劉孝斌，俞孟薩，高巖

簡支平板上多個慣性主動吸振器的控制原理以及數(shù)值分析

劉孝斌，俞孟薩，高巖

（中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇無錫214082）

文章使用阻抗方法建立了多個吸振器分布式反饋控制簡支平板的振動模型，數(shù)值計算分析了這種控制方式的機理。慣性吸振器的電磁力、慣性力與彈性力耦合產(chǎn)生作用力于簡支平板，慣性吸振器之間通過平板振動也會產(chǎn)生耦合，通過數(shù)值模擬揭示了反饋控制方式的“模態(tài)控制”和“主動阻尼”的機理，吸振器的數(shù)量和分布范圍越大，控制的振動頻率范圍和控制性能就會越高，為吸振器的優(yōu)化布置提供了理論支撐。輻射聲功率為目標函數(shù)對反饋控制機理進行了分析，低頻時奇—奇模態(tài)占輻射主要貢獻成分，中心位置的單個吸振器就可以取得很好的輻射聲控制效果。

慣性主動吸振器；主動控制；速度反饋；分布式控制

1 引言

各種運輸工具如航空、航運應(yīng)用中對燃油經(jīng)濟性和快速性的要求越來越高，輕薄材料如復(fù)合材料會得到大量應(yīng)用，這引來了振動與噪聲的問題。傳統(tǒng)的被動控制措施主要作用于中高頻區(qū)域，低頻區(qū)域被動控制會以大質(zhì)量為代價，這與降低運輸工具的質(zhì)量相違背，主動控制在低頻區(qū)域可以有效地控制振動與噪聲[1]。

主動控制區(qū)別于被動控制的特點是它需要外部能量的輸入，從而抵消不需要的振動和噪聲。主動控制的范圍包括有源消聲、主動吸振以及主動隔振等，目前都有相應(yīng)的產(chǎn)品或者在開發(fā)過程之中。澳大利亞的柯林斯級潛艇上在雙層隔振系統(tǒng)中間質(zhì)量塊上安裝了主動吸振器，柴油機的運行工況下前三階頻率都得到了良好的控制。主動吸振器以其安裝方便、穩(wěn)定可靠以及寬帶控制的優(yōu)點使它最近越來越成為一個熱點[2]。

英國南安普頓大學(xué)的ISVR對采用電磁力的慣性主動吸振器進行了相關(guān)的研究，Gonzalez Diaz[3]建立了單個慣性主動吸振器對平板振動的控制方程，通過理論計算和試驗考察了吸振器的控制性能以及穩(wěn)定性能，然后分析了吸振器的縮尺與輸出力之間關(guān)系；哈爾濱工程大學(xué)的王佳靜[7]設(shè)計制造了慣性主動吸振器，并進行了大量的相關(guān)試驗對吸振器的控制效果進行了驗證。

本文建立了多個慣性主動吸振器對簡支平板的分布式控制方程，平板振動總能量與輻射聲功率作為目標函數(shù)對吸振器的控制性能進行考察，詳細闡述分析主動吸振器的控制機理，為優(yōu)化吸振器的合理布放提供依據(jù)。

2 理論模型

圖1 吸振器與平板組成的彈性系統(tǒng)示意圖Fig.1 Elastic system composed of actuators and plate

單個吸振器與平板的耦合振動方程[3]已經(jīng)得出，吸振器由永磁體、彈簧、線圈構(gòu)成，永磁體有質(zhì)量效應(yīng)，彈簧有阻尼和彈性效應(yīng)，永磁體和線圈產(chǎn)生電磁力，吸振器與平板組成彈性系統(tǒng)。系統(tǒng)的振動與其邊界條件、外界激勵、本身材料都有著密切關(guān)系，使用多個吸振器可以提高控制的可靠性，建立多個吸振器的振動方程求解系統(tǒng)的振動，吸振器不僅與平板振動有振動耦合，吸振器相互之間也有振動耦合，該問題有一定的復(fù)雜性。先考察兩個吸振器的平板系統(tǒng)振動，如圖1所示。假設(shè)兩個吸振器的位置分別為c1，c2，Yc1c1，Yc2c2分別為兩個吸振器接觸點處的簡支平板的輸入導(dǎo)納，Yc1p，Yc2p為外界激勵力fp點分別到兩個吸振器接觸點處的傳遞導(dǎo)納，Ya1，Ya2分別為兩個吸振器永磁體的導(dǎo)納，Za1，Za2分別為兩個吸振器彈簧的阻抗。fc1，fc2分別為兩個吸振器接觸點處簡支平板受到的傳遞力，fm1，fm2分別為兩個吸振器永磁體受到的作用力，fa1，fa2分別為兩個吸振器線圈與永磁體輸出的電磁作動力，w˙m1，w˙m2分別為兩個吸振器永磁體的振速，w˙c1，w˙c2分別為兩個吸振器接觸點處簡支平板的振速，（1）式為位置c1處吸振器的振動方程，（2）式為位置c2處吸振器的振動方程，

