)，水下圓柱殼低頻聲輻射特性主要決定于圓柱殼梁式振動模態(tài)（n=1），進而提出了應(yīng)用等效楊氏模量系數(shù)，采用水下梁模型等效計算水下圓柱殼低頻域輻射聲功率的方法，拓展了文獻[3]中應(yīng)用簡單梁理論預(yù)報圓柱殼振動特性的應(yīng)用范圍，并通過實例驗證了方法的有效性。

2 理論模型

對于大長徑比（L/a＞20）的圓柱殼，結(jié)構(gòu)最低模態(tài)頻率對應(yīng)于周向模態(tài)n=1時的梁式彎曲振動頻率，殼體上任意點的切向位移v和徑向位移w大小相等，且它們的幅值滿足V=-W，則在某截面上的各質(zhì)點位移大小相等，方向相同，相當于整個圓截面做剛體運動[3]，這恰恰與簡單二維梁理論的假設(shè)是相符的。如果僅考慮水下大長徑比圓柱殼受橫向激勵時的低頻域聲輻射問題，采取合適的等效方法，可以通過計算水下梁的聲輻射來預(yù)報圓柱殼的聲輻射特性。為了和水下圓柱殼解析程序比較，本文以簡支邊界條件為例，給出水下圓柱殼振動與聲輻射的梁等效計算方法，并在后續(xù)的數(shù)值計算中加以驗證。

2.1 水下梁輻射聲功率求解

忽略簡諧時間因子e-iωt，水下Euler-Bernoulli梁振動控制方程為：

其中：w x（）為結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)，E為楊氏模量，I為梁截面慣性矩，S為梁截面積，ρb為梁結(jié)構(gòu)密度，ρw為流體密度，M為單位長度的附加水質(zhì)量，g x（）為激勵力，ω為激勵頻率。令g x（）=0，得到頻散方程：

如果梁為簡支邊界條件，可以求得模態(tài)頻率：

其中：L為梁長。對于細長的二維梁結(jié)構(gòu)，單位長度的附加水質(zhì)量可近似等于單位體積排開的水質(zhì)量[6]。如果考慮圓柱體結(jié)構(gòu)，需要在此基礎(chǔ)上進行三維系數(shù)修正，這時的附加水質(zhì)量將隨模態(tài)變化，可以表示為：

其中：Kn為三維流體修正系數(shù)，可以由文獻[6]查表獲得。將位移響應(yīng)寫出模態(tài)疊加的形式，考慮邊界條件和模態(tài)的正交性，可得到水下梁的激勵響應(yīng)：

在計算梁結(jié)構(gòu)的遠場輻射聲壓時，可將梁結(jié)構(gòu)延軸線方向截成若干長度單元d x，對每一長度單元可采用帶障板的圓柱體輻射聲壓表達式[10]。如果單元分得足夠小，并考慮不同單元在場點處的相移，整個聲場由各單元的聲輻射疊加而成。在球坐標系下，聲場p：

其中：R，θ，φ為聲場在球坐標系下的坐標參量，λ為流體中聲波波長，k為聲場波數(shù)，a為結(jié)構(gòu)截面半徑。遠場結(jié)構(gòu)輻射聲功率可對平均聲強積分[11]得到：

2.2 等效梁算法

如果采用簡單梁模型近似計算圓柱殼受橫向激勵時的低頻域輻射聲功率，需要保證梁的彎曲振動模態(tài)與圓柱殼（n=1）對應(yīng)。由于梁模型只考慮了一維的橫向位移，忽略與其它方向位移間的耦合作用，使得其只能與圓柱殼第一階梁式彎曲振動模態(tài)對應(yīng)，高階模態(tài)偏差將增大。此外，如果圓柱殼的周向的其它模態(tài)（n≠1）不可忽略，這時梁模型將不再適用。計算表明，對于大長徑比（L/a＞20）圓柱殼，水下圓柱殼低頻聲輻射特性主要決定于圓柱殼梁式振動模態(tài)（n=1）。為此，本文首先通過計算等效楊氏模量系數(shù)，使梁的彎曲振動模態(tài)與圓柱殼（n=1）在空氣中的低頻域內(nèi)一一對應(yīng)，再將圓柱殼的附加水質(zhì)量引入到梁模型中近似流固耦合作用，進而利用這些等效后的彎曲模態(tài)采用模態(tài)疊加的方法，則可用簡單梁模型等效計算水下圓柱殼聲輻射特性。也可以說，對于大長徑比（L/a＞20）圓柱殼，考查其受橫向激勵時的低頻聲輻射特性，可以將其簡化成梁模型等效計算。

