●荀步章

小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識(shí)是最為基礎(chǔ)和普通的數(shù)學(xué)知識(shí)，其“核心”的基點(diǎn)和作力點(diǎn)指向于認(rèn)知塊、問題串和思維場(chǎng)，功效表征為其自身高度概括的程度以及與特定情境的緊密聯(lián)系程度。數(shù)學(xué)教學(xué)要反復(fù)回到這些基礎(chǔ)知識(shí)，以它們?yōu)榛A(chǔ)，直至學(xué)生掌握了與之觀念相適應(yīng)的完整知識(shí)體系和思想方法為止。

一、兒童認(rèn)知塊中的“核心知識(shí)”

市測(cè)題1：左圖溫度計(jì)表示的溫度是（）℃。

A.16 B.-16 C.24 D.-24

學(xué)生答題情況：

選擇序號(hào)ABCD多選未選百分率0.9487.511.889.370.220.08

本題考察內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，考察能力屬于“知識(shí)技能”范疇。日常生活中，通常把溫度低于0攝氏度的用負(fù)數(shù)表示，但讀數(shù)方法與正數(shù)有所不同，學(xué)生答題正確率為87.51%，選D答案的可能受0上溫度讀法的影響，從20向上4小格，認(rèn)為是-24攝氏度。這里“核心知識(shí)”表現(xiàn)為兒童認(rèn)知塊中的外顯知識(shí)。

（一）單個(gè)知識(shí)

從大量的知識(shí)點(diǎn)中尋找到兒童最容易發(fā)生錯(cuò)誤的知識(shí)，部分學(xué)生對(duì)溫度讀法的方向上沒有掌握，以“0”為分界點(diǎn)，0攝氏度以上從下往上看，0攝氏度以下從上往下看，兒童認(rèn)知中的觀察順序發(fā)生了重要改變。為分清不同方向，需要用紅筆標(biāo)記箭頭。為認(rèn)識(shí)刻度含義，可借助學(xué)生常見的直尺進(jìn)行比較。

（二）序列知識(shí)

兒童認(rèn)知塊中的新知識(shí)是建立在他們已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，確定了知識(shí)的序列化才能確保兒童清晰地進(jìn)行認(rèn)知建構(gòu)。讀溫度計(jì)上的溫度，首先從分清攝氏度與華氏度，也就是看左邊還是看右邊，接著找分界點(diǎn)“0”的位置，以“0”為標(biāo)準(zhǔn)，分清方向，正確讀出溫度。每一個(gè)兒童的認(rèn)知存在差異，需要進(jìn)行針對(duì)指導(dǎo)，體現(xiàn)知識(shí)生長(zhǎng)的過程。

（三）共享知識(shí)

兒童共享知識(shí)是認(rèn)知塊中不同的知識(shí)點(diǎn)，經(jīng)過交流與思考，改善與修正，完成知識(shí)的自身聯(lián)結(jié)。針對(duì)“兒童需要什么樣的知識(shí)”提供實(shí)踐性答案，對(duì)刻度的正確讀法，對(duì)正負(fù)數(shù)的準(zhǔn)確把握，對(duì)不同兩種溫度干擾的排除，都反映了兒童共享知識(shí)促成核心知識(shí)的頂層化。

市測(cè)題2：一個(gè)平行四邊形相鄰兩條邊長(zhǎng)度分別是5厘米和8厘米，其中一條底邊上的高是6厘米，這個(gè)平行四邊形的面積是（）平方厘米。

A.30 B.40 C.48 D.無法確定

學(xué)生答題情況：

選擇序號(hào)ABCD多選未選百分率75.064.6115.474.480.230.14

本題考察內(nèi)容屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域，考察能力屬于“理解概念”范疇。考查學(xué)生平行四邊形底上對(duì)應(yīng)的高，和另一條底與這條高長(zhǎng)度的關(guān)系。6厘米的長(zhǎng)度，究竟是5厘米對(duì)應(yīng)的高，還是8厘米對(duì)應(yīng)的高，學(xué)生正確率為75.06%。如果把5厘米和8厘米表述上交換位置，正確率可能會(huì)更低，因?yàn)殡[藏著斜邊大于直角邊的道理。這里“核心知識(shí)”表現(xiàn)為兒童認(rèn)知塊中的內(nèi)隱知識(shí)。

（四）境域知識(shí)