其中

φmn（x，y）=sin（ mπx/lx）sin（ nπy/ly）為簡支平板的振型函數(shù)，］為簡支平板的共振頻率，lx，ly為簡支平板的尺寸，D為簡支平板的剛度，Mp=ρlxlyh/4，η為簡支平板的結(jié)構(gòu)損耗因子，Mai為永磁體的質(zhì)量，Kai為彈簧剛度，Cai為彈簧阻尼系數(shù)，ψi為輸出電磁作動力的力常數(shù)，iai為線圈通電電流，與（1）式和（2）式可以分別解得振速與外界激勵力、作動力以及其他吸振器輸出的作動力關(guān)系：

標記

圖2 反饋控制示意圖Fig.2 Diagram of feedback control

建立閉環(huán)控制系統(tǒng)[4]ia1=-g1w˙c1，ia2=-g2w˙c2，其中g(shù)1，g2為反饋系數(shù)，如圖2所示。

將（1a）、（2a）式和（6）、（7）式聯(lián)立，并重新排列得：

寫成矩陣形式

解得了兩個吸振器反饋控制平板振動的系統(tǒng)方程，利用振動系統(tǒng)的線性特征，平板任意點振速就可以表達為

兩個吸振器控制平板振動一般化到L個吸振器控制平板振動，與推導(dǎo)兩個吸振器的過程一樣，L個吸振器反饋控制平板振動的系統(tǒng)方程為

其中

其中：Ycicj為i吸振器與j吸振器的傳遞導(dǎo)納，Ycip為i吸振器與外界激勵力點的傳遞導(dǎo)納，Gcici為i吸振器的電流值與i吸振器處振速的傳遞函數(shù)，Gcip為外界激勵力與i吸振器處振速的傳遞函數(shù)，Yai為i吸振器永磁體的導(dǎo)納，Zai為i吸振器彈簧的阻抗。

任意點振速表達為：

平板動能定義為平板上所有點動能的積分，也可以在模態(tài)空間上表示，就可以整體評估L個吸振器控制下的平板振動，為吸振器優(yōu)化布置提供定量計算工具。

振動物體的控制效果不僅表現(xiàn)在振動物體本身的振動控制作用，同樣表現(xiàn)在振動物體向周圍流體的輻射控制作用，振動與輻射并不一致，還會出現(xiàn)振動增大而輻射減小的特殊情況，輻射與振動的空間分布、振動頻率密切相關(guān)，他們之間的關(guān)系可以用輻射效率來表示，定量考察輻射就十分必要。

有限大平板振速用模態(tài)形式表達為：

矩形平板邊界條件為簡支情況時，φmn（x，y）=sin（ mπx/lx）sin（ nπx/ly），該處只討論矩形簡支板的振動輻射問題。

輻射的求解可以用空間上的Rayleigh積分，也可以用波數(shù)空間的積分，Wallace[5]用Rayleigh積分方法計算了矩形簡支板遠場聲輻射問題：

其中：α=k0lxsinθcosφ，β=k0lysinθsinφ，k0，ρ0，c0分別為外部流體的波數(shù)，密度和聲速，r為遠場點與矩形板角點距離，θ，φ分別為遠場點的極角和方位角。