為表述方便，用上標“b”表示梁的相關(guān)參數(shù)，用上標“c”表示圓柱殼的相關(guān)參數(shù)，上劃線“-”表示等效后的相關(guān)參數(shù)，其它符號和2.1節(jié)表示的相同。簡支梁在空氣中的模態(tài)頻率為：

要利用（9）式等效計算圓柱殼的模態(tài)頻率ωcn，對于梁模型，如果保持與圓柱殼相同的截面半徑、截面積等結(jié)構(gòu)參數(shù)，則二者截面慣性矩相等，并令密度也相同，即：

若將圓柱殼固有彎曲振動頻率ωc寫成等效梁參數(shù)的表達形式，選取合適的楊氏模量系數(shù)，總能獲

n得與圓柱殼對應(yīng)等效的各階彎曲振動模態(tài)：

其中：Cn為第n階等效楊氏模量系數(shù)，E為材料實際的楊氏模量。值得注意的是，這里的Eˉn不僅使梁和圓柱殼的模態(tài)頻率相同，還使它們的模態(tài)振型相同。為了得到Cn的具體解，需要首先獲得空氣中圓柱殼固有梁式（彎曲）振動模態(tài)ωcn（對于簡支邊界可以通過解析方法計算得出，對于其它邊界則需要通過數(shù)值方法計算得出）。通過后續(xù)分析可知，Cn主要與圓柱殼的長徑比有關(guān)，對于相同長徑比、不同長度、不同厚度的薄殼Cn值相同，因此只要計算出其中一種結(jié)構(gòu)參數(shù)下的ωcn便可得到Cn，并且在后續(xù)的計算中不需重復(fù)計算。如果附加水質(zhì)量的作用只影響結(jié)構(gòu)的線密度，則用等效梁方法得到的水下圓柱殼彎曲模態(tài)頻率：

如果激勵為在x=x0位置的諧和點力，記為G x0（），則可得到水下等效圓柱殼受迫振動的位移響應(yīng)：

根據(jù)第2.1節(jié)方法，可以計算得到水下等效圓柱殼的輻射聲功率。

實際上本文的等效方法是利用了水下大長徑比圓柱殼低頻聲輻射特性主要決定于圓柱殼梁式振動模態(tài)的特性，將等效獲得的水下圓柱殼梁式彎曲振動模態(tài)應(yīng)用到了簡單梁模型中，將水下圓柱殼低頻振動與聲輻射的三維問題簡化為一維問題處理，大大提高了計算效率。若利用附加水質(zhì)量近似流固耦合作用，并將其加到空氣中的圓柱殼振動方程中去，求解位移系數(shù)矩陣行列式，計算出水下殼體的模態(tài)頻率，再進一步求解振動方程位移系數(shù)矩陣的逆得到殼體的受迫響應(yīng)，相對傳統(tǒng)的流固耦合計算也可得到相應(yīng)的簡化，但本文方法更為簡便。如果與附加水質(zhì)量三維修正系數(shù)一樣，將Cn作為先驗知識繪制成圖表供計算查詢，利用（14）、（15）式進行等效計算，則可避免反復(fù)計算圓柱殼位移系數(shù)矩陣及矩陣求逆帶來的計算困難。

3 數(shù)值計算

3.1 圓柱殼低頻聲輻射特性分析

首先分析水下大長徑比（L/a＞20）圓柱殼受到橫向激勵時，梁式振動模態(tài)（n=1）對低頻域聲輻射的作用。水下圓柱殼振動的控制方程采用近似薄殼振動理論Donnell方程描述。假設(shè)圓柱殼簡支在無限長圓柱障板上，利用殼位移的模態(tài)疊加形式解，將振動控制方程在模態(tài)空間分解，并根據(jù)模態(tài)正交性和邊界條件，進行空間傅立葉變換分析，可求得聲場聲壓和聲阻抗[12]。殼體的輻射聲功率可以由表面聲強的表面積分得到：