知識(shí)本身存在于特定的時(shí)間、空間、理論范式和價(jià)值體系等因素中，這種知識(shí)具有認(rèn)知塊中的境域性特征。學(xué)生習(xí)慣于從“前面”的5厘米出發(fā)，直接與6厘米相“對(duì)應(yīng)”，潛意識(shí)中形成“前前”對(duì)應(yīng)，選C的學(xué)生可能是“大大”對(duì)應(yīng)的想法。要準(zhǔn)確把握平行四邊形底與高，理解另一條底與這條高的長(zhǎng)度關(guān)系，才能順利解答問題。兒童認(rèn)知塊中的“核心知識(shí)”，需要根據(jù)不同的場(chǎng)境、域地進(jìn)行梳理和厘定。

（五）隱性知識(shí)

波蘭尼提出兩種知識(shí)：一種知識(shí)是用書面文字或地圖、數(shù)學(xué)公式來表述的，稱為顯性知識(shí)；還有一種知識(shí)是不能系統(tǒng)表述的，稱為緘默知識(shí)。有必要對(duì)兒童認(rèn)知塊中的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有效提升，準(zhǔn)確把握其本質(zhì)和內(nèi)核，滲透內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想方法，促使兒童自主生長(zhǎng)。借用直觀圖形幫助兒童想象，選答案C的學(xué)生，把最長(zhǎng)的底乘以6厘米，缺乏對(duì)知識(shí)隱性思考。如果沿某頂點(diǎn)作一條高，形成的直角三角形中，直角邊的長(zhǎng)度小于斜邊的長(zhǎng)度，這樣一種隱性知識(shí)，兒童在解決問題時(shí)常常被忽略。

（六）結(jié)構(gòu)知識(shí)

數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)存在于知識(shí)塊中，知識(shí)塊是整體性結(jié)構(gòu)知識(shí)中的一部分。小學(xué)數(shù)學(xué)中的核心知識(shí)，也不應(yīng)當(dāng)是散點(diǎn)形態(tài)，而應(yīng)是相互連接，彼此關(guān)聯(lián)，是一種動(dòng)態(tài)性和聯(lián)系性存在。平行四邊形底和高教學(xué)，讓學(xué)生結(jié)構(gòu)性厘清，相鄰兩條邊和它對(duì)應(yīng)的高，每一條高與另一條底長(zhǎng)度關(guān)系，隨意編造平行四邊形底及高，容易發(fā)生科學(xué)性錯(cuò)誤。教師有意識(shí)地結(jié)構(gòu)化組織、加工學(xué)習(xí)素材，幫助學(xué)生形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在情境中掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、教師問題串中的“核心知識(shí)”

省測(cè)題1：用36朵花扎花束，每3朵扎成一束，可以扎多少束？明明用豎式計(jì)算出了結(jié)果，豎式中箭頭所指的表示的是（）。

A．已經(jīng)用去了3朵

B．已經(jīng)用去了6朵

C．已經(jīng)用去了30朵

D．已經(jīng)用去了36朵

學(xué)生答題情況：

江蘇省A水平B水平C水平得分率66.6%81.7%36.0%17.4%

17.4%本題考察內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，考察能力屬于“數(shù)學(xué)理解”范疇。考查學(xué)生豎式計(jì)算中十位上的“3”表示意義，學(xué)生要結(jié)合生活實(shí)際，理解平均分過程，根據(jù)平均分意義對(duì)應(yīng)到豎式中，正確認(rèn)識(shí)每一位上數(shù)的含義。有17.4%的學(xué)生達(dá)不到基本水平，對(duì)“核心知識(shí)”的強(qiáng)調(diào)或變式不足?！昂诵摹笔恰盃恳话l(fā)而動(dòng)全身”的問題，是教學(xué)的主線，課堂中“派生”的問題和核心知識(shí)存在一定的邏輯關(guān)系。這里“核心知識(shí)”表現(xiàn)為教師問題串中問題的“外圍化”。

（一）問題指向

在教學(xué)兩位數(shù)除以一位數(shù)時(shí)，抓住算式“每一步”意義發(fā)問，既要從算式本身理解，也要結(jié)合學(xué)生生活實(shí)際解釋意義，使學(xué)生在頭腦中把“數(shù)學(xué)”與“生活”意義相對(duì)應(yīng)。教師問題串的“核心知識(shí)”要具有鮮明的指向性，指向教學(xué)的核心內(nèi)容和目標(biāo)，也要整合教材的重點(diǎn)內(nèi)容和關(guān)鍵問題，具有更高、更全面的教學(xué)指向與達(dá)成度。