輻射聲功率為

3 振動與輻射的控制數(shù)值分析

表1為簡支平板的計算參數(shù)，表2為吸振器計算參數(shù)，其中反饋系數(shù)g=1,平板負載為空氣負載，考察吸振器的布放位置與數(shù)量對振動能量以及輻射功率的控制效果，為優(yōu)化布放提供指導(dǎo)意見，振動能量與輻射聲功率的數(shù)學(xué)表達式分別為（14）式與（17）式。

表1 簡支平板的振動參數(shù)Tab.1 Parameters of simply-supported plate

表2 吸振器參數(shù)Tab.2 Parameters of actuators

圖3為平板振動總能量的示意圖，其中單吸振器工況對應(yīng)的吸振器布放位置為平板正中位置，也就是位置點［lx/2，ly/2］，中間位置點位于偶數(shù)模態(tài)的波節(jié)位置，只對奇數(shù)—奇數(shù)模態(tài)有控制效果，由圖中可以看出f1，1=39 Hz，f1，3=238 Hz，f3，3=352 Hz，f5，1=382 Hz控制效果明顯，圖4（a）為頻率f1，1=39 Hz的平板振速幅值空間分布示意圖，可以明顯看出整個平板的振動都被控制?。欢诠舱耦l率f3，1=153 Hz處控制效果不明顯，該頻率與偶數(shù)模態(tài)頻率f2，2=156 Hz基本重合，圖4（b）為該頻率處的平板振速幅值空間分布示意圖，該頻率有兩個主要的振動模態(tài)，處于中心點的吸振器只對（3，1）模態(tài)有控制作用，而對（2，2）模態(tài)沒有控制作用，控制后的平板振速幅值空間分布趨近于（2，2）模態(tài)振型函數(shù)。

雙吸振器工況對應(yīng)的兩個吸振器布放位置為［lx/4，ly/2］，［3lx/4，ly/2］，布放點位于簡支平板（2，1）模態(tài)的波峰位置處，上面的討論中可以知道y方向上只能控制奇數(shù)模態(tài)，而在x方向上不僅可以控制奇數(shù)模態(tài)，也可以控制偶數(shù)模態(tài)（除4n階模態(tài)外，吸振器布放點位置處于4n階模態(tài)的波節(jié)）。從圖中看出在奇數(shù)—奇數(shù)模態(tài)頻率f1，1=39 Hz，f1，3=238 Hz，f3，3=352 Hz，f5，1=382 Hz處依舊有控制效果，x方向的偶數(shù)模態(tài)頻率y方向的奇數(shù)模態(tài)頻率f2，1=81 Hz，f2，3=281 Hz相較于單吸振器工況也出現(xiàn)了明顯控制效果，在x方向的4n階模態(tài)頻率f4，1=253 Hz沒有控制效果?？梢缘贸鲞@樣的結(jié)論，兩個吸振器作用相較于一個吸振器作用，其控制的模態(tài)數(shù)量增加，其控制效果的有效頻率范圍從低模態(tài)頻率處向高模態(tài)頻率處擴張。

圖4 平板振速幅值空間分布示意圖Fig.4 Spatial distribution of plate’s vibration amplitude

四吸振器工況為布放四個吸振器，其布放位置分別為［lx/4，ly/4］，［3lx/4，ly/4］，［lx/4，3ly/4］，［3lx/4，3ly/4］，其布放位置位于簡支板（2，2）模態(tài)振型函數(shù)的波峰位置，可以控制除4n模態(tài)的所有模態(tài)，從圖中可以看出f4，1=253 Hz，f4，2=328 Hz，f1，4=412 Hz，f2，4=455 Hz，f4，3=453 Hz模態(tài)頻率處的振動控制效果為零，而在其他頻率處都有明顯的控制效果，相較于兩個吸振器控制進一步拓展了其控制性能?？梢缘玫竭@樣的結(jié)論：該工況下的吸振器布置可以控制大部分的模態(tài)，低模態(tài)頻率共振峰基本被控制，從主動控制在低頻區(qū)域的有效要求來說，四個吸振器就已經(jīng)基本達到了低頻控制的要求。