數(shù)值計算圓柱殼的輻射聲功率，分析梁式彎曲振動模態(tài)（n=1）對輻射聲功率的影響。首先計算一個實例，圓柱殼結(jié)構(gòu)參數(shù)為L=40m，a=1.75m，h=0.015m，E= 2.06×1011Pa，兩端簡支邊界條件，在1/2L位置施加一個單位點力。滿足數(shù)值計算收斂性，如果圓周方向只取梁式彎曲振動模態(tài)（n=1），分析圓柱殼梁式彎曲振動模態(tài)對輻射聲功率影響，如圖1所示，圖中縱軸PL表示輻射聲功率級，參考聲功率為0.67×10-18W，橫軸f表示頻率范圍。計算出的聲功率在低頻域與取所有周向模態(tài)計算出的基本相同。如果以圖1中聲功率低頻域前三個峰值頻率激勵的結(jié)構(gòu)計算位移響應(yīng)，則對應(yīng)于第1、3、5階梁式彎曲振動模態(tài)結(jié)構(gòu)振型?？梢钥闯?，水下圓柱殼低頻聲輻射特性主要決定于圓柱殼梁式振動模態(tài)。

進一步計算表明，大長徑比（L/a＞20）的水下圓柱殼受橫向激勵時，梁式彎曲振動模態(tài)（n=1）對圓柱殼低頻輻射聲功率的貢獻遠大于其它周向模態(tài)，前五階彎曲頻率范圍內(nèi)的輻射聲功率能量集中在n=1的周向模態(tài)貢獻上，因此僅用梁式彎曲振動模態(tài)等效計算水下圓柱殼低頻輻射聲功率是可行的。由于圓柱殼的最低模態(tài)頻率對應(yīng)于周向模態(tài)n=1時的梁式彎曲振動頻率，因此僅選取n=1的周向模態(tài)計算圓柱殼的輻射聲功率，第一階彎曲振動頻率以前的計算結(jié)果是準確的。而本文分析中沒有考慮阻尼對各階模態(tài)的作用，在前五階彎曲振動頻率范圍內(nèi)僅選取n=1的周向模態(tài)計算圓柱殼的輻射聲功率，可能漏掉因達到其它低階周向模態(tài)共振帶來的峰值，但由于這些共振模態(tài)對圓柱殼低頻輻射聲功率的貢獻遠小于梁式彎曲振動模態(tài)，因此，此時的計算結(jié)果（n=1）與取所有周向模態(tài)的計算結(jié)果變化規(guī)律一致。

3.2 等效梁方法驗證

為了驗證本文等效梁算法的準確性，這里通過比較圓柱殼和等效梁的水下模態(tài)頻率、激勵響應(yīng)和輻射聲功率的吻合程度來校驗。以圖1所取圓柱殼參數(shù)和激勵方式為例，采用2.2節(jié)等效梁方法計算該圓柱殼結(jié)構(gòu)的輻射聲功率并與3.1節(jié)計算結(jié)果比較，驗證方法的有效性。

表1 圓柱殼的等效梁計算參數(shù)Tab.1 Calculating parameters of equivalent beam for cylindrical shell

表2 水下圓柱殼前五階固有彎曲振動頻率Tab.2 The first five natural bending frequencies of underwater cylindrical shell

等效參數(shù)列于表1，其中fnc通過解析方法[1]計算得出，Mn由（4）式得到，Cn由（13）式計算得到。利用表1參數(shù)并按照2.2節(jié)等效梁算法計算得到的水下圓柱殼彎曲振動頻率與解析法計算結(jié)果比較列于表2，二者計算的頻率吻合很好。進一步比較用等效梁方法計算水下圓柱殼的振動響應(yīng)，圓柱殼1/2L處有單位點力激勵，激勵點處的位移響應(yīng)比較如圖2所示。

圖2 激勵位置處的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)圖Fig.2 Displacement responses of the driving point

3輻射聲功率的解析法與等效梁法比較Fig.3 Comparison of radiated sound power levels between analytic solution and equivalentbeam method