（二）問題整合

聯(lián)系兒童原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從一位數(shù)除以一位數(shù)出發(fā)，擴(kuò)展到兩位數(shù)除以一位數(shù)，從生活的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，把36朵花分成30朵和6朵，先把30朵平均分一分，再把6朵平均分一分，最后合起來。教師要抓住“主要問題”與“次要問題”的主輔關(guān)系，有效整合，邏輯地思考問題。抓住知識(shí)點(diǎn)與能力點(diǎn)，連接兒童的興趣點(diǎn)與發(fā)展點(diǎn)，將課堂的問題串與學(xué)生心理發(fā)展有機(jī)整合起來。

（三）問題開放

教師問題串創(chuàng)設(shè)與開發(fā)，需要適度開放。如果采取亦步亦趨的教學(xué)方法，只能讓學(xué)生感到厭煩與無趣。對(duì)問題串層層探究與適度開放，使問題更加呈現(xiàn)價(jià)值性與多樣性，解答路徑與評(píng)價(jià)過程也就開放了。“3”表示“3個(gè)一”還是“3個(gè)十”，為什么？“3”的后面為什么不寫“0”？可不可以寫？等等問題探討，使學(xué)生對(duì)箭頭指向“3”的意義更為深刻理解，讓學(xué)生在寬松的環(huán)境里自覺地進(jìn)行反思，自主地尋求突破。

省測(cè)題2：小熊吃了一個(gè)西瓜的1/3，小猴子也吃了一個(gè)西瓜的1/3，結(jié)果小熊吃的西瓜比小猴子吃的少。請(qǐng)解釋為什么？

學(xué)生答題情況：

江蘇省A水平B水平C水平得分率52.1%65.1%24.3%2.1%

本題考察內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，考察能力屬于“數(shù)學(xué)理解”范疇。考查學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)理解。正確答案是，因?yàn)樾⌒艹缘奈鞴闲』蛘咝『锍缘奈鞴洗?，或者兩塊西瓜不一樣大，或者其他合理答案。學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀水平為65.1%，成績(jī)不夠好。分?jǐn)?shù)意義教學(xué)中的“核心知識(shí)”有沒有強(qiáng)化？是如何強(qiáng)化的？學(xué)生的答案可能會(huì)給我們一些思考。

（1）得分為0分的答案：

（2）得分為2分的答案：

（3）得分為4分的答案：

學(xué)生的答案給我們啟示，生活經(jīng)驗(yàn)向數(shù)學(xué)概念的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于兒童來說，是一種具大挑戰(zhàn)。這里“核心知識(shí)”表現(xiàn)為教師問題串中問題的“內(nèi)驅(qū)化”。

（四）問題理解

從得分為0分的答案可以看出，在單位“1”教學(xué)時(shí)，總是喜歡抓住了“平均分”這個(gè)“牛鼻子”，使部分學(xué)生在理解上較“死板”，不論什么問題，都圍繞平均分去回答，對(duì)單位“1”的本質(zhì)沒有清晰理解。得分為2分的答案中，主要反映了兒童的生活經(jīng)驗(yàn)，從分得的多少出發(fā)，或通過面積意義理解，把小熊吃的西瓜與小猴吃的相比較，理解是淺層次的。教學(xué)應(yīng)抓住問題串中“核心知識(shí)”反復(fù)探究實(shí)踐，把學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)概念相互作用，在實(shí)踐中慢慢感悟，在問題探究中逐漸理解。

（五）問題研究

外部問題情境營(yíng)造要真實(shí)，它又為內(nèi)部問題情境生成服務(wù),內(nèi)部問題生成才是學(xué)生個(gè)人問題解決活動(dòng)的開始。小熊吃了一個(gè)西瓜的1/3，小猴子也吃了一個(gè)西瓜的1/3，誰吃的多一些？問題來自于兒童的生活世界，是兒童外部情境的具體反映，要促成內(nèi)部問題的生成才是兒童個(gè)體的真問題。問題串探究要能促進(jìn)學(xué)生內(nèi)心真實(shí)地形成一種懸而未決又力圖解決的認(rèn)知沖突狀態(tài)。問題串既要指向于學(xué)生的外部情境，更側(cè)重于內(nèi)部問題的本質(zhì)探究，在單位“1”與“平均分”之間尋找突破與平衡。

（六）問題構(gòu)建

對(duì)于理解困難的學(xué)生，要借助于實(shí)踐操作，比較三種不同情況，讓學(xué)生一目了然。對(duì)于“平均分”地理解，要分清三個(gè)變量之間的關(guān)系，即整體單位“1”的量、平均分為幾個(gè)部分和每部分的量，初步建構(gòu)“平均分”的意義，發(fā)展兒童的數(shù)學(xué)思維能力。為促使學(xué)生深入理解和運(yùn)用“平均分”，在研究分?jǐn)?shù)時(shí)，教師要想方設(shè)法為學(xué)生創(chuàng)設(shè)運(yùn)用這一概念的各種實(shí)踐情境，激活他們多樣化生活經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生解決不同表征形式的問題，建立起正確的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