圖5為平板輻射聲功率頻譜，從理論上可以推知在低頻區(qū)間上[6]，奇數(shù)—奇數(shù)模態(tài)的輻射相當(dāng)于單極子，偶數(shù)—奇數(shù)或者奇數(shù)—偶數(shù)模態(tài)的輻射相當(dāng)于偶極子，而偶數(shù)—偶數(shù)模態(tài)的輻射相當(dāng)于四極子。輻射聲功率頻譜圖中可以看出奇數(shù)—奇數(shù)模態(tài)頻率處峰值很高，低頻處f1，1=39 Hz，f3，1=153 Hz，f1，3=238 Hz峰值最為突出，在其他模態(tài)頻率處峰值相對來說較低。

圖5 平板輻射聲功率頻譜Fig.5 Sound radiation power of plate

平板振動總能量控制討論中得知單個吸振器控制奇數(shù)—奇數(shù)模態(tài)，而低頻區(qū)域的聲輻射奇數(shù)—奇數(shù)模態(tài)占主要貢獻，單個吸振器就已經(jīng)很好地控制了平板的聲輻射，繼續(xù)增多吸振器的數(shù)量對平板聲輻射的抑制效果不再明顯。

圖中需要注意的是在一些非奇數(shù)—奇數(shù)模態(tài)頻率位置處，其控制后的聲輻射反而要大于控制前，這是由于吸振器改變了平板振動的波數(shù)，使得振動波數(shù)向奇數(shù)—奇數(shù)模態(tài)處轉(zhuǎn)移，使得能量更容易向外場輻射。

4 結(jié)論

文中建立了多個慣性主動吸振器對簡支板的耦合振動方程，數(shù)值模擬了吸振器對平板振動和輻射的控制效果，從而對控制機理以及合理布放得到了如下結(jié)論：

（1）吸振器對平板振動的共振峰控制效果明顯，吸振器數(shù)量越多，控制的幅值和頻率范圍擴大。

（2）平板振動與輻射并不存在一致的正比關(guān)系，低頻輻射時奇數(shù)—奇數(shù)模態(tài)占主要貢獻，因此輻射控制注意力要集中于奇數(shù)—奇數(shù)模態(tài)的振動控制。

[1]Gardonio P.Review of active techniques for aerospace vibro-acoustic control[J].J Aircr,2002,39:206-214.

[2]Active damping devices and inertial actuators[J/OL].Micromega Dynamics,www.Micromega dynamics.com/doc/ADD_Catalog_Rev2.pdf.

[3]Diaz C G,Paulitsch C,Gardonio P.Active damping control unit using a small scale proof mass electrodynamic actuator[J]. Journal of the Acoustical Society of America,2008,124(2):886-897.

[4]Distefano J J,Stubberud A R,Williams I J.Feedback and control of systems[M].McGraw-Hill Press,NewYork,1990.

[5]Wallace.Radiation resistance of a rectangular panel[J].Journal of the Acoustical Society of America,1972,51:946-952. [6]Fahy F J.Sound and structural vibration[M].Academic Press,London,1985.

[7]王佳靜.慣性式主動吸振系統(tǒng)設(shè)計及其特性研究[D].哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué),2009.

Control mechanism and numerical analysis of proof mass electromagnetic actuators on the simply supported plate

LIU Xiao-bin,YU Meng-sa,GAO Yan
(China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

This paper builds the theoretical model of multiple proof mass actuators controlling the simplysupported plate by velocity decentralized feedback,then the control mechanism is analyzed from numerical results.The electromagnetic force,inertial force and elastic force are coupled together to excite the plate and the coupling among actuators are transmitted through the plate.Modal control and active damping are revealed from numerical results,more actuators are used and more frequency range and control performance are obtained,this supports the actuator’s distribution method.Radiation sound power as object function is analyzed,odd-odd modes in the low frequency dominate the radiation and single actuator in the middle of panel can achieve good radiation control performance.

proof mass;active control;velocity feedback;decentralized control

O328

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.07.014

1007-7294（2014）07-0841-08

2014-03-31

劉孝斌（1984-），男，中國船舶科學(xué)研究中心工程師，E-mail：liuxbin@aliyun.com；俞孟薩（1960-），男，博士，中國船舶科學(xué)研究中心研究員。