圖2 中縱軸AP表示響應(yīng)幅度，橫軸f表示頻率范圍。結(jié)構(gòu)將發(fā)生共振的條件是，激勵頻率等于模態(tài)頻率且激勵位置位于模態(tài)的非節(jié)點位置。而此時激勵位置相對結(jié)構(gòu)長度方向?qū)ΨQ，則僅在第1、3、5階模態(tài)頻率附近激勵時，結(jié)構(gòu)發(fā)生共振，其它激勵響應(yīng)相對共振峰值很小。等效計算結(jié)果和解析法計算結(jié)果比較，二者吻合很好，驗證了本文等效算法計算水下圓柱殼受迫響應(yīng)的準確性。

分別用解析法和等效梁方法計算水下圓柱殼的輻射聲功率，計算結(jié)果如圖3示?？梢钥闯觯瑑汕€變化規(guī)律一致。由于等效梁模型只考慮橫向位移，而忽略了與其它方向位移間的耦合作用，也忽略了其它方向振動響應(yīng)對輻射聲功率的貢獻，使等效梁計算結(jié)果與解析計算結(jié)果間存在偏差，但計算結(jié)果中最為關(guān)心的輻射聲功率峰值頻率和對應(yīng)幅度可以很好地吻合。本例驗證了用等效梁方法計算水下圓柱殼輻射聲功率的有效性。

4 等效梁算法分析

分析水下大長徑比圓柱殼的低頻聲輻射特性，給定圓柱殼結(jié)構(gòu)參數(shù)及邊界條件，可以通過等效楊氏模量系數(shù)，將其模擬為等效梁計算振動及聲輻射。研究發(fā)現(xiàn)，在滿足薄殼假設(shè)下，各階等效楊氏模量系數(shù)主要與圓柱殼的長徑比有關(guān)，在滿足徑厚比20＜a/h＜100時，可以忽略厚度的影響，下面來證明這一結(jié)論。

等效楊氏模量系數(shù)由（13）式給出，將圓柱殼結(jié)構(gòu)視為細長圓管，此時截面積Sc和截面轉(zhuǎn)動慣量Ic表示為[13]：

其中：h為圓柱殼厚，則（13）式可以表示為：

由文獻[3]計算得出，對于長徑比L/a＞20的簡支薄殼，只要周向彎曲半波長和軸向彎曲半波長均遠大于殼體厚度，半徑與厚度比（a/h）在滿足20＜a/h＜100時，不同徑厚比對彎曲振動模態(tài)（n=1）影響不大，即上式中圓柱殼彎曲振動頻率變化主要與L和a有關(guān)。實際上對上述結(jié)論中徑厚比的條件約束可以進一步的放寬，對于3.1節(jié)實例中的a/h=116.7同樣適用，在下面的計算例中加以驗證。如果h相對a是小量，按照文獻[3]的計算假設(shè)，忽略h對ωcn的影響，從（18）式可計算得出h對Cn的影響將小于0.1‰。如果L=40m，a=1.75m，分析厚度變化對結(jié)構(gòu)前五階彎曲模態(tài)頻率的影響，列于表3，可以看出，厚度變化對圓柱殼低階彎曲振動模態(tài)頻率影響不大。

表3 厚度變化對圓柱殼彎曲模態(tài)頻率影響Tab.3 Effect of variant thickness on the natural bending frequencies of cylindrical shells

表4 長度和厚度對等效楊氏模量系數(shù)的影響Tab.4 Effect of different thickness on the natural bending frequencies of cylindrical shells

以長徑比為22.86的圓柱殼為例，分析長度和厚度對前三階等效楊氏模量系數(shù)Cn的影響，列于表4，可以看出，各階等效楊氏模量系數(shù)只與圓柱殼的長徑比有關(guān)。為方便計算，給出不同長徑比圓柱殼前五階等效楊氏模量系數(shù)曲線，如圖4所示。利用梁模型并結(jié)合圖4曲線，可準確預(yù)報圓柱殼低頻域輻射聲功率及梁式彎曲振動的模態(tài)。

為了驗證本文方法及圖4給出的等效楊氏模量系數(shù)曲線的實用性，僅改變3.1節(jié)算例厚度參量，h= 0.03m，其它結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，根據(jù)本節(jié)分析，此時厚度的變化不改變Cn的取值，令附加水質(zhì)量Mn也與表1對應(yīng)參數(shù)相同，重新計算水下圓柱殼彎曲振動頻率及輻射聲功率。等效梁計算結(jié)果和解析程序計算結(jié)果fnc