三、課堂思維場(chǎng)中的“核心知識(shí)”

市測(cè)題3：

（1）小冬和小芳兩家相距多少千米？

（2）某一天，小芳從家去電影院，走到學(xué)校時(shí)，發(fā)現(xiàn)電影票忘在家里，只好回家去拿，小芳去電影院比平時(shí)多走了多少千米？

本題考察內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，考察能力屬于“解決問題”范疇。本題滿分6分，揚(yáng)州市學(xué)生綜合得分率為83.75%。此題是教材一道習(xí)題的拓展，其中線段圖與教材完全一致，錯(cuò)因包括：（1）部分學(xué)生理解題意有困難，把雙向路程理解為一個(gè)單程；（2）計(jì)算有誤；（3）少數(shù)學(xué)生解題思路混亂。反映出學(xué)生靈活解決問題的能力不足，綜合理解題意的能力缺乏。這里“核心知識(shí)”表現(xiàn)為課堂思維場(chǎng)中的生成思維。

（一）關(guān)注思維

對(duì)于題目中的線段圖，部分學(xué)生視而不見。線段圖對(duì)于問題1的解答作用更多一些，圖中直觀看出把三段相加，很快能求出小芳家到小冬家的距離。第2個(gè)問題，求小芳比平時(shí)多走的路程時(shí)，很多學(xué)生沒有聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，也不看圖理解，片面認(rèn)為是1.5千米。在平時(shí)課堂教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生從具體圖形或生活經(jīng)驗(yàn)中，分析問題特征，抓住關(guān)鍵思維點(diǎn)，多變化，多開放，讓兒童在“問題陷阱”中引發(fā)思考，激發(fā)興趣，發(fā)展思維。

（二）引領(lǐng)思維

思維場(chǎng)是數(shù)學(xué)核心知識(shí)“引探”的策略，要在多樣化的問題研究中，處理好“傳授”與“探究”之間的關(guān)系，力求將數(shù)學(xué)課堂由“傳授知識(shí)”變?yōu)椤八季S引領(lǐng)”，讓教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式和師生關(guān)系等領(lǐng)域取得實(shí)質(zhì)性變革。讓學(xué)生說一說，小冬家到小芳家一共有多少千米？小芳今天行走的路程與原來路程相比，發(fā)生了什么變化？同桌相互交流，把自己的發(fā)現(xiàn)用筆畫一畫，在畫的過程中感悟，不是多一個(gè)1.5千米，而是兩個(gè)1.5千米。再引導(dǎo)學(xué)生議一議、算一算，有沒有更簡(jiǎn)便的計(jì)算方法？在思維探究過程中，讓學(xué)生弄清問題的因果關(guān)系，以及與其他知識(shí)的聯(lián)系，將知識(shí)教學(xué)上升到方法論教學(xué)的層次，使學(xué)生初步形成數(shù)學(xué)思想方法。

（三）提升思維

通過問題解決，還要回頭引導(dǎo)學(xué)生再思考，小芳這次走的路程與原來相比，從家到電影院共走了兩次，第二次從家到電影院路程與原來一致，從而使思維更簡(jiǎn)潔，這樣多走了兩個(gè)1.5千米。再進(jìn)一步思考，問題的本質(zhì)是多走一個(gè)來回，如果向相反方向走，就更加容易理解。整個(gè)問題探究以“問題情境→建立模型→解釋應(yīng)用”的方式展開。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的中心任務(wù)是塑造學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使之具有不斷吸收新的數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和知識(shí)自我生長(zhǎng)的能力。問題串的介入為形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)提供“腳手架”，思維場(chǎng)能夠促進(jìn)兒童形成具有自我生長(zhǎng)活力的知識(shí)特征系統(tǒng)，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

省測(cè)題3：請(qǐng)用圖1和圖2拼成一個(gè)平行四邊形，并將拼好的平行四邊形畫在方格紙中。

本題考察內(nèi)容屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域，考察能力屬于“數(shù)學(xué)理解”范疇。學(xué)生作答情況：