W比較列于表5，二者計算頻率吻合很好，前五階固有頻率誤差均小于1%。水下圓柱殼的輻射聲功率計算結(jié)果的比較如圖5示，兩曲線變化規(guī)律一致，尤其在前三階彎曲振動頻率范圍內(nèi)吻合極好。

圖4 等效楊氏模量系數(shù)曲線Fig.4 Coefficients of equivalent Young’s modulus curves

圖5 等效梁法計算輻射聲功率結(jié)果Fig.5 Results of radiated sound power levels are calculated by using equivalentbeam method

表5 等效梁參數(shù)及計算結(jié)果Tab.5 Parameters and solution results of equivalent beam

5 結(jié)論

（1）大長徑比水下圓柱殼（L/a＞20）低頻聲輻射特性主要決定于圓柱殼梁式彎曲振動模態(tài)（n=1），可以利用水下等效梁算法提高圓柱殼低頻振動響應(yīng)和輻射聲功率的計算效率。利用附加水質(zhì)量近似結(jié)構(gòu)與水的耦合作用，將結(jié)構(gòu)振動和輻射聲場分開計算，基于Euler-Bernoulli梁理論，推導(dǎo)出了水下梁彎曲振動響應(yīng)表達式；利用帶障板的圓柱體輻射聲壓表達式和遠場聲壓疊加原理，給出了水下梁輻射聲功率的表達式。

（2）給定圓柱殼結(jié)構(gòu)參數(shù)及邊界條件，可以通過等效楊氏模量系數(shù)，將其模擬為等效梁計算振動及聲輻射。運用水下圓柱殼輻射聲功率解析表達式和本文等效梁方法，比較分析了大長徑比（L/a＞20）水下圓柱殼算例的低頻聲振特性，驗證了本文方法的有效性。

（3）計算表明，等效楊氏模量系數(shù)只與圓柱殼的長徑比有關(guān)，在半徑與厚度比（a/h）在滿足20＜a/h＜100范圍內(nèi)，可以忽略厚度對其的影響。給出了不同長徑比圓柱殼前五階模態(tài)頻率的等效楊氏模量系數(shù)曲線，利用梁模型并結(jié)合此曲線，可準確、快速預(yù)報圓柱殼低頻域輻射聲功率及梁式彎曲振動模態(tài)，為高效分析加肋及有橫艙壁的大長徑比復(fù)雜圓柱殼的低頻聲輻射特性提供了可借鑒的方法。

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An equivalentmethod for calculating the vibration and sound radiation of underwater cylindrical shells in the low-frequency range

TANG Rui,SHANG De-jiang,LIQi
(Acoustic Science and Technology Laboratory,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

In order to improve the computational efficiency of the vibration and the sound radiation of underwater cylindrical shellswith large length-to-radius ratio in the low-frequency range,amethod by using the equivalent beams is proposed.The equivalent beam theoreticalmodel is based on Euler-Bernoulli beam theory,in which the interaction between the structures and water is approximated to added mass.Different equivalent Young’smodulus coefficients for the beam models are obtained,through which themodal frequencies of the beams aremade identical to the beam-typemodal frequencies of the cylindrical shellwith large length-to-radius ratio(L/a＞20).The results show that the equivalent Young’smodulus coefficients are mainly dominated by the length-to-radius ratio for cylindrical shells,and the effect of the shell thickness on those ismuch weaker.The equivalent Young’smodulus coefficients curves for the first five order beamtype natural frequencies of cylindrical shellswith different length-to-radius ratio are calculated,through which the radiated sound power and the beam-typemodes of underwater cylindrical shells in the low-frequency range can be precisely predicted by using a simple beam theoreticalmodel.

cylindrical shell;vibration;sound radiation;Euler-Bernoullibeam;

TB532 TB561

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.11.013

1007-7294（2014）11-1377-09

2014-02-26

國防973項目資助（613100）

唐銳（1981-），男，哈爾濱工程大學講師，E-mail：tangrui@hrbeu.edu.cn；

商德江（1969-），男，哈爾濱工程大學教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：shangdejiang@hrbeu.edu.cn。