江蘇省A水平B水平C水平得分率66.9%82.0%35.0%1.7%

學(xué)生的錯(cuò)因包括：（1）空白未作答；（2）沒畫出平行四邊形；（3）畫出了平行四邊形，面積改變，圖1、圖2形狀不變（拼成的平行四邊形，底和高必須有一個(gè)正確）；（4）畫出了平行四邊形，面積正確，圖1、圖2形狀改變等。列舉兩種得0分的答案如下，這兩種錯(cuò)誤答案，將圖1、圖2形狀發(fā)生了改變。數(shù)學(xué)核心知識(shí)教學(xué)，主要是把教學(xué)功夫下到理念向行為的轉(zhuǎn)化上，在看似簡(jiǎn)明的形式下，教師以不經(jīng)意的方式，讓學(xué)生感悟到知識(shí)本身的魅力。這里“核心知識(shí)”表現(xiàn)為課堂思維場(chǎng)中的過程思維。

（四）聚合思維

從一般知識(shí)指向核心知識(shí)，使得若干知識(shí)整合為系統(tǒng)內(nèi)知識(shí)結(jié)構(gòu)，通過凸顯核心知識(shí)塊，形成有效思維場(chǎng)，以減少知識(shí)的離散程度。要求不改變形狀，把一個(gè)三角形和一個(gè)梯形拼成一個(gè)平行四邊形，問題的實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，三角形與梯形的特征，操作上是平移還是旋轉(zhuǎn)，目標(biāo)和策略上是否可行，從眾多問題思考中“聚合”到這一核心要素上來。引導(dǎo)學(xué)生思考交流，斜著的邊，哪些是一樣長(zhǎng)的，從一樣長(zhǎng)的邊入手，是解決問題的關(guān)鍵。學(xué)生用何種方法準(zhǔn)確畫出這個(gè)平行四邊形，還要借助一定的空間想像，以及方格圖中線段長(zhǎng)度的判別能力。

（五）優(yōu)選思維

在思維場(chǎng)的形成過程中，要優(yōu)先選擇那些具有基礎(chǔ)性、概括性、遷移性和生成性的核心知識(shí)作為教學(xué)的著力點(diǎn)，通過“少而精”的核心問題探究，不僅讓學(xué)生擁有知識(shí)，更讓學(xué)生深刻理解知識(shí)背后的思想，并學(xué)以致用。讓學(xué)生先用直接平移的方法，發(fā)現(xiàn)不能拼成平行四邊形。然后，讓學(xué)生旋轉(zhuǎn)后平移，發(fā)現(xiàn)還是不能拼成。最后，把三角形翻轉(zhuǎn)一下再平移，能夠拼成一個(gè)平行四邊形。在多種策略操作的過程中，讓學(xué)生進(jìn)行優(yōu)選，在優(yōu)選的過程中，感悟解決問題的策略。在思維場(chǎng)營(yíng)造過程中，學(xué)生先觀察、比較、實(shí)踐，再進(jìn)行驗(yàn)證，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考。

（六）聯(lián)結(jié)思維

任何知識(shí)的學(xué)習(xí)都不是教師向?qū)W生直接傳遞知識(shí)信息，學(xué)習(xí)者被動(dòng)地吸收的過程，而是學(xué)生主動(dòng)圍繞核心知識(shí)進(jìn)行自主選擇加工，自主建構(gòu)理解，其間經(jīng)過自我改造與重組，需要教師的幫助與引領(lǐng)，形成課堂思維場(chǎng)。學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)是三角形、梯形和平行四邊形的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，平移和旋轉(zhuǎn)的操作能力，數(shù)方格的基本方法等。要求不改變圖形的形狀與大小，學(xué)生需要嘗試與實(shí)踐，在反復(fù)實(shí)踐中，找出需要關(guān)注的關(guān)鍵因素。建立思維聯(lián)結(jié)的通道，讓學(xué)生在反復(fù)觀察與實(shí)踐中，慢慢發(fā)現(xiàn)和自覺運(yùn)用的過程，這與教師有效幫助，以及兒童自身的善于聯(lián)結(jié)有關(guān)。

綜上所述，數(shù)學(xué)中的核心知識(shí)，是在兒童認(rèn)知塊中逐漸形成，是在教師問題串中逐步感悟，是在課堂思維場(chǎng)中不斷重建，找到平衡點(diǎn)與結(jié)合點(diǎn)，才能真正把握核心知識(shí)，形成核心能力。通過問題引領(lǐng)與活動(dòng)探究，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)探索的過程，弄清知識(shí)的內(nèi)涵和外延，以及各個(gè)階段的呈現(xiàn)形式、變式與聯(lián)系，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，形成兒童獨(dú)有